高校物理 原子 原子の発光と吸収—準位の差と遷移方向から光の波長を決める｜武蔵野個別指導塾

上下の準位差から光子の波長を求め、上向きと下向きの矢印を発光・吸収に結びつけて読み解く原子の遷移。

よくあるのは、準位図に下から上への矢印を描きながら、原子が光を出したと答える場面です。矢印の始点と終点を見れば、原子のエネルギーが増えたのか減ったのかを先に決められます。その増減を光子が持ち去るのか、光子から受け取るのかを考えると、波長の式にも符号の迷いが残りません。

問いの形と、最初に見る条件

準位図から発光か吸収かを選ぶ問いでは、縦方向が原子のエネルギーを表すことを確かめます。上へ向かう矢印は原子のエネルギーの増加、下へ向かう矢印は減少です。光子の進行方向を描いた矢印ではありません。準位図の横方向の位置にも、通常は距離や時間の意味を持たせません。

次に、2つの準位の値から光子の振動数や波長を求める問いがあります。負の準位を含んでも、上の値から下の値を引いた正の差を使います。波長はエネルギーに反比例するため、準位差の大きな遷移ほど波長は短くなります。準位の番号の差だけで大小を決めることはできません。

さらに、連続光を原子に通したときの暗い線と、励起された原子が出す明るい線を比べる問いがあります。どの準位に原子があるか、どの方向へ遷移できると問題で仮定しているかを読みます。ここでは1回の遷移と1個の光子の対応を扱い、複数の経路を数える問題や系列の極限には立ち入りません。

準位差を光子のエネルギーにする

原子がとるエネルギーの値を準位と呼びます。下の準位をE低、上の準位をE高とすると、E高 > E低です。値がどちらも負でもこの大小関係は変わりません。基準をどこに置くかによって各準位の値は変わりますが、同じ基準で表した2つの差は変わりません。

図1のように、原子が上から下へ移ると、その差のエネルギーを持つ光子が放出されます。逆に下から上へ移る吸収では、差に等しいエネルギーを光子から受け取ります。原子と光子を合わせたエネルギーの収支を、反跳などを無視するモデルで書くと次のようになります。

発光：E高 = E低 + hν
吸収：E低 + hν = E高
hν = E高 - E低 = ΔE
λ = hc/ΔE

hはプランク定数、νは振動数、cは真空中の光速度、λは真空中の波長です。ΔEは正の準位差です。光子のエネルギーが大きいと振動数は大きく、λν = cから波長は短くなります。図1の2本の矢印は同じ準位間の逆向きの遷移なので、この理想化では発光と吸収に対応する光子の波長は同じです。

式は、原子にどんな光を当てても必ず吸収されるという意味ではありません。指定された2準位間の吸収には、光子のエネルギーがその差に合うことが必要です。差に合わない光子の余りを、そのまま原子の励起エネルギーに足すことはできません。また、差が合うことだけで吸収の確率や線の強さが決まるわけでもありません。原子の状態や遷移の条件が必要です。問題では、対象の遷移が可能であり、光子のエネルギーと準位差が等しいと仮定します。

エネルギーがeVで与えられ、hをJ sで使うときはJに換算します。1 eVは電位差1 Vを電気素量の電荷が移動するときのエネルギーに対応する単位です。eVを電圧そのものと混同しないようにします。積hcはJ mの単位なので、J単位の差で割れば波長はmになります。波長をnmに直すときは、1 nm = 10⁻⁹ mを使います。

基本例題：矢印から波長まで

あるモデルの原子の準位は下が-6.0 eV、上が-2.0 eVです。上の準位から下の準位への1回の遷移を考えます。発光か吸収かを答え、光子の真空中の波長を有効数字2桁でnm単位に求めてください。反跳を無視し、h = 6.63×10⁻³⁴ J s、c = 3.00×10⁸ m/s、1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ Jとします。

図2のように始点は上、終点は下です。原子のエネルギーが減るので発光です。負の値の引き算では、下の準位の符号も含めてかっこの中に入れます。

ΔE = (-2.0) - (-6.0) eV
ΔE = 4.0 eV
ΔE = 4.0・1.60×10⁻¹⁹ J
ΔE = 6.40×10⁻¹⁹ J
λ = hc/ΔE
λ = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(6.40×10⁻¹⁹) m
λ = 3.1078125×10⁻⁷ m
λ = 3.1×10² nm

最後に丸めて310 nmです。元の場面に戻すと、原子の終状態の-6.0 eVに放出光子の4.0 eVを加えれば、始状態の-2.0 eVに戻ります。したがって方向と収支が合います。光子1個のエネルギーを求める式であり、原子が単位時間に何個の光子を出すかは、この条件だけでは決まりません。

上の準位から下への差を先にeVで出し、最後にJへ直す方法のほか、両準位をそれぞれJに直してから差を取っても同じです。ただし単位がそろっていないまま引き算すると、数値が合って見えても意味がありません。答案には方向、差、換算、波長の順で書くと、どこで誤ったかを点検できます。

標準例題：波長の比とグラフ

別のモデルで、同じ下の準位への遷移P、Qの準位差がそれぞれ2.0 eV、5.0 eVです。どちらも放出が可能で反跳を無視します。波長の比λP/λQを求め、どちらが長いか答えてください。また、縦軸を光子のエネルギー、横軸を振動数とするグラフを考え、傾きと原点を通る理由を述べてください。

λP = hc/ΔEP
λQ = hc/ΔEQ
λP/λQ = ΔEQ/ΔEP
λP/λQ = 5.0/2.0
λP/λQ = 5/2

Pの波長が長くなります。比は無次元で、同じhとcが割り算で消えます。答えを戻すと、Pの振動数はQの2/5倍で、エネルギーも2/5倍です。与えられた2.0 eVと5.0 eVの比と一致します。準位差が5/2倍になったQでは、波長が2/5倍になる点が逆数の確認です。

光子のエネルギーをJ、振動数をHzで測るグラフなら、E = hνの傾きはhで、単位はJ sです。振動数を0へ近づけた式の切片は0です。ただし、原子が放つ光は任意の振動数を埋める連続線ではなく、許された準位差に対応する点として現れます。点を結んだ直線は光子一般の関係を表し、間の振動数がその原子から必ず放出されるという意味ではありません。

発展例題：連続光の中の欠けた線

モデルの原子には低い順にL、M、Hの3準位があり、LからMへの差は3.0 eV、LからHへの差は4.0 eVとします。原子は最初Lにあり、LとM、LとHの間の吸収は可能と仮定します。反跳を無視し、連続光に含まれる2.0 eV、3.0 eV、4.0 eVの光子について、それぞれLからの吸収が起こりうるか答えてください。吸収された光子の波長も、基本例題と同じ計算用近似を使い、有効数字2桁で求めてください。

原子がLから移る先に必要な差と、各光子のエネルギーを照合します。2.0 eVはどちらの差にも合わず、このモデルではLからの吸収を起こしません。3.0 eVはMへ、4.0 eVはHへの吸収に対応します。4.0 eVの光子から3.0 eVだけを受け取り、残りを同じ光子として残すという計算は、ここでの1光子吸収の条件に含まれません。

λM = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(3.0・1.60×10⁻¹⁹) m
λM = 4.14375×10⁻⁷ m
λM = 4.1×10² nm
λH = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(4.0・1.60×10⁻¹⁹) m
λH = 3.1078125×10⁻⁷ m
λH = 3.1×10² nm

答えを戻すと、Lのエネルギーにそれぞれ3.0 eV、4.0 eVを加えてM、Hに達します。Hへの差が大きいため、その光子の波長が短いことも一致します。別解では先にλM/λH = 4/3を求め、どちらかの波長を計算してもう一方を得られます。丸める前の値を比べると、この比に戻ります。

連続光を原子の集団に通すと、条件の合う波長の光が吸収され、透過した光を波長ごとに並べたとき、その部分が周囲より弱くなることがあります。これが吸収線の見方です。一方、励起された原子からの発光を波長ごとに見ると、特定の波長に明るい線が現れます。吸収後に別方向へ放出される光や原子の状態の分布も観測に影響するため、暗さや明るさを準位差だけから決めることはできません。

観測を設計するときは、光源だけのスペクトルを基準にし、原子を含む試料を通した場合と同じ波長目盛りで比べます。光源の強さ、測定時間、装置の配置をそろえ、試料の有無による差を調べます。波長目盛りのずれは線の位置の誤読につながり、装置の分解能が不足すると近い線を分けられません。光源自体に弱い部分があれば吸収線と取り違えるため、基準の測定が必要です。実験は学校の指導の下で行い、装置は模式的に考えます。

矢印と差を取り違えた答案を直す

図3のように、下から上への矢印に「発光」と書く誤答を考えます。原因は、原子が光を受け取る場合も光を出す場合も、準位差の式が同じ正の数になることです。式だけを見る前に、原子の始状態と終状態を言葉で書き、増加分を外から受け取るのか、減少分を外へ渡すのかを決めます。上向きは吸収、下向きは発光です。

もう1つの誤りは、上が-2 eV、下が-6 eVのときに差を-4 eVとすることです。上から下を引けば4 eVで、光子のエネルギーは正です。原子の変化量を終状態から始状態を引いて-4 eVと表すこと自体は正しいのですが、発光光子のエネルギーはその減少量の大きさです。原子の変化量と光子のエネルギーに同じ符号を付けないよう区別します。

波長の大小を準位差と同じ向きに比べる誤りもあります。λ = hc/ΔEに正の数を入れ、差が2倍なら波長が1/2倍になると具体的に確認します。準位の値が負だから波長も負になる、と考える必要はありません。準位差を正にしてから計算することで、単位と符号を別々に検査できます。

練習：まず5問をまとめて解く

各問の原子は与えられた準位間を遷移でき、反跳を無視します。数値計算にはh = 6.63×10⁻³⁴ J s、c = 3.00×10⁸ m/s、1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ Jを使います。波長は真空中の値とします。

1. 準位が-9.0 eVと-7.0 eVの原子が低い方から高い方へ移ります。発光か吸収かと、光子のエネルギーをeVで答えてください。
2. 上が-1.0 eV、下が-4.0 eVの遷移で放出される光子の波長を、有効数字2桁でnm単位に求めてください。
3. 2つの発光の準位差がそれぞれ6.0 eVと1.5 eVです。前者の波長を後者の波長で割った比を求めてください。
4. 低い準位からの遷移に必要な差が2.5 eVと5.5 eVの2種類です。最初に低い準位にある原子へ、3.0 eVの光子を当てたとき、この2種類の遷移のどちらかによって吸収されますか。理由も答えてください。
5. ある発光の振動数が8.0×10¹⁴ Hzです。光子のエネルギーをJで、真空中の波長をmで、それぞれ有効数字2桁で求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 吸収です。差は次の通りです。

ΔE = (-7.0) - (-9.0) eV
ΔE = 2.0 eV

低い準位に2.0 eVを加えると-7.0 eVになり、指定された終状態へ戻せます。矢印は上向きです。

2. まず差は3.0 eVです。エネルギーをJに直して波長を計算します。

ΔE = (-1.0) - (-4.0) eV
ΔE = 3.0 eV
λ = (6.63×10⁻³⁴・3.00×10⁸)/(3.0・1.60×10⁻¹⁹) m
λ = 4.14375×10⁻⁷ m
λ = 4.1×10² nm

下の-4.0 eVに光子の3.0 eVを加えると上の-1.0 eVとなり、放出前のエネルギーに戻ります。

3. 準位差と波長は反比例します。

λ前/λ後 = 1.5/6.0
λ前/λ後 = 1/4

前者の差は後者の4倍です。波長を1/4倍にすると光子のエネルギーが4倍になり、条件に戻ります。

4. どちらの遷移によっても吸収されません。3.0 eVは2.5 eVにも5.5 eVにも等しくないためです。低い準位にそれぞれ必要な差を足して終状態を作ると、必要な光子は2.5 eVまたは5.5 eVと確認できます。原子の別の状態や別の過程がある場合まで否定する答えではありません。

5. 次のように求めます。

E = hν
E = 6.63×10⁻³⁴・8.0×10¹⁴ J
E = 5.304×10⁻¹⁹ J
E = 5.3×10⁻¹⁹ J
λ = c/ν
λ = (3.00×10⁸)/(8.0×10¹⁴) m
λ = 3.75×10⁻⁷ m
λ = 3.8×10⁻⁷ m

丸める前の波長に振動数を掛けると3.00×10⁸ m/sに戻ります。また、丸める前のエネルギーをhで割ると、与えられた振動数に戻ります。丸めた値を使うと末尾に丸めの差が生じます。

答案に残す要点

• 準位図の上向きは原子のエネルギー増加で、吸収に対応します。
• 下向きは原子のエネルギー減少で、発光に対応します。
• 光子のエネルギーは正の準位差で、hν = hc/λ = E高 − E低です。
• 準位差が大きいほど、対応する真空中の波長は短くなります。
• 吸収の判定は始状態と、可能な終状態との差を照合します。

答案の最初で矢印を逆にする人には、原子のエネルギーが増えたか減ったかを図に書いてもらいます。差は正しくても波長の大小が逆になる人には、差を2倍にしたときの式の分母を指で追ってもらいます。個別指導では、光子と原子の両方を含めた収支、eVからJへの換算、答えを元の準位へ戻す確認まで見ます。矢印の始点と終点が、光を受け取るか手放すかを決めます。