高校数学A 集合の要素の個数—重なる二つの条件を領域に分けて人数の式を立てる｜武蔵野個別指導塾

素材別の作品数や参加者数を四つの領域に分け、重複を引く理由と、集計が成り立つ人数の範囲を確かめます。

よくあるのは、高1が展示作品を素材別に集計し、紙を使った作品数と布を使った作品数を足す場面です。紙も布も使った作品があると、その作品は両方の集計に入ります。作品の総数を知るには、足し算の結果の中で同じ作品が何回数えられたかを調べなければなりません。数値を式へ入れる前に、作品をどの領域に置くかを決めてみましょう。

二つの条件がある集計で問われること

出方の一つは、二種類の素材を使った作品数と両方を使った作品数から、少なくとも一方を使った作品数を求める型です。もう一つは、対象の人数と、どちらにも当てはまらない人数を使って、両方に当てはまる人数を逆算する型です。さらに、条件の一部が文字で与えられ、その人数としてあり得る範囲を調べる型もあります。

いずれも、最初に固定するのは調査の対象です。展示室の作品を調べるのか、展示室の来場者を調べるのかで、数えるものが変わります。一つの作品が複数の素材を使っても、作品数としては一つです。同じ人が二つの活動に参加しても、人数としては一人です。素材の使用回数や参加の延べ回数を数える問題とは区別します。

答えが出た後にも、各領域の人数が0以上の整数か、問題の元の集計に戻るかを確かめます。入力された数が食い違うと、式を形式的に計算できても、実際の集計として成立しないことがあります。この見分けまで含めて領域を使います。

四つの領域と重複の意味

全体集合 U を、今数える対象の集まりとします。例えば、展示室の作品だけを対象にすると決めたなら、U はその展示室の作品の集合です。条件Aを満たす対象の集合を A、条件Bを満たす対象の集合を B とします。集合 A の要素の個数を n(A) と書きます。対象が人なら単位は人、作品なら単位は作品です。

A または B に属する要素を集めた集合が和集合 A∪B です。ここでの「または」は両方に属する場合も含みます。両方に属する要素を集めた集合が共通部分 A∩B です。また、U に属し A に属さない要素を集めた集合が A の補集合で、ここでは A の外側と呼びます。補集合は U が変われば変わるため、全体を先に定めます。

図1のように、U は A のみ、両方、B のみ、どちらでもない、という重ならない四つの領域に分けられます。どの要素も条件Aと条件Bについてそれぞれ当てはまるかを調べれば、四領域のちょうど一つに入ります。例えば A の外側は「Bのみ」と「どちらでもない」の両方です。A の外側をどちらでもない領域だけと取り違えないでください。

図1の中央は A と B の両方に含まれます。n(A) と n(B) を足すと、AのみとBのみは各1回、中央は2回数えます。少なくとも一方に属する対象を各1回に直すには、中央を1回分引きます。したがって、有限な集合について次の式が成り立ちます。

n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

この式は、重なりの有無を問わず使えます。重なりがなければ n(A∩B) = 0 です。一方、全体から A∪B の外側を引くと、少なくとも一方に属する個数が出ます。全体の個数を n(U) とすれば、次の関係です。

n(A∪B) = n(U) − どちらにも属さない個数

二つの式は同じ和集合を異なる側から数えています。全体から引くときは、引く対象が「Aに属さない」ではなく「AにもBにも属さない」ことであると確かめます。条件を満たす領域を図で指せれば、似た言葉に惑わされにくくなります。

基本例題：作品の重なりを一度引く

ある展示室の作品40点を調べたところ、紙を使った作品は23点、布を使った作品は18点、その両方を使った作品は7点でした。紙か布の少なくとも一方を使った作品と、どちらも使わなかった作品はそれぞれ何点ですか。作品は素材ごとではなく1点ずつ数えます。

展示室の40点を U、紙を使った作品の集合を A、布を使った作品の集合を B とします。両方の7点は23点にも18点にも含まれています。図2のように中央から先に書き込み、AのみとBのみをそれぞれ引き算で求めます。

図2の各数を次の順に計算します。

紙のみ = 23 - 7 = 16 点
布のみ = 18 - 7 = 11 点
少なくとも一方 = 16 + 7 + 11 = 34 点
どちらも使わない = 40 - 34 = 6 点

答えは順に34点、6点です。和集合の式から直接求めても、23 + 18 − 7 = 34点です。両方の7点を2回足しているため、7点を1回引きます。2回引くと両方を使った作品が数から消えてしまいます。

元の条件に戻すと、紙は16 + 7 = 23点、布は11 + 7 = 18点です。四領域の和は16 + 7 + 11 + 6 = 40点で、全体とも一致します。両方の作品を指さしたとき、紙の集計と布の集計には入りますが、答えの34点の中には1回だけ入っていることも確認できます。

もし両方の点数が紙の23点を超えると書かれていたら、紙のみの点数が負になります。その場合は同じ手順で計算を終えるのではなく、与えられた集計が両立しないと判断します。個数には負の数を使えないからです。

標準例題：外側から重なりを逆算する

ある講座の受講者52人のうち、音声資料を利用した人は29人、図版資料を利用した人は24人でした。どちらの資料も利用しなかった人は8人です。両方を利用した人は何人ですか。各人は各集計に最大1回入り、利用した順序は区別しません。

両方の人数を x 人とします。全体は受講者52人に固定します。どちらも利用しなかった8人は和集合の外側なので、少なくとも一方を利用した人数は次の通りです。

少なくとも一方 = 52 - 8
                = 44 人

音声と図版の人数を足すと、両方の人を2回数えます。したがって和集合の式に代入すると、

44 = 29 + 24 - x
44 = 53 - x
x = 9

両方を利用した人は9人です。別の数え方では、音声を利用した29人のうち9人は図版も利用します。その外側で図版だけを利用した人は24 − 9 = 15人です。29人と15人を足すと44人になり、一人ずつ過不足なく数えられます。

さらに、音声のみは29 − 9 = 20人です。四領域は20人、9人、15人、8人ですから、合計は52人です。音声について20 + 9 = 29人、図版について9 + 15 = 24人に戻ります。重なりを逆算した後は、引き算の向きと全体をこのように検証できます。

仮に「どちらも利用しない」が20人だったとすると、和集合は32人です。このとき x = 53 − 32 = 21人で、両方の人数は各集計の人数を超えず、四領域も8人、21人、3人、20人となって成立します。外側が変われば重なりも変わるため、外側の人数を勝手に0人とは置けません。

発展例題：決まらない人数の範囲を求める

ある会場の来場者60人について、音の展示を見た人は37人、光の展示を見た人は28人でした。両方を見た人の人数としてあり得る最小値と最大値を、整数で求めてください。対象はこの60人で、見た回数や順序は区別しません。

両方を見た人数を x 人とすると、四領域は次のように表せます。

音のみ = 37 - x 人
両方 = x 人
光のみ = 28 - x 人
少なくとも一方 = 37 + 28 - x = 65 - x 人
どちらも見ない = 60 - (65 - x) = x - 5 人

どの領域も0人以上です。音のみから x ≦ 37、光のみから x ≦ 28、両方から x ≧ 0、どちらも見ない領域から x ≧ 5 が必要です。これらを同時に満たす範囲は次のようになります。

5 ≦ x ≦ 28

最小値は5人、最大値は28人です。境界で本当に集計を作れるかも確かめます。x = 5 なら四領域は32人、5人、23人、0人で、合計60人です。x = 28 なら9人、28人、0人、23人で、やはり60人です。どちらの場合も音の人数は37人、光の人数は28人に戻ります。

途中の整数についても、5以上28以下なら四つの式の値はすべて0以上の整数で、その和は60です。その人数ずつ来場者を四領域に分ければ、与えられた二つの人数を実現できます。したがって範囲内に実現できない整数はありません。条件が二つの集計だけなら、両方の人数は一つには決まらず、この範囲が答えになります。

ここで全体が60人ではなく40人なら、同じ手順から x ≧ 25 かつ x ≦ 28 となり、25人から28人が可能です。しかし全体が30人なら、音を見た37人だけで全体を超えるので集計は成立しません。和集合の式を使う前に、各集合が全体に収まるかも確かめます。条件が矛盾するとき、負の領域や空の範囲を無理に人数として答えてはいけません。

誤答を領域から直す

基本例題で、紙23点と布18点をそのまま足して41点とする誤答を考えます。二つの数は素材ごとの集計であり、作品を互いに重ならない二組に分けた数ではありません。両方を使った7点が2回ずつ含まれています。図3のように、重複した7点の1回分を引けば、少なくとも一方の34点になります。

図3の修正は、41から全体40を引く操作ではありません。41が全体を超えたことは誤りに気づく手がかりですが、重複の数を示してはいないからです。重なりがあっても和が全体を超えない例はあります。また、41から7を2回引くと、両方を使った作品が答えに入らなくなります。

別の誤りは、どちらも使わない作品を40 − 23 = 17点とすることです。この17点は紙を使わない作品であり、布のみの11点も含みます。両方の条件を否定したい場合は、和集合34点を全体から引いて6点とします。何を引いたかを日本語に戻すと、補集合の取り違えを見つけられます。

練習問題

次の各問では、指定された対象を全体とし、一つの対象を同じ集計に重ねて数えません。答えは人数または個数の整数で示してください。

1. 36人の部員について、絵を描く人は19人、写真を撮る人は15人、両方を行う人は6人です。少なくとも一方を行う人と、どちらも行わない人をそれぞれ求めてください。
2. 45冊の記録帳について、図を含むものは27冊、表を含むものは21冊、どちらも含まないものは5冊です。図と表の両方を含むものは何冊ですか。
3. 48人の参加者のうち、散策に参加した人は26人、観察に参加した人は20人です。散策のみに参加した人が14人のとき、どちらにも参加しなかった人は何人ですか。
4. 50枚のカードのうち、丸印があるものは31枚、線があるものは26枚です。両方の印がある枚数の最小値と最大値を求めてください。
5. 30個の標本のうち、条件Aを満たすものは12個、条件Bを満たすものは17個、両方を満たすものは14個という記録があります。この記録が成立するかを判断し、理由を述べてください。

練習問題の答えと解き方

1. 和集合は19 + 15 − 6 = 28人です。外側は36 − 28 = 8人です。絵のみ13人、両方6人、写真のみ9人、外側8人の合計は36人で、各集計にも戻ります。答えは28人と8人です。

2. 少なくとも一方を含むのは45 − 5 = 40冊です。両方を x 冊とすると、27 + 21 − x = 40 なので x = 8 です。図のみ19冊、表のみ13冊、両方8冊、外側5冊の合計は45冊です。答えは8冊です。

3. 両方に参加した人数は26 − 14 = 12人です。観察のみは20 − 12 = 8人です。少なくとも一方に参加したのは14 + 12 + 8 = 34人なので、外側は48 − 34 = 14人です。散策14 + 12 = 26人、観察12 + 8 = 20人に戻ります。答えは14人です。

4. 両方を x 枚とすると、丸のみ31 − x、線のみ26 − x、外側は50 − (31 + 26 − x) = x − 7 です。各領域が0以上より、7 ≦ x ≦ 26 です。x = 7 では24、7、19、0枚、x = 26 では5、26、0、19枚で、いずれも合計50枚です。答えは最小7枚、最大26枚です。

5. 成立しません。両方を満たす標本は条件Aを満たす12個の中に含まれますが、14個は12個を超えます。Aのみを12 − 14 = -2個とすると負になり、領域を作れません。記録を修正するには元の標本を調べ直す必要があり、この情報だけで正しい数値は決まりません。

覚えておくこと

全体を固定し、四つの領域を区別します。
少なくとも一方には両方を含めます。
和集合は二つの個数の和から共通部分を1回引きます。
外側は全体から和集合を引きます。
各領域が0以上の整数で、元の数に戻るか確かめます。

式のどこで迷っているかを見分ける

足し算だけを書いた人には、両方に当てはまる一人が式のどの項に入るかを尋ねます。二つの項に入ると指せれば、引く数の意味を自分の言葉で説明できます。逆に、全体から一方の集合を引いた人には、もう一方だけに属する人が残るかを図で確かめてもらいます。

個別指導で範囲の問題を確認するときは、式の答えだけでなく、四領域のうちどれから上限や下限が出たかを尋ねます。端の値を代入して領域を埋め、もとの全体と二つの集計に戻れば、境界を含む理由も確かめられます。領域に置いた一人を追うことが、集合の個数の式を支えます。