高校物理 原子 物質波の波長—運動量を介して質量と速さの違いを比較する｜武蔵野個別指導塾

粒子の質量と速さから運動量を求め、電子を含む粒子の比較や測定の誤差を通して読み解く物質波の波長です。

よくあるのは、電子の波長を求める場面で、波の速さは常に光速だと考え、電子の速さの代わりに光速を入れてしまう場面です。電子の質量と速さが与えられているなら、まず電子自身の運動量を求めます。波長を決めるのは、その運動量の大きさです。電子の速さと光の速さは別の量として扱います。

どの量を比べるか

問いの型は大きく3つあります。1つ目は粒子の質量と速さから波長を求める計算です。2つ目は2種類の粒子の波長の比を求める比較です。3つ目は波長の測定値から運動量を逆算し、測定の不確かさが結論にどう影響するかを考える問いです。どれも、初めに粒子と、その粒子について与えられた量を確かめます。

たとえば速さだけが2倍でも、質量も変わるなら波長は必ず半分とは限りません。質量と速さを掛けた運動量で比べます。逆に、異なる質量でも運動量が同じなら、対応する波長は同じです。向きが逆の運動量はベクトルとしては異なりますが、大きさが等しければ波長は等しくなります。

以下では粒子の速さが光速に比べ十分小さく、運動量を質量と速さの積で近似できる場合を扱います。電子を電圧で加速したときの電圧依存の導出には立ち入りません。

運動量から波長へ

ドブロイの関係は、運動量の大きさをp、プランク定数をh、物質波の波長をλとして、λ = h/pと表します。低速の粒子ではp = mvですから、λ = h/(mv)となります。mは粒子の質量、vは粒子の速さです。hの単位J sはkg m²/sと同じなので、h/pの単位はmになります。

図1のように、質量と速さをいったん運動量にまとめてから波長へ移ります。波長は空間の中で波の位相が1周期分進む距離です。粒子が波の性質を示すことと、粒子が実際に光速で移動することは同じ主張ではありません。光に用いる関係を電子へそのまま当てはめず、電子について与えられた速さを使います。

図1の矢印を逆にたどれば、測定したλからp = h/λを求められます。同じ質量の粒子なら速さもp/mで求められます。ただし、波長の測定値が正で、粒子の質量が既知であることが必要です。p = mvは非相対論的近似ですから、求めた速さが光速に近くなるなら、その結果を近似の範囲外として見直します。

波長が短くなることは、波の山の間隔が狭くなることです。運動量の大きな粒子ほど波長は短くなります。波長を変えるのは質量だけでも速さだけでもなく、両者の積です。速さが0ならpも0となり、h/pに有限の値を代入できません。静止粒子に有限の波長を求める計算として扱わず、運動量が0に近づくと波長が長くなる極限として理解します。

電子線が結晶によって回折する現象は、電子の波としての性質を調べる手がかりです。検出される場所には広がりがあり、多数の電子を観測すると分布に強弱が現れます。粒子として検出されることと、分布を波として扱うことを区別します。測定装置や結晶の条件が異なれば分布も変わるので、波長だけから装置の模様を決めることはできません。

基本例題：電子の速さから求める

電子の質量を9.11×10⁻³¹ kg、速さを2.00×10⁶ m/s、プランク定数を6.63×10⁻³⁴ J sとします。電子の運動量と物質波の波長を、それぞれ有効数字3桁で求めてください。光速を3.00×10⁸ m/sとし、低速の近似を使います。

図2のように、与えられた速さは電子の移動に対応します。波長を求める前に運動量の単位まで書きます。

p = mv
p = 9.11×10⁻³¹・2.00×10⁶
p = 1.822×10⁻²⁴ kg m/s
λ = h/p
λ = 6.63×10⁻³⁴/(1.822×10⁻²⁴)
λ = 3.6388…×10⁻¹⁰ m

したがって運動量は1.82×10⁻²⁴ kg m/s、波長は3.64×10⁻¹⁰ mです。途中では丸めず、最後に3桁にします。速さと光速の比は2.00×10⁶/(3.00×10⁸) = 1/150で、光速より十分小さいとみなします。

答えを元に戻すと、丸め前の波長に運動量を掛けた積は6.63×10⁻³⁴ J sです。これは問題のhに一致します。丸めた答えで掛けると末尾に丸めの差が生じますが、桁と単位は一致します。図2にある電子の速さを光速に取り替えると、条件とは違う電子を計算してしまいます。

標準例題：異なる粒子の比較

粒子Aの質量をm、速さをvとします。粒子Bの質量は4m、速さはv/2です。どちらも光速に比べ十分遅く、mとvは正とします。波長の比λB/λAを求め、どちらが長いか答えてください。

pA = mv
pB = 4m・v/2
pB = 2mv
λA = h/pA
λB = h/pB
λB/λA = pA/pB
λB/λA = 1/2

Bの波長はAの半分で、Aの方が長いです。Bは速さが半分でも質量が4倍なので、運動量は2倍になります。比を元に戻すと、pBλB = 2pA・λA/2 = pAλA = hとなり、両方の条件に合います。

別の方法は、最初からλB/λA = mAvA/(mBvB)とする方法です。ただし分子にAの積が来るのは波長が運動量に反比例するためです。式を覚える前に、運動量の大きいBが短波長になるかを確かめると逆比の誤りを見つけられます。

同じ質量の粒子で、横軸を速さv、縦軸を1/λとするグラフを考えます。1/λ = mv/hなので原点を通る直線で、傾きはm/hです。横軸をpに変えれば傾きは1/hです。一方、縦軸がλのままならλ = h/(mv)は直線ではありません。グラフの軸を読まずに傾きを使うと、単位も結論も変わってしまいます。

発展例題：測定値から運動量を戻す

同じ種類の低速粒子について、ある条件の波長を2.00×10⁻¹⁰ m、別の条件の波長を5.00×10⁻¹⁰ mと読み取ったとします。h = 6.63×10⁻³⁴ J sとして、それぞれの運動量を有効数字3桁で求め、速さの比を前者/後者で答えてください。波長は問題のために設定した値です。

p₁ = h/λ₁
p₁ = 6.63×10⁻³⁴/(2.00×10⁻¹⁰)
p₁ = 3.315×10⁻²⁴ kg m/s
p₂ = h/λ₂
p₂ = 6.63×10⁻³⁴/(5.00×10⁻¹⁰)
p₂ = 1.326×10⁻²⁴ kg m/s
v₁/v₂ = p₁/p₂
v₁/v₂ = 2.50

運動量は順に3.32×10⁻²⁴ kg m/s、1.33×10⁻²⁴ kg m/sです。質量が同じなので速さの比は2.50です。各運動量と元の波長の積は、丸め前ならいずれも6.63×10⁻³⁴ J sに戻ります。別解では、同じ質量を使ってv₁/v₂ = λ₂/λ₁ = 2.50とできます。質量が違う粒子なら、この速さの比をそのまま使えません。

測定を設計するなら、同じ粒子と同じ装置の配置を保ち、粒子の運動量に関係する条件を変えて波長を比較します。電子線を用いる装置は学校の指導の下で扱い、装置の原理を模式的に考えます。検出位置の読み取りや装置の配置のずれは、推定する波長に影響します。複数回の測定でばらつきを調べ、共通にずれる原因も点検します。繰り返しの平均だけでは共通のずれを消せません。

たとえば波長を実際より大きく読み取ると、p = h/λから計算した運動量は小さく出ます。測定結果が0以下なら波長として使えず、単位、目盛り、背景の読み取りを確認します。値が得られない場合に0を代入して答えを作ることもできません。異なる測定条件のデータを混ぜると比較の根拠が崩れるため、条件を記録し直してから比較します。

測定値を比べる際には、予想と合う場合にも点検が必要です。波長の比が予想どおりでも、両方の値に同じ倍率のずれがあれば比には現れません。たとえば目盛りの縮尺を両方で同じ割合だけ読み違えた場合、比は保たれても各運動量の推定値はずれます。基準となる長さの確認と、条件を変えた比較は別々の役割を持ちます。

逆に、予想した比から外れたら、直ちに関係式が成立しないと結論することもできません。粒子の種類や装置の位置が同じだったか、波長の読み取りに用いた目盛りが合っているかを調べます。複数の読み取り値が大きく散る場合は、1回の値だけで細かい差を断定せず、測定のばらつきに比べて差が十分あるかを考えます。値の記録が欠けた場合は、その点を除いて理由を明示し、得られていない値を予想値で埋めません。

誤答を直す：光速と逆比

図3のように、電子の速さvを光速cに置き換える誤りと、運動量が大きいほど波長も長いとする誤りは、原因が異なります。前者は量の取り違え、後者は反比例の向きの取り違えです。

図3では電子の速さを使う経路と、運動量を2倍にしたときの比較を並べています。基本例題に光速を入れると運動量は実際の条件の150倍になり、波長は1/150になります。計算が整っていても別の条件への答えです。粒子名をmとvの横に書き、求めたpがその粒子の値かを確かめます。

また、λ = h/pの分母が2倍ならλは半分です。速さを2倍にしたことだけから結論を出すのではなく、質量も含めてpを比較します。図3の矢印は速さと光速が等しいことを示していません。波長の大小を判断した後、積pλが一定に戻るかも確認します。

練習問題

次の5問は独立した設定です。計算ではh = 6.63×10⁻³⁴ J sとし、運動粒子は非相対論的に扱えるものとします。数値の答えは指定の形にしてください。

1. 質量3.00×10⁻²⁷ kg、速さ4.00×10³ m/sの粒子の運動量と波長を有効数字3桁で求めてください。
2. 質量が等しい粒子CとDについて、Dの速さはCの3倍です。λD/λCを分数で求めてください。
3. 粒子Eは粒子Fの質量の2倍で、速さはFの1/4です。λE/λFを整数で求めてください。
4. 波長が3.00×10⁻¹⁰ mの粒子の運動量を、有効数字3桁で求めてください。
5. 同じ粒子の波長を横軸に速さを変えて調べます。速さが2倍になると、縦軸1/λの値は何倍ですか。速さは正とします。

練習の答えと確かめ

1. 運動量は1.20×10⁻²³ kg m/s、波長は5.53×10⁻¹¹ mです。

p = 3.00×10⁻²⁷・4.00×10³
p = 1.20×10⁻²³ kg m/s
λ = 6.63×10⁻³⁴/(1.20×10⁻²³)
λ = 5.525×10⁻¹¹ m

丸め前の波長と運動量の積は6.63×10⁻³⁴ J sとなり、与えたhに戻ります。質量と速さを掛けた値を先に確かめれば、指数の取り違えを防げます。

2. λD/λC = 1/3です。質量が等しいためpD/pC = 3であり、波長はその逆比です。3pC・(λC/3) = pCλCとなり、両粒子で同じhに戻ります。

3. λE/λF = 2です。運動量の比はpE/pF = 2・1/4 = 1/2です。Eの波長をFの2倍にすると、pEλE = (pF/2)・2λF = hとなります。質量が大きいだけで波長を判断しないことが要点です。

4. 運動量は2.21×10⁻²⁴ kg m/sです。

p = 6.63×10⁻³⁴/(3.00×10⁻¹⁰)
p = 2.21×10⁻²⁴ kg m/s

これに問題の波長を掛けると6.63×10⁻³⁴ J sです。単位もkg m²/sとなり、hの単位と一致します。

5. 2倍です。同じ質量なら1/λ = mv/hですから、速さに比例します。速さを半分に戻せば1/λも半分になり、元の値に戻ります。λ自体は逆に半分になるので、縦軸を確認してください。

覚えておくこと

• 物質波の波長はλ = h/pです。
• 低速の粒子ではp = mvを用います。
• 同じ運動量なら質量が違っても波長は等しくなります。
• 運動量が大きいほど波長は短くなります。
• 電子の速さと光速を区別します。

答えが逆になったときは、まず質量と速さの積を言葉で比較し、次に波長の大小を確かめます。数値の計算だけが合わないときは、単位と10の指数を別々に追います。個別指導で確かめるなら、電子の速さをどの欄から選んだか、異なる質量で速さの比だけを使っていないかを、途中式を見ながら確かめます。運動量を橋渡しにすれば、粒子の違いと波長の違いを同じ尺度で比べられます。