高校物理 熱力学 断熱変化の温度変化—熱の出入りがなくても仕事で温度が変わる理由を追う｜武蔵野個別指導塾

ピストンの仕事と温度の記録を照合し、熱漏れや自由膨張との違いから読み解く断熱変化。

よくあるのは、断熱圧縮の記録で温度が上昇したのを見て、外部から加熱されたと説明する場面です。温度が上がったという観察は正しくても、それだけでは境界を通ったエネルギーが熱か仕事かは決まりません。ピストンを押した人が気体にした仕事と、気体の内部エネルギーの増分を比べると、温度上昇の理由が見えてきます。

何を手掛かりに考えるか

断熱変化では、まず気体を系として囲み、その境界を熱として通過するエネルギーを数えます。圧縮前後の温度と仕事が与えられ、温度上昇または仕事を求める型があります。別の型では、圧縮中の記録から断熱の近似が妥当かを調べます。さらに、外に仕事をする膨張と、真空への自由膨張を比べ、同じ断熱でも結果が一律ではないと考える問いもあります。

どの型でも、状態を表す温度と、過程を通じて移動する熱や仕事を分けて扱います。温度計の表示が変わったことは内部状態の変化を示しますが、熱の出入りの有無を直接示すものではありません。逆に、断熱という条件も温度が一定という意味ではありません。計算に入る前に、密閉された一定量の気体か、仕事の向きがどちらかを確かめます。

境界を越える熱と仕事を分ける

系は容器内の一定量の理想気体とします。気体に入る熱をQ、気体が外部にする仕事をW、内部エネルギーの変化をΔUと定めます。圧縮時に外から気体へ仕事がされるなら、気体が外へする仕事Wは負です。熱力学第一法則は次の収支です。

ΔU = Q - W
Q = ΔU + W

断熱とは、この過程で系が外部とやり取りする熱がQ = 0という条件です。したがってΔU = -Wです。圧縮ならW < 0なのでΔU > 0、仕事をして膨張するならW > 0なのでΔU < 0です。図1のように、熱が境界を通らなくても、動くピストンを通じて仕事が移動します。

図1では、矢印は外部から気体にされる仕事の向きです。これはWそのものの正方向とは逆で、気体が外へする仕事を正とする約束の下ではW < 0です。断熱壁は熱の移動を抑える境界を表し、ピストンの運動を止めるものではありません。

単原子理想気体では内部エネルギーはU = (3/2)nRTです。nは物質量、Rは気体定数、Tは絶対温度です。分子間の相互作用を無視し、内部自由度を持たない単原子理想気体という模型を使っています。一定量ならΔU = (3/2)nRΔTなので、圧縮で内部エネルギーが増えると温度も上昇します。この係数を気体の種類を問わず使うことはできません。

一般の理想気体について、対象の温度範囲で定積モル比熱Cᵥが一定とみなせれば、ΔU = nCᵥΔTです。Cᵥの単位はJ/(mol・K)で、物体全体の熱容量CのJ/Kや、質量比熱cのJ/(kg・K)とは異なります。断熱過程においても、この式は始状態と終状態の内部エネルギーを比べるために使えます。定積で変化したと仮定しているわけではありません。

ゆっくり動かせば必ず断熱、速く動かせば必ず断熱、という判断はできません。壁の断熱性、温度差、変化に要する時間と熱が移動する時間の関係が必要です。十分に断熱された装置なら比較的ゆっくりでも熱交換を小さくできます。速く変えても熱の通りやすい境界や大きな温度差があれば熱漏れは無視できないことがあります。

準静的とは、途中の各状態を平衡状態に近いものとして扱えるほど変化が進む条件です。断熱とは別の条件なので、どちらか一方から他方は結論できません。準静的で内圧と外圧がほぼつり合うとき、p-V図の経路の下の面積を仕事に対応させられます。pは絶対圧です。急な変化の途中を平衡状態の曲線で表し、その面積を無条件に使うことはできません。

基本例題：圧縮の仕事を温度に戻す

断熱された容器に単原子理想気体1.0 molを封入し、ピストンを押して気体に249 Jの仕事をしました。初温は300 K、R = 8.31 J/(mol・K)とします。気体の最終温度を有効数字2桁で求めてください。ピストンなどへの損失は無視し、与えた仕事は気体に伝わるものとします。

気体が外へする仕事はW = -249 J、断熱条件はQ = 0です。図2のように仕事の向きを決めてから、第一法則と内部エネルギーの式をつなぎます。

ΔU = 0 - (-249 J) = 249 J
(3/2)・1.0 mol・8.31 J/(mol・K)・ΔT = 249 J
ΔT = 19.975... K
T₂ = 319.975... K = 3.2 × 10² K

途中の温度は丸めず、最後に指定どおり丸めます。図2の249 Jは外部から気体への仕事の大きさで、気体が外へする仕事Wの値は負です。元の条件に戻すと、丸め前の温度上昇に(3/2)nRを掛けた増分は249 Jとなり、熱の出入りが0の収支に合います。最終温度を整数の320 Kとだけ書くと有効数字の指定が見えにくいため、指数で示しました。

この問題は仕事の総量を与えているので、途中の圧力や体積の経路を求める必要はありません。準静的であるかどうかを追加しなくても、気体に伝わった仕事と熱量が指定されれば第一法則は使えます。途中の仕事率や各瞬間の気体の圧力まで決まるわけではない点には注意します。

標準例題：膨張と外圧の仕事

一定量の単原子理想気体が断熱容器内で、一定の外圧1.0 × 10⁵ Paに抗して膨張しました。初温は400 K、物質量は2.0 mol、体積は2.0 × 10⁻³ m³から5.0 × 10⁻³ m³へ増加します。R = 8.31 J/(mol・K)とし、気体が外へする仕事と最終温度をそれぞれ有効数字2桁で求めてください。外圧による境界の仕事以外はなく、終点のストッパーでピストンを固定し、始終状態は平衡です。

一定外圧での仕事は外圧と体積変化の積です。ここでは気体の内部圧力が過程中ずっと外圧に等しいと仮定する必要はありません。

ΔV = (5.0 - 2.0) × 10⁻³ m³ = 3.0 × 10⁻³ m³
W = 1.0 × 10⁵ Pa・3.0 × 10⁻³ m³ = 3.0 × 10² J
ΔU = -300 J
ΔT = -300/(1.5・2.0・8.31) K = -12.03... K
T₂ = 387.96... K = 3.9 × 10² K

仕事をした分だけ内部エネルギーが減り、温度は低下します。丸め前の終温を使うと、始終状態の絶対圧は状態方程式からそれぞれ約3.32 × 10⁶ Pa、1.29 × 10⁶ Paです。いずれも正ですが、終状態の内圧は指定された外圧と等しくありません。したがって、このまま自由に動くピストンの最終的な力学的平衡とは両立しません。指定されたストッパーによって気体は固定後に平衡に達し、条件を両立できます。ストッパーがする仕事は停止位置での変位がないため0とします。

この確認は、収支の式が合っていても装置が成立するとは限らないことを示します。ピストンが外圧とつり合って停止すると指定された別の問題なら、終状態のp内 = p外も同時に満たさなければなりません。必要な拘束が書かれていないときは勝手に補って唯一の物理過程と決めず、条件不足または矛盾を検討します。

発展例題：仕事のない膨張と比べる

断熱された剛体容器の片側に単原子理想気体0.50 molがあり、他方は真空です。仕切りを開くと気体は真空側へ広がり、最終的に平衡になりました。初温は360 K、初体積は3.0 L、最終体積は6.0 Lです。R = 8.31 J/(mol・K)とします。最終温度と、終圧を始圧で割った比を求め、温度は有効数字2桁、比は既約分数で答えてください。容器は剛体で外部への境界仕事はなく、仕切りのエネルギーは無視します。

全気体を系に取ると、断熱でQ = 0、外部への仕事もW = 0です。よってΔU = 0です。単原子理想気体のUは温度に比例するので、終温は3.6 × 10² Kです。一定量で始終温度が等しいため、状態方程式からp₁V₁ = p₂V₂です。体積が2倍なので圧力比p₂/p₁ = 1/2となります。

別の見方として、始終状態についてpV = nRTをそれぞれ書き、両式を割れます。この操作では途中が等温の準静的過程だったと仮定していません。実際、自由膨張の途中は気体の状態が一様な平衡状態とは限らず、p-V平面に平衡状態の連続曲線を描いて仕事の面積とすることはできません。断熱であっても、外へ仕事をする膨張と真空への自由膨張では温度変化が違います。

数値を戻すと、始状態のp₁V₁と終状態のp₂V₂はともに0.50・8.31・360 = 1495.8 Jです。終圧は始圧の半分、体積は2倍なので積は保たれます。これは理想気体と剛体容器などの条件の下での結論で、どんな気体の自由膨張でも温度変化が0と一般化してはいけません。

記録から断熱近似を点検する

学校の指導の下で扱う装置を考えます。一定量の気体を封じ、圧縮前後の圧力、体積、温度と、外部から気体へ伝わる仕事を測ります。気体の量と装置を固定し、変化に要する時間を変え、各条件で同じ始状態と終体積を目標にします。圧縮後の温度が一様でない場合は、内部で温度がそろうのを待って読みます。ただし待つ間に外部へ熱が漏れれば、読んだ値は圧縮直後の値と異なります。

仕事が気体にした正の量Aとして測られた場合、W = -Aです。独立に温度差からΔUを求めれば、Q = ΔU − Aと推定できます。例えばΔUがAより小さい記録なら、他のエネルギー移動や測定誤差を無視できる条件では、外部への放熱を示唆します。逆に両者が近いことは断熱近似を支持しますが、誤差の範囲も比べなければQが厳密に0と証明したことにはなりません。

温度計の零点ずれが始終で共通なら温度差では一部が打ち消されますが、応答遅れや設置位置の違いは別です。圧縮後の高い温度を遅れて測れば、読みは小さくなり得ます。ピストンの摩擦で外から装置にした仕事をそのまま気体への仕事とすると、気体以外に渡った分を過大に数える恐れがあります。容器自身の熱容量も無視できなければ、気体の温度変化だけで装置全体のエネルギー増加を代表できません。

圧力計の零点と体積目盛りの読み取りも点検します。圧力のずれが毎回同じ向きなら系統的な誤差になり、目盛りの読みのばらつきは繰り返しの測定で見積もれます。気体の圧力から仕事を推定する場合には準静的条件を確認し、急な圧縮の途中の値に平衡曲線をあてはめないようにします。時間を変えた結果が異なっても、熱漏れと摩擦や温度計の遅れを区別する追加情報が必要です。

誤答を収支に戻して直す

図3のように「温度上昇だからQ > 0」と書いたとします。温度上昇から単原子理想気体のΔU > 0は言えますが、Qはそれだけでは決まりません。断熱圧縮ならQ = 0で、W < 0が内部エネルギーを増やします。

図3の修正では、まず系を気体に限定し、外からの仕事とWの符号を対応させます。次にΔU = Q − WにQ = 0を代入します。最後に単原子理想気体のΔUとΔTの関係を使えば、温度上昇まで説明できます。温度上昇と吸熱を同じ言葉として扱わないことが修正の出発点です。

別の誤りは、断熱だからΔT = 0としてQ = W = 0とするものです。断熱はQに対する条件であり、Wには条件がありません。さらに、圧縮で気体に300 Jの仕事をしたときW = +300 Jと書く誤りもあります。外部がした仕事の大きさと気体が外へした仕事の符号を分け、W = -300 Jとしてから式へ代入します。

練習問題

各問で系は密閉された一定量の理想気体とし、熱以外の仕事は指定した境界仕事だけとします。単原子の問題ではR = 8.31 J/(mol・K)を使い、途中は丸めず、数値の答えは有効数字2桁で示してください。比は既約分数で答えます。

1. 単原子気体2.0 molを断熱圧縮し、気体に498.6 Jの仕事をしました。初温280 Kからの温度変化と最終温度を求めてください。
2. 単原子気体1.0 molが断熱膨張して外へ124.65 Jの仕事をしました。初温350 Kのとき、最終温度と内部エネルギーの変化を求めてください。
3. モル比熱Cᵥ = 20 J/(mol・K)を一定とみなせる理想気体3.0 molを断熱圧縮したところ、温度が250 Kから260 Kになりました。気体が外へする仕事Wを求めてください。
4. 断熱された剛体容器内の理想気体が真空へ自由膨張し、平衡後の体積が初めの3倍になりました。外部への仕事は0で、内部エネルギーは温度だけで決まります。終温と初温の比、および終圧と初圧の比を求めてください。
5. 単原子気体1.0 molに外部から249.3 Jの仕事が伝わり、同時に気体から外へ49.86 Jの熱が出ました。初温300 Kからの温度変化を求め、この過程が断熱かどうか答えてください。

練習の答えと考え方

1. Q = 0、W = -498.6 JなのでΔU = 498.6 Jです。(3/2)・2.0・8.31 = 24.93 J/Kより、ΔT = 20 K、終温は3.0 × 10² Kです。戻して24.93・20 = 498.6 Jとなり、仕事の入力に一致します。
2. W = 124.65 J、Q = 0からΔU = -124.65 Jです。ΔT = -124.65/(1.5・1.0・8.31) = -10 Kなので、終温は3.4 × 10² K、ΔUは-1.2 × 10² Jです。丸め前の10 Kの低下に熱容量12.465 J/Kを掛けると124.65 Jの減少に戻ります。
3. ΔU = 3.0・20・10 = 600 Jです。Q = 0よりW = -6.0 × 10² Jとなります。気体が外から受けた仕事の大きさは600 Jで、温度上昇を生むエネルギーと一致します。Cᵥの値はこの問題の温度範囲に対する条件です。
4. Q = W = 0なのでΔU = 0です。理想気体の内部エネルギーが温度のみで決まるため温度比は1です。一定量の状態方程式から圧力比は1/3です。終圧を初圧の1/3、終体積を3倍として積を作ると、初めのpVに戻ります。
5. Q = -49.86 J、W = -249.3 Jです。ΔU = -49.86 − (-249.3) = 199.44 J、ΔT = 199.44/12.465 = 16 Kです。熱が外へ出ているため断熱ではありません。入力仕事249.3 Jから放熱49.86 Jを引くと、内部エネルギーの増分199.44 Jに戻ります。

有効数字2桁で示す整数値は、たとえば20 Kや16 Kと表しています。終温のように末尾の0の桁が曖昧な値は指数表記にしました。練習5では温度が上がっていても熱は外へ出ています。仕事の入力が放熱を上回れば、このような収支も成立します。

覚えておくこと

断熱はQ = 0で、第一法則はΔU = -Wです。
圧縮で気体に仕事をすれば、単原子理想気体の温度は上がります。
自由膨張では外部への仕事の有無を別に調べます。
時間の長短と準静的条件は断熱条件と分けて確かめます。

説明が止まる場所を見つける

式が書けても、外からの仕事をWに直すところで符号が逆になることがあります。まず気体の境界と仕事の向きを図に描き、Q、W、ΔUの正負を言葉で説明してから式に代入してみてください。温度が変わる理由を尋ねたときに「熱が入った」と答えるなら、温度と熱の区別をもう一度確認します。

個別指導では、同じ断熱条件でもピストンを押す場合と真空へ広がる場合を並べ、外部に仕事をする相手があるかを本人の言葉で確かめます。さらに、圧力と体積から仕事を読む前に、途中の平衡や外圧について何が与えられたかを確認します。境界を越えるエネルギーの形が見えれば、温度変化の向きは収支から追えます。