高校物理 熱力学 圧力体積図の仕事面積—台形と曲線の区間を分けて符号を読み取る｜武蔵野個別指導塾

圧力の基準線から台形を数え、曲線を長方形で挟んで膨張と圧縮の符号を判定する、仕事面積の読み方です。

よくあるのは、圧力体積図の斜めの線を見た高校生が、低い側の状態点を底として三角形を描き、その面積を仕事にする場面です。計算した面積は確かに図の一部ですが、ピストンは低い側の圧力に逆らう分の仕事もしています。どこから高さを測るのか、変化の向きによって何が変わるのかを、図と式を行き来しながら調べます。

面積を読む前に問われること

出方は大きく3つあります。一定圧力での膨張や圧縮では長方形の面積を求めます。圧力が体積に対して直線的に変わるときは台形に分けます。曲線で変わるときは、いくつかの長方形で面積を挟み、仕事の範囲を推定します。定積の区間が混ざる場合は、その区間に横幅がないことも確認します。

どの場合も、まず軸と単位、始点と終点、矢印を読みます。見かけの図形が同じでも右へ進む膨張と左へ進む圧縮では符号が逆です。また、図の目盛りが途中から始まっているときは、表示された下端を圧力ゼロと取り違えてはいけません。圧力の基準線までの部分を含める必要があります。

以下では系を閉じた一定量の気体とし、圧力 p は絶対圧、体積 V は気体の体積とします。図上の各点が平衡状態を表し、変化が十分ゆっくり進む準静的過程を考えます。摩擦のないピストンでは各瞬間に内圧と外圧がほぼつり合うため、図の内圧から外への仕事を読めます。この条件を省くと、単に始点と終点を結んだ線の下を仕事にすることはできません。

なぜ圧力ゼロからの面積なのか

断面積 S のピストンが外向きに短い距離 Δx だけ進むと、体積の増分は ΔV = SΔx です。外圧を p外 とすると、気体が外へ押す力は p外S なので、短い移動での仕事はおよそ p外SΔx = p外ΔV です。外圧が一定なら、この関係は有限の移動にもそのまま使えます。圧力の単位 Pa は N/m² ですから、Pa と m³ の積は N・m、すなわち J です。

準静的で内圧 p と外圧がほぼ等しいとき、細い区間の仕事は pΔV と読めます。図1のように、細い長方形の高さは横軸から経路までの圧力です。その面積を変化の区間にわたって足すと、経路の下の面積に近づきます。これは面積の説明であり、経路に囲まれた任意の領域を仕事にするという意味ではありません。

図1では一つの細い帯を示しました。実際に幅が有限で圧力が変われば、帯の中の圧力を1つに決める近似には誤差が残ります。幅を細かくすることで、その誤差を抑える考え方です。縦軸を省略した図では、目に見える帯だけでなく、省略部分に相当する長方形も足します。

ここでは W を気体が外部へする仕事と定めます。膨張なら ΔV は正、圧縮なら負なので、面積の大きさにそれぞれ正、負の符号を付けます。定積なら圧力が変わっても ΔV = 0 で、移動する壁による仕事は 0 J です。仕事を受ける量として定義する教科書では符号が逆になるので、記号の定義を最初にそろえます。

熱 Q は系への吸熱を正に取り、第一法則を ΔU = Q − W と書きます。仕事の面積が求まっても、熱や内部エネルギーの変化が自動的に同じ値になるわけではありません。気体の種類や状態変化から ΔU を求めたうえで、Q = ΔU + W を使います。

基本例題：長方形の仕事

一定量の理想気体が、摩擦のないピストンを準静的に押し、絶対圧 2.0 × 10⁵ Pa を保って 1.0 × 10⁻³ m³ から 3.0 × 10⁻³ m³ へ膨張します。仕事 W を J 単位で有効数字2桁で求めてください。図2の横軸は体積、縦軸は圧力です。

体積の増加は 2.0 × 10⁻³ m³ です。図2の長方形の幅は終体積そのものではなく、この増分です。高さは絶対圧 2.0 × 10⁵ Pa ですから、

W = pΔV
  = (2.0 × 10⁵) × (2.0 × 10⁻³)
  = 4.0 × 10² J

右向きの膨張なので正です。逆向きに同じ圧力で戻すなら、幅の大きさは同じでも ΔV が負となり、W = -4.0 × 10² J です。外部が気体にする仕事はこの逆符号になります。始点の体積がゼロでないため、終点までの長方形全体を数えると余分な仕事を加えてしまいます。

標準例題：斜めの線を台形にする

一定量の理想気体が準静的に、状態 A の (V, p) = (1.0 × 10⁻³ m³, 1.0 × 10⁵ Pa) から状態 B の (3.0 × 10⁻³ m³, 3.0 × 10⁵ Pa) へ直線経路で膨張します。仕事 W を J 単位、有効数字2桁で求めてください。内圧と外圧はほぼ等しいものとします。

高さの低い部分を長方形、増えた部分を三角形に分けると、幅はどちらも 2.0 × 10⁻³ m³ です。長方形の高さは 1.0 × 10⁵ Pa、三角形の高さは圧力差 2.0 × 10⁵ Pa です。

W = (1.0 × 10⁵) × (2.0 × 10⁻³)
  + (1/2) × (2.0 × 10⁵) × (2.0 × 10⁻³)
  = 2.0 × 10² + 2.0 × 10²
  = 4.0 × 10² J

別解では、直線なので区間の平均圧力が両端の相加平均となります。(1.0 × 10⁵ + 3.0 × 10⁵)/2 = 2.0 × 10⁵ Pa に体積増分を掛けても 4.0 × 10² J です。平均圧力が両端の平均となる理由は直線であることにあります。曲線にも根拠なく同じ式を使うことはできません。

逆算すると、この仕事を幅 2.0 × 10⁻³ m³ で割った高さは 2.0 × 10⁵ Pa となり、両端の中間です。始点と終点の pV はそれぞれ 1.0 × 10² J、9.0 × 10² J で、どちらも正です。一定量の理想気体では pV = nRT なので終点の温度は始点の9倍ですが、pV の差 8.0 × 10² J は仕事そのものではありません。

発展例題：曲線を上下から挟む

一定量の理想気体が準静的に膨張し、体積 1.0 × 10⁻³、2.0 × 10⁻³、3.0 × 10⁻³ m³ の各点で、絶対圧が順に 6.0 × 10⁵、3.0 × 10⁵、2.0 × 10⁵ Pa でした。各区間で圧力は連続かつ単調に減少します。この情報から W の下限と上限を J 単位、有効数字2桁で求めてください。

各区間の幅は 1.0 × 10⁻³ m³ です。右端の圧力を高さにすると、それぞれの区間で経路より低い長方形になります。左端を使えば高い長方形になります。したがって、下からの合計と上からの合計は次のとおりです。

下限 = (3.0 × 10⁵ + 2.0 × 10⁵) × (1.0 × 10⁻³)
     = 5.0 × 10² J
上限 = (6.0 × 10⁵ + 3.0 × 10⁵) × (1.0 × 10⁻³)
     = 9.0 × 10² J

よって 5.0 × 10² J ≦ W ≦ 9.0 × 10² J です。両端の長方形の平均 7.0 × 10² J は台形を使った近似値ですが、厳密値とは限りません。中間の測定点を増やし、その区間でも単調性を確かめられれば、上下の幅を狭められます。点が少ないまま曲線の形を決めたつもりにならないことが大切です。

3点の pV はいずれも 6.0 × 10² J で、一定量の理想気体では3点の温度が等しいことがわかります。しかし、途中の全点で温度一定とは条件にないため、この情報だけで等温経路と断定しません。逆向きに同じ経路をたどれば、仕事の範囲は -9.0 × 10² J ≦ W ≦ -5.0 × 10² J です。符号を反転すると大小の順序も入れ替わります。

測定値から面積を推定するとき

学校の指導の下で、密閉した一定量の気体と可動ピストンを用いる測定を考えます。加熱や加圧の危険があるため、ここでは操作手順ではなく、記録の設計を考えます。変える量を体積、測る量を絶対圧とし、各点でピストンを静止させ、温度と圧力が落ち着いてから記録します。気体の漏れを防ぎ、温度条件を記録して、同じ経路を比較できるようにします。

圧力計の零点が一定量だけ高くずれると、膨張時の推定面積はそのずれに体積増分を掛けた分だけ大きくなります。偶然の読み取り誤差は点ごとに上下しうるため、同じ方向の零点ずれとは区別します。体積の零点に一定のずれがあっても増分は相殺されますが、体積ごとにずれが変われば幅にも誤差が残ります。

ピストンの摩擦が大きいと、静止中も内圧と外圧が一致するとは限りません。その場合、内圧の記録の下の面積をそのまま外部への仕事と呼ぶことはできません。温度計の応答が遅いと、落ち着く前の点を平衡状態と見誤ることもあります。経路の密な記録と装置の条件の両方を見て、近似の妥当性を判断します。

誤答を図で修正する

図3の斜線部分だけを仕事にする誤りは、圧力の差を高さにした三角形を数え、下の長方形を落としています。圧力差は増えた部分の高さであって、仕事全体の高さではありません。低い側の圧力もピストンに働くからです。図3のようにゼロから低い圧力までを長方形として足し、残りを三角形にします。

もう一つの誤りは、圧縮でも面積を正の仕事と書くことです。図形の面積は大きさを表しますが、仕事には進行方向が入ります。矢印が左向きなら ΔV < 0 と書いてから符号を付けます。定積の縦線は高さがあっても横幅がゼロなので仕事はありません。

急激な膨張の前後の平衡点を直線で結び、その下の面積を答えにするのも危険です。途中に平衡した内圧の値が定まるとは限らず、仕事は実際の外圧と壁の移動で決まります。始点と終点の情報だけで経路を補わず、過程の条件が足りるかを確認します。

練習問題

以下の気体は閉じた一定量の理想気体で、各経路は準静的、内圧と外圧はほぼ等しいものとします。仕事 W は気体が外へする仕事を正とします。数値は計算用の条件です。各答えは J 単位で有効数字2桁としてください。

1. 絶対圧 4.0 × 10⁵ Pa のまま、体積が 2.0 × 10⁻³ m³ から 5.0 × 10⁻³ m³ に増えました。W を求めてください。
2. 絶対圧 3.0 × 10⁵ Pa のまま、体積が 6.0 × 10⁻³ m³ から 2.0 × 10⁻³ m³ に減りました。W を求めてください。
3. 体積 2.0 × 10⁻³ m³ のまま、絶対圧が 1.0 × 10⁵ Pa から 5.0 × 10⁵ Pa に上がりました。W を求めてください。
4. 体積が 1.0 × 10⁻³ m³ から 4.0 × 10⁻³ m³ に増える間、絶対圧が 2.0 × 10⁵ Pa から 4.0 × 10⁵ Pa まで直線的に増えました。W を求めてください。
5. 体積が 1.0 × 10⁻³、2.0 × 10⁻³、3.0 × 10⁻³ m³ と増えるとき、絶対圧は順に 8.0 × 10⁵、5.0 × 10⁵、4.0 × 10⁵ Pa でした。圧力が各区間で連続かつ単調に減少するとして、W の下限と上限を求めてください。

練習の答えと解き方

1. ΔV = 3.0 × 10⁻³ m³ なので、W = (4.0 × 10⁵) × (3.0 × 10⁻³) = 1.2 × 10³ J です。答えを圧力で割ると体積増分 3.0 × 10⁻³ m³ に戻ります。
2. ΔV = -4.0 × 10⁻³ m³ なので、W = (3.0 × 10⁵) × (-4.0 × 10⁻³) = -1.2 × 10³ J です。負号は圧縮を表し、仕事の大きさを圧力で割ると体積減少の大きさに戻ります。
3. ΔV = 0 ですから、W = 0 J です。圧力が変わっても壁の移動による体積変化はありません。
4. 平均圧力は 3.0 × 10⁵ Pa、体積増分は 3.0 × 10⁻³ m³ なので W = 9.0 × 10² J です。低圧部分の長方形 6.0 × 10² J と増加分の三角形 3.0 × 10² J に分けても同じです。
5. 右端の高さから下限は (5.0 × 10⁵ + 4.0 × 10⁵) × (1.0 × 10⁻³) = 9.0 × 10² J、左端から上限は (8.0 × 10⁵ + 5.0 × 10⁵) × (1.0 × 10⁻³) = 1.3 × 10³ J です。各区間の実際の圧力が両端の間にあるという条件を、それぞれの長方形に戻して確かめます。

要点

圧力の基準は絶対圧ゼロ、幅は体積の変化です。 準静的な膨張では経路の下の面積が正の仕事です。 圧縮では同じ面積の大きさに負号を付けます。 直線は台形、単調な曲線は長方形で上下から挟めます。

つまずきを見分ける

台形の三角形部分だけを指したら、低い圧力の下にも面積がある理由を、ピストンに働く力に戻って説明できるか確かめます。符号で迷う場合は矢印と ΔV を先に書き、図形の大きさと仕事を分けます。個別指導では、圧力軸の省略、準静的という条件、単位の換算を順に口頭で確かめ、数式と図が同じ過程を指しているかを見ます。面積を数える前の条件が、仕事の答えを支えます。