高校物理 熱力学 第一法則の熱収支—系の境界を描いて吸熱と仕事とエネルギーを対応させる｜武蔵野個別指導塾

断熱壁と可動壁を持つ気体について、吸熱と仕事の向きを往復の例題で整理し、境界から読み解く第一法則の熱収支。

よくあるのは、断熱壁と可動壁を一枚の図で見て、エネルギーの流入があるかどうかを混ぜてしまう場面です。熱が通らない壁なら外部とのやり取りはない、と考えると、押された気体の温度上昇を説明できません。境界をどこに描き、何がどの形で横切るのかを分けると、同じ図から熱と仕事を別々に読めます。

要点（結論から）

• 先に気体の境界を描き、熱と仕事がどの面を通るかを分けます。
• Qは吸熱を正、Wは気体が外へする仕事を正とし、ΔU = Q − Wとします。
• 断熱はQ = 0、固定壁の境界仕事は0であり、それぞれ別の条件です。

問いの形を見分ける

第一法則を使う問いには、まず気体が吸収または放出した熱と、気体がした仕事から内部エネルギーの変化を求める型があります。次に、内部エネルギーの変化と仕事から熱の向きを逆算する型があります。さらに、変化を逆にたどったときの符号を、元の変化の量と対応させる問いも考えられます。

いずれも式の文字を探す前に、対象とする気体を囲んでください。断熱という言葉は熱の通過に関する条件であり、可動壁の仕事を消しません。逆に、壁が動かず境界仕事が0でも、熱の移動まで0とは限りません。与えられた条件を一つずつ別の欄に書く習慣が、符号の取り違えを減らします。

ここで主に扱うのは、一定量の気体を系として、熱とピストンを介した仕事を数える収支です。状態点が同じ場合の複数経路の比較には立ち入りません。熱や仕事の量が変化の途中に関わることを確認し、まず一つの変化を最後まで追います。

境界に出入りするものと残るもの

系とは、エネルギーの収支を調べる対象です。以下では、漏れのない容器内の気体を系とし、ピストンや容器は外部に置きます。気体は一定量で、系全体の運動エネルギーや位置エネルギーの変化を無視し、境界を通るエネルギーの移動を熱とピストンの仕事として扱います。実際の装置に電気的な入力や摩擦による別の移動があれば、その分も系の取り方に応じて数えなければなりません。

図1のように、固定された側壁を断熱壁とし、上の可動壁を通じて仕事が伝わる装置を考えます。断熱壁を横切る熱は0ですが、上の壁が押されて動くと、外部から気体に仕事としてエネルギーが渡ります。可動壁も断熱なら、その壁を通る熱も0です。ここでは壁全体を断熱とし、外部からの押し込みを描いています。

図1の境界は気体の表面に沿って動きます。境界の内側に残る内部エネルギーをUとし、終わりの値から始めの値を引いたものをΔUと書きます。温度の変化と同じく、増えれば正、減れば負です。断熱であっても可動壁から仕事を受ければUは増え得ます。

符号の約束は次のように固定します。Qは気体が受け取る熱を正、気体が外へする仕事Wを正とします。熱を放出するとQは負で、気体が圧縮されて外部から仕事を受けるとWは負です。気体に入る仕事はこの約束では-Wと表せます。したがって、系の収支は次の式です。

内部エネルギーの増加 = 熱としての流入 + 仕事としての流入
ΔU = Q - W
Q = ΔU + W

左辺は始状態と終状態の差です。右辺は、その変化の間に境界を通った量を向き付きで合計したものです。単位はいずれもJです。式のマイナスは「仕事は必ずエネルギーを減らす」という意味ではありません。Wが負の圧縮では、-Wが正の流入に変わります。

Uは状態量です。系の状態が決まればその値が定まり、ΔUは両端の状態で決まります。一方、QとWは変化の間の移動を表す量で、ある一つの状態に「含まれている熱」や「含まれている仕事」ではありません。例えば温度が上がった気体についてUの増加を記述できても、最終温度だけから、その増加がどれだけ熱と仕事によって生じたかは決められません。

状態方程式はpV = nRTです。pは絶対圧、Vは体積、nは一定の物質量、Tは絶対温度、Rは気体定数です。単原子の理想気体ならU = (3/2)nRTなので、一定nではΔU = (3/2)nRΔTと書けます。このUの式は単原子という仮定に依存し、あらゆる気体にそのまま使うものではありません。第一法則自体と、物質ごとのUの式は別の条件です。

まず収支を埋める

例題1　動く壁と加熱

摩擦のないピストンに閉じ込めた1.00 molの単原子理想気体を、絶対圧1.00 × 10⁵ Paに保ちながら準静的に加熱します。気体の温度は300 Kから340 Kに上がりました。気体定数は計算用にR = 8.31 J/(mol・K)とします。気体がした仕事W、内部エネルギーの変化ΔU、吸熱Qを、それぞれJ単位で小数第1位まで求めてください。ピストンの外圧は一定で内圧とほぼ等しく、装置に仕事以外のエネルギー移動は熱のみとします。

図2のように、膨張による仕事は外向き、熱は気体への流入です。初めと終わりの体積は状態方程式から、途中を丸めずに求めます。

V₁ = 1.00・8.31・300/(1.00 × 10⁵) = 0.02493 m³
V₂ = 1.00・8.31・340/(1.00 × 10⁵) = 0.028254 m³
W = 1.00 × 10⁵・(0.028254 - 0.02493) = 332.4 J
ΔU = (3/2)・1.00・8.31・(340 - 300) = 498.6 J
Q = 498.6 + 332.4 = 831.0 J

図2の数値を足すと、入った831.0 Jは、内部エネルギーの増加498.6 Jと外へ出た仕事332.4 Jに対応します。体積が増えてWが正であることも確認できます。逆に、831.0 − 332.4 = 498.6 Jと収支に戻せば、求めたΔUと一致します。定圧の仕事は一定外圧と体積変化の積です。準静的という条件によって、平衡時の気体の圧力を外圧に対応させています。

例題2　押されながら熱が逃げる

気体を囲んだ容器を圧縮したところ、外部が気体に180 Jの仕事をし、同時に気体から50 Jの熱が外へ移りました。この変化で気体の内部エネルギーが何J変化したか、増減の向きを添え整数で答えてください。気体と外部の間の移動は記載された熱と仕事に限ります。

まず問題文の量を符号付きに直します。気体のする仕事は受けた仕事と逆向きなのでW = -180 J、放熱なのでQ = -50 Jです。これを第一法則に入れます。

ΔU = -50 - (-180)
ΔU = 130 J

答えは130 Jの増加です。放熱があっても、仕事による流入180 Jの方が大きいため増加します。確かめとして、気体に入った180 Jから外へ出た50 Jを引くと130 Jです。Q = ΔU + Wに戻しても130 + (-180) = -50 Jとなり、問題文の放熱に戻ります。

「熱が出たから温度が必ず下がる」と決める誤りは、この例で見抜けます。ただし、一般の気体の温度まで数値で求めるには、内部エネルギーと温度の関係など、さらに条件が必要です。収支が定まることと、温度が定まることを分けます。

逆向きの変化で符号を確かめる

例題3　同じ経路を戻る

例題1の終状態から、外圧を同じ1.00 × 10⁵ Paに保ち、気体を準静的に元の300 Kの状態まで冷却します。例題1と同じ単原子理想気体、物質量、気体定数を用い、W、ΔU、QをJ単位で小数第1位まで求めてください。

温度と体積の変化は元の経路と逆向きです。外圧は同じで、体積変化も逆符号になるため、気体の仕事は-332.4 Jです。単原子理想気体のUは温度で決まるので、内部エネルギーの変化も-498.6 Jです。第一法則から次のようになります。

Q = ΔU + W
Q = -498.6 + (-332.4)
Q = -831.0 J

答えはW = -332.4 J、ΔU = -498.6 J、Q = -831.0 Jです。圧縮では外部が気体に332.4 Jの仕事をし、気体は831.0 Jを放熱します。放出した熱の大きさが受けた仕事より498.6 J大きく、その差が内部エネルギーの減少です。開始と終了のpVを再確認すると、それぞれ2825.4 Jと2493.0 Jで、nRTと一致します。

別解として、例題1の各量を、同じ準静的な経路を逆向きにたどることで符号反転させても求められます。ΔUは端点の差を逆にしたため反転します。Wは各小さな体積変化を逆にするため反転し、Qも第一法則から反転します。この結論は、始点と終点を入れ替えた任意の変化に無条件で使うものではありません。戻り方が異なれば、仕事と熱を別途調べる必要があります。

測定から収支を読むとき

紙の上で測定を設計するなら、まず気体を系とし、漏れがないこと、物質量、外圧の条件を固定します。変える量を加えた熱とし、平衡後の温度と体積を測ります。圧力は絶対圧で記録し、ピストンが静止して圧力と温度が落ち着いてから読み取ります。動いている途中の温度や圧力には場所による差があり、平衡状態の式をそのまま使えないからです。加熱や加圧を伴う装置は学校の指導の下で扱います。

入力した熱源のエネルギーがそのまま気体へのQとは限りません。容器やピストンも温まり、周囲へ熱が逃げると、熱源の入力を気体の吸熱として過大に数えます。熱源側だけで測った量から、容器に蓄えられた分や外へ逃げた分を考慮してはじめて、気体への熱を見積もれます。壁やピストンまで系に含める場合は、増加する内部エネルギーにもそれらを含め、仕事を数える境界も描き直します。

体積計の零点がずれると、絶対体積から状態方程式で求める温度や圧力の検討に系統的な差が出ます。同じ零点のずれが前後の読みで一定なら、体積差を取るときには相殺されますが、途中でずれが変化すれば相殺されません。目盛りの読み取りにはばらつきもあります。圧力の零点ずれは、一定外圧と体積差の積として求めた仕事に偏りを与えます。

ピストンの摩擦があると、動く間の内圧と外圧を同じとみなす近似が崩れます。気体とピストンの接触面での力と変位から仕事を考え、摩擦で生じたエネルギーがどこへ移るかも系の境界に合わせて扱う必要があります。温度計の応答が遅い場合は、平衡を十分に待たない読みが終状態からずれます。差が出たら第一法則が破れたと決めず、測った量と系を通過した量が一致しているかを先に調べます。

符号の誤りを絵に戻す

図3のように、圧縮で外部から仕事を受けるとき、Wの欄は負になります。「受けた仕事が正」と覚えている場合は、気体がした仕事Wとは異なる量だと明示してから式に移してください。

図3に対応する例題2で、誤ってW = 180 Jとすると、ΔU = -50 − 180 = -230 Jになります。しかし、気体へ180 J入って50 J出た場面に戻すと、差は130 Jの増加です。数式の計算が合っていても、入力した符号が場面と逆なら答えは合いません。

また、断熱を「壁が動かない」と読み替えると、Q = 0からW = 0まで決めてしまいます。断熱が指定するのは熱の移動で、可動壁を押すかどうかは別の条件です。壁が固定され、気体と外部の間に他の仕事もない場合にはW = 0とできます。両方を0とできるのは、両方の条件を確認した場合です。

もう一つの誤りは、ΔU = 0ならQ = W = 0とすることです。式から言えるのは、向き付きのQとWが等しいという関係です。一定量の理想気体が等温で膨張し、外部へ正の仕事をする場合には、内部エネルギーが変わらなくても熱が流入します。断熱のQ = 0と等温のΔU = 0を混同しないでください。

収支の表を作るときの判断

問題を読みながらQ、W、ΔUを横に並べ、各欄に「正」「負」「0」「まだ決まらない」のいずれかを入れると、数値を代入する前に条件の不足に気づけます。例えば、気体が熱を受け取りながら膨張することだけがわかる場合、QとWはともに正ですが、ΔUの符号は決まりません。吸熱の方が大きければ増え、仕事の方が大きければ減り、等しければ変化しません。吸熱と温度上昇を同一視すると、この3通りの区別が消えてしまいます。

圧縮しながら放熱する場合も同じです。例題2では、仕事による流入が放熱を上回るという数値が与えられていました。放熱の方が大きければ内部エネルギーは減少し、両者が等しければ変化しません。圧縮という動作だけを見て温度が上がると断定せず、どのエネルギーが出入りしたかを数えます。

未知数が2つあるとき、第一法則の1本の式だけでは普通は両方を決められません。例えばΔUだけを知っても、QとWの組は多数あり得ます。壁が固定されている、断熱されている、あるいは仕事の値が測定された、といった独立の条件が加われば、残る量を求められます。「式に代入する数字が足りない」と感じたら、適当に0を置くのではなく、何の条件が必要かを言葉にしてください。

系の境界は、図の物体の輪郭と必ずしも一致しません。気体だけを囲めば、気体から容器に渡る熱は系の外へ出る熱です。気体と容器をまとめて囲めば、その受け渡しは系の内部で起こるため外部とのQには入りません。その代わり、容器の内部エネルギーの変化も左辺に加わります。境界を変えたのに、左辺を気体のUのままにして右辺から容器への熱を消すと、収支の項が欠けます。

符号付きの量と大きさにも注意します。「放出した熱量80 J」は大きさが80 Jという意味で、気体に入る向きを正としたQは-80 Jです。「気体が受けた仕事60 J」も、気体が外にする仕事を正にしたWでは-60 Jです。問題文がすでにQ = -80 Jと記号の符号まで与えている場合、さらに負号を付けてはいけません。日本語の向きを記号の定義に翻訳する操作は1回です。

仕事の計算では、外圧が一定であっても、気体内部の圧力まで常に一定とは限りません。急激にピストンが動くと気体内部に圧力のむらが生じ、途中の気体全体を一つのpで表せない場合があります。例題1と例題3では準静的に動き、内圧と外圧がほぼつり合うという条件を付けました。その条件と外圧一定という条件の両方を確かめてから、W = p外ΔVを使っています。

また、第一法則を満たす数値の組を作れたことは、その変化が実際に実現できる証明にはなりません。第一法則はエネルギーの帳尻を合わせる条件ですが、熱が自然に移る向きなどは別に考える必要があります。問題で実現する過程が与えられているときはその条件を使い、収支から得られる結論の範囲を越えて装置の実現性まで断定しないことが大切です。

記録に食い違いが出たら

例えば、一定外圧での加熱を考え、体積差から求めた仕事と、温度差から求めた単原子理想気体のΔUを足した値が、熱源の入力より小さかったとします。この差をすぐに誤差と呼んで捨てることはできません。熱源から容器へ入った分や周囲へ逃げた分があれば、気体だけに渡ったQより熱源の入力が大きくなるからです。気体へのQを直接評価できる条件か、別の量を代用しているのかを確かめます。

逆に、測った気体の温度差から見積もったΔUと仕事の和が、熱源の入力より大きく出る場合も、直ちに保存則の例外とはなりません。外部から別の形でエネルギーが入った可能性や、温度・圧力・体積の読みのずれを調べます。温度差からUを計算する前提として、気体が単原子理想気体として扱えるか、物質量が変わっていないかも確認します。原因の候補は、どちら向きに差を作り得るかで選別します。

読み取りのばらつきは、同条件で測った値の散らばりとして調べられます。一方、同じ方向に毎回ずれる零点の誤りや、毎回周囲へ逃げる熱は、測定を繰り返して平均するだけでは消えません。温度計の応答遅れは、上昇中に早く読むと温度上昇を小さく見せ得ますが、冷却中や待った後のずれ方は条件に依存します。誤差の向きを答える前に、何をいつ測ったかを明示します。

計算の最後には単位もたどります。圧力をPa、体積をm³で表せば、圧力と体積変化の積はJになります。体積をLの数値のままPaに掛けると、仕事の値が合いません。式に入れる前にm³へ直し、正負を含めて得られた仕事が膨張か圧縮かを確かめます。単位の換算と符号の判断は、それぞれ別の段階です。

練習問題

各問で対象は記載された気体です。気体への熱をQ、気体が外へする仕事をWとし、熱と記載された仕事以外のエネルギー移動はありません。答えは指定された単位で、小数の指定がなければ整数で示してください。

1. 気体が260 Jを吸収し、外部に90 Jの仕事をしました。内部エネルギーの変化をJで求め、増減も答えてください。
2. 気体が断熱容器内で外部から75 Jの仕事を受けました。内部エネルギーの変化をJで求め、増減も答えてください。
3. 固定壁の容器内の気体の内部エネルギーが120 J減少しました。境界で仕事はありません。QをJで求め、熱の移動方向も答えてください。
4. 気体が外部へ40 Jの仕事をし、内部エネルギーが70 J減少しました。QをJで求め、吸熱か放熱かを答えてください。
5. 2.00 molの単原子理想気体が10 K温度上昇し、300.0 Jを吸収しました。計算用にR = 8.31 J/(mol・K)とします。ΔUとWをそれぞれJ単位で小数第1位まで求め、仕事の向きを答えてください。

練習の答えと戻し方

1. Q = 260 J、W = 90 Jなので、ΔU = 260 − 90 = 170 Jです。内部エネルギーは170 J増加します。答えを戻すと、170 + 90 = 260 Jで、吸熱した量に一致します。

2. 断熱なのでQ = 0、受けた仕事に対応するW = -75 Jです。ΔU = 0 − (-75) = 75 Jで、内部エネルギーは75 J増加します。仕事として75 Jが入り、熱は通らないため、そのまま増加量になると場面でも確かめられます。

3. 固定壁ではW = 0、ΔU = -120 Jです。Q = -120 + 0 = -120 Jで、120 Jの熱が気体から外へ出ます。-120 − 0 = -120 Jとなり、内部エネルギーの減少に戻ります。固定壁という条件は仕事の欄に、冷えたことを表す値は内部エネルギーの欄に入れます。

4. ΔU = -70 J、W = 40 Jより、Q = -70 + 40 = -30 Jです。30 Jの放熱です。外へ出た仕事40 Jと熱30 Jの合計70 Jが、内部エネルギーの減少に対応します。ΔUの符号だけから熱の符号を決めず、仕事も足します。

5. 単原子の式を使うと、ΔU = (3/2)・2.00・8.31・10 = 249.3 Jです。W = Q − ΔU = 300.0 − 249.3 = 50.7 Jで、気体が外へ50.7 Jの仕事をします。249.3 + 50.7 = 300.0 Jとなって、吸熱量に戻ります。仕事が正であることは、吸熱の一部が外部への仕事に渡ったという記述とも一致します。

要点

• 先に気体の境界を描き、熱と仕事がどの面を通るかを分けます。
• Qは吸熱を正、Wは気体が外へする仕事を正とし、ΔU = Q − Wとします。
• 断熱はQ = 0、固定壁の境界仕事は0であり、それぞれ別の条件です。
• Uは状態量、QとWは変化の間に境界を通るエネルギーの量です。
• 数値を出したら、流入と流出の差を元の場面へ戻します。

説明が止まる場所を探す

符号を間違えた答案では、式を覚えているかだけでなく、「誰が誰に仕事をしたか」を矢印で説明できるかを見ます。断熱と固定を同じ意味で使っていれば、動く断熱壁を描き、熱と仕事の欄を別々に埋め直します。個別指導では、系に容器を含める場合と気体だけの場合を描き分け、どのエネルギーをUに含めるか、負のWが何を表すかを本人の言葉で確かめます。境界を越える向きが定まれば、第一法則の式は収支の記録になります。