高校物理 熱力学 ピストンがする仕事—力と移動距離から圧力と体積の式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

外圧と体積変化から符号付きの仕事を求め、断面積や摩擦が変わる場合の条件をたどり、符号の意味を読み解くピストンの仕事です。

よくあるのは、高校生が同じ体積変化でもピストンの面積を変えれば仕事も変わると考える場面です。広い面には大きな力がかかるので、そう思う理由はあります。しかし同じ体積を押し出すには、広い面の移動距離は短くなります。力と距離の両方を追えば、面積が計算から消える条件と、消えない条件が見えてきます。

要点（結論から）

• 一定外圧で摩擦などを無視できるとき、W = p外ΔVです。
• 同じ外圧と体積変化なら、断面積の違いは仕事に残りません。
• 膨張でWは正、圧縮で負です。外部から受ける仕事は -Wです。

何を手がかりに仕事を決めるか

問題の出方は主に3つです。外圧と体積の変化から気体の仕事を求める型、力と移動距離から同じ結果を確かめる型、圧縮の仕事と熱収支を結ぶ型です。どの型でも、まず気体を系と決め、動く境界に何が押し返しているかを調べます。

気体の状態を表す内圧と、ピストンの外からかかる圧力は、途中でいつも等しいとは限りません。急に動くピストンには加速度が生じ、摩擦もあれば、つり合いの式をそのまま途中に使えません。始点と終点が平衡でも、その間の仕事は経路の条件がなければ決まりません。

以下では閉じた一定量の気体を考え、圧力は絶対圧で表します。気体へ入る熱を正のQ、気体が外部へする仕事を正のWとし、内部エネルギーの変化をΔUとします。第一法則はΔU = Q − Wです。符号を決めた後は、圧縮でも同じ式を使えます。

面を広げると力と距離はどう変わるか

断面積Sの水平な筒を考えます。ピストンは密閉され、軸方向に距離Δxだけ外へ動きます。外側から一様な一定圧力p外が働き、ピストンの質量と摩擦の影響を無視できる場合、気体が外圧に逆らってする仕事を求めます。圧力は単位面積あたりの力なので、外側の抵抗の大きさはF = p外Sです。移動に沿った仕事はFΔxであり、体積の増加はΔV = SΔxです。よって次の関係を得ます。

W = FΔx
  = p外SΔx
  = p外ΔV

図1のように面積が大きいと抵抗の力も大きくなりますが、同じΔVなら移動距離はその分小さくなります。図1は一定の外圧のもとで、この2つの変化を対応させた模式図です。力だけ、または距離だけを比較して仕事を決めないことが要点です。

同じ外圧と同じ体積変化を保てば、面積によらず仕事は同じです。一方、同じ移動距離で面積を変えれば体積変化も変わるため、仕事も変わります。何を同じにする比較なのかを、式に数を入れる前に言葉で指定してください。

圧縮ではΔVが負なので、一定外圧が正ならWは負です。外部が気体にした仕事は、この約束のもとで -W と表せます。気体の仕事が負であることは、力学で仕事の大きさが負だという意味ではなく、外向きを正にとった収支の向きを示しています。

準静的に進み、摩擦を無視でき、各段階でピストンがほぼ力のつり合いにある場合は、内圧p内と外圧がほぼ等しくなります。このとき一定圧力の区間ではp内ΔVでも同じ仕事を求められます。外圧が動く途中で変わる場合は、一つのp外を全体にかけられません。区間ごとに外圧と体積変化を対応させて足します。

内圧は気体の状態方程式p内V = nRTに使う量です。外圧は境界に加わる抵抗を表す量です。単位はPa = N/m²、体積はm³なので、Pa・m³ = N・m = Jとなります。面積を消す式でも、体積がLで与えられたときは1 L = 0.001 m³への換算が必要です。

数と図で確かめる2つの例

例題1　一定外圧で押し出す

水平な摩擦のない筒に閉じ込めた理想気体が、一定の外圧2.0 × 10⁵ Paに逆らってゆっくり膨張します。ピストンは軽く、断面積は0.020 m²、外向きの移動距離は0.15 mです。気体が外部へする仕事を有効数字2桁で求めてください。

移動する体積は0.020 × 0.15 = 0.0030 m³です。外圧による抵抗の力は2.0 × 10⁵ × 0.020 = 4.0 × 10³ Nです。力と移動距離をかけると、仕事は6.0 × 10² Jです。体積の式でも2.0 × 10⁵ × 0.0030 = 6.0 × 10² Jとなります。

図2のように外向きの移動に対し、外圧の力は内向きです。気体が外側へ渡す仕事は正なので、力の矢印と仕事の正負を混同しないでください。求めた体積を断面積で割ると0.15 mに戻り、条件と一致します。ゆっくり動く軽いピストンなので、内圧も外圧にほぼ等しいと扱えます。

例題2　圧縮と熱の出入り

一定量の単原子理想気体を、軽く摩擦のないピストンで、一定外圧1.5 × 10⁵ Paのもとでゆっくり圧縮します。体積は4.0 × 10⁻³ m³から2.0 × 10⁻³ m³になり、気体から外へ750 Jの熱が出ます。気体の仕事Wと内部エネルギーの変化ΔUをJ単位、有効数字2桁で求めてください。

体積変化は -2.0 × 10⁻³ m³です。したがってW = 1.5 × 10⁵ × (-2.0 × 10⁻³) = -3.0 × 10² Jです。外部が気体にした仕事は正の3.0 × 10² Jです。熱は外へ出るのでQ = -750 J、第一法則よりΔU = -750 − (-300) = -4.5 × 10² Jです。

答えを収支へ戻すと、ΔU + W = -450 − 300 = -750 Jで、与えた放熱に一致します。圧縮されても、放熱が受け取る仕事より大きければ内部エネルギーは減ります。単原子理想気体では内部エネルギーは温度に比例するため、温度も下がります。圧縮という言葉から温度上昇を決めるのではなく、熱の条件も読み取ります。

初めと終わりの平衡圧力はともに1.5 × 10⁵ Paであり、p内Vは600 Jから300 Jになります。単原子理想気体のU = (3/2)p内VからもΔU = (3/2)(300 − 600) = -450 Jとなり、収支と一致します。もし放熱量を450 Jとする条件なら、収支からΔU = -150 Jとなり、状態式からの値と矛盾します。その条件の組合せは実現できません。式に数字を代入できても、状態と収支の両方を満たすかを調べる必要があります。

例題3　外圧を段階的に変える

水平な軽いピストンを持つ密閉容器で、外圧を一定に保つ区間を2つ設けます。第1区間は外圧1.0 × 10⁵ Paで体積が2.0 Lから3.0 Lへ増え、第2区間は外圧2.0 × 10⁵ Paで3.0 Lから4.0 Lへ増えます。摩擦とピストンの運動エネルギーの始終点の差を無視し、各区間の気体の仕事と合計をJ単位、有効数字2桁で求めてください。圧力の切替時に体積変化はないものとします。

1.0 Lは0.0010 m³です。第1区間の仕事は1.0 × 10⁵ × 0.0010 = 1.0 × 10² J、第2区間は2.0 × 10⁵ × 0.0010 = 2.0 × 10² Jです。合計は3.0 × 10² Jです。切替時は体積が動かないので、この境界の仕事は0です。

別の計算では、両区間の体積変化が等しいことを利用し、体積変化で重み付けした平均外圧1.5 × 10⁵ Paに全体の0.0020 m³をかけます。同じ3.0 × 10² Jになります。ただし区間の体積変化が等しくなければ、単純な圧力の平均は使えません。各区間の仕事へ分ける方法は、圧力の変化が不均等でも通用します。

この例では外圧を切り替える間に内圧と外圧が一致するとは限りません。したがって、外圧の値を気体の平衡状態のp-V曲線としてそのまま描くことはできません。準静的な過程なら縦軸p内、横軸Vの図で、区間ごとの面積を符号付きの仕事に対応させられます。急な運動では、内圧を一つの状態量として途中の各瞬間に割り当てる前提自体を確かめる必要があります。

測定の設計と読み取りのずれ

学校の指導の下で、密閉した筒のピストンを動かす測定を考えます。一定量の気体と断面積を固定し、外側の荷重を設定して、位置と圧力を記録します。位置の差に断面積をかければ体積変化です。圧力を別に測り、装置が静止して温度や圧力の変化が小さくなるまで待てば、平衡状態の比較ができます。加熱や加圧を伴う操作は装置の安全条件を含めて学校で扱います。

位置計の零点が一定量ずれていても、同じ零点から読んだ2位置の差では、その一定のずれは消えます。ただし、移動中に零点が変われば消えません。断面積の見積もりが大きすぎると、同じ位置差から求めるΔVも比例して大きくなります。目盛りの読み取りのばらつきと、断面積の校正ずれのような系統的な影響は分けて考えます。

外部との熱の出入りは温度と内圧に影響し、平衡を待つ前の値を終状態と扱うと状態方程式の比較がずれます。容器やピストンの熱容量も、加えた熱が気体へ入る割合に影響します。一方、気体を系とする場合、装置全体に供給した熱をそのまま気体のQとは置けません。摩擦があれば、外圧に逆らう仕事以外に摩擦に伴うエネルギー移動も考える必要があり、p外ΔVを気体の仕事全体とする単純な式を再検討します。

間違いから条件を戻す

誤答1は「面積が2倍だから仕事も2倍」です。原因は力の増加を見て、同じ体積変化に必要な距離が半分になることを忘れる点です。図3のように、一定外圧と同じ体積変化を先にそろえ、力と距離を組にして比べます。図3は距離の比を示す模式図で、筒の長さの比を意味するものではありません。

誤答2は「圧縮なのでWを正にする」です。原因は外部が気体にする仕事と、気体が外部にする仕事の向きを混ぜることです。ΔVを終体積から始体積を引いて出し、W = p外ΔVへ符号ごと代入すれば、両者を区別できます。

誤答3は「どんな変化でも内圧に体積変化をかける」です。原因は平衡状態に使う圧力と、移動中の外側の抵抗を区別していないことです。外圧一定、摩擦やピストンの運動エネルギーの扱い、準静的かどうかを確認します。例題2のように収支だけで計算が通っても、両端の状態式との矛盾があれば条件の組合せを修正しなければなりません。

練習問題

各問の圧力は絶対圧です。気体は閉じた一定量で、ピストンは軽く摩擦がなく、外圧に逆らう仕事を考えます。数値は計算用の仮定です。答えは指定がなければ有効数字2桁で、最後に丸めてください。

1. 水平な筒の外圧は3.0 × 10⁵ Paで一定です。体積が1.0 Lから3.0 Lへ増えるとき、気体の仕事をJで求めてください。
2. 一定外圧2.5 × 10⁵ Paのもと、体積が6.0 × 10⁻³ m³から4.0 × 10⁻³ m³へ減ります。気体の仕事と、外部が気体にする仕事をそれぞれJで求めてください。
3. 一定外圧4.0 × 10⁴ Paのもと、断面積0.040 m²のピストンが外向きに0.050 m動きます。抵抗の力と気体の仕事を、それぞれNとJで求めてください。
4. ある変化で気体が外部へ1.2 × 10² Jの仕事をし、内部エネルギーが80 J増えました。気体が受け取った熱をJ、有効数字2桁で求めてください。
5. 摩擦を無視できる装置で、外圧1.0 × 10⁵ Paの区間に体積が0.0010 m³増え、次に外圧3.0 × 10⁵ Paの区間で0.0020 m³増えます。切替時に体積は変わりません。全仕事をJで求めてください。

練習の答えと戻し方

1. ΔV = 2.0 L = 0.0020 m³なので、W = 3.0 × 10⁵ × 0.0020 = 6.0 × 10² Jです。仕事を外圧で割ると0.0020 m³に戻り、2つの体積の差と一致します。
2. ΔV = -0.0020 m³です。W = -5.0 × 10² J、外部が気体にする仕事は5.0 × 10² Jです。外圧で割った符号付きの変化は -0.0020 m³で、体積が減った条件へ戻ります。
3. 抵抗は4.0 × 10⁴ × 0.040 = 1.6 × 10³ Nです。これに距離をかけ、W = 80 Jです。体積変化は0.040 × 0.050 = 0.0020 m³で、外圧をかけても80 Jになります。
4. Q = ΔU + W = 80 + 120 = 2.0 × 10² Jです。200 Jの吸熱から外向きの仕事120 Jを引くと、内部エネルギーの増加80 Jが残ります。
5. 各区間は100 Jと600 Jなので、合計7.0 × 10² Jです。切替時の仕事は0で、区間の体積増加の和は0.0030 m³です。単純な圧力の平均を全体にかけると誤るため、各区間の体積に戻して検算します。

要点

• 一定外圧で摩擦などを無視できるとき、W = p外ΔVです。
• 同じ外圧と体積変化なら、断面積の違いは仕事に残りません。
• 膨張でWは正、圧縮で負です。外部から受ける仕事は -Wです。
• 内圧を使うには、準静的な力のつり合いを確かめます。
• 熱収支と始終点の状態式を両方確かめます。

つまずきを見分ける問い

「面積が2倍なら距離はどう変わるか」を、同じ体積変化という条件付きで説明できるか確かめます。次に、圧縮時のΔVの符号と、外部から受ける仕事の向きを図に書きます。個別指導では、内圧と外圧が等しいと置いた根拠を本人の言葉で確認し、数値を状態式と熱収支へ戻すところまでたどります。力と移動距離の組を見れば、ピストンの仕事の符号まで追えます。