高校物理 熱力学 定積気体の圧力変化—密閉容器の圧力と温度を直線から読み解く｜武蔵野個別指導塾

密閉容器の圧力を絶対温度と圧力計の表示から読み、同じ温度幅で増加率が変わる理由をたどる題材は定積気体の圧力変化です。

よくあるのは、高校生が密閉容器を一定の温度幅ずつ温める表を見て、圧力の増加率も毎回同じ割合だと考える場面です。確かに条件が整えば、同じ温度幅に対する圧力の増加量は等しくなります。しかし、増加率の分母となる出発時の圧力は変わります。増加量と増加率を分け、圧力計が何を示すかまで確認すると、表の数字を筋道立てて読めます。

表や直線から何を読むか

定積の問題には、少なくとも3つの読み方があります。1つ目は、ある温度と圧力から別の温度での圧力を求める型です。温度は絶対温度に直し、圧力は絶対圧で比を作ります。温度の差と温度の比を取り違えないことが出発点です。

2つ目は、温度を横軸、圧力を縦軸にした直線の傾きや切片を読む型です。絶対温度を横軸にすれば、理想気体の定積変化では原点を通る直線です。摂氏温度を横軸にすれば同じ測定点でも切片の位置が変わります。測定器の表示を縦軸に使うときも、絶対圧とのずれが切片に現れます。

3つ目は、測定点が予想から外れた理由を考える型です。容器の体積が温度上昇で増えれば、厳密な定積の予想より圧力は低くなります。気体が外へ漏れて物質量が減った場合も圧力は低くなります。同じ向きのずれでも原因は一意に決まりません。体積や質量を別に調べる設計が必要です。

密閉と定積が支える比例

系を容器内の気体とし、漏れや出入りがなく物質量 n が一定で、容器の内側の体積 V も一定とします。気体は理想気体として扱い、各測定では温度と圧力が落ち着いた平衡状態を考えます。p は真空を基準にした絶対圧、T は K で表した絶対温度、R は気体定数です。状態方程式から次のように表せます。

pV = nRT
p = (nR/V)T
p/T = nR/V = 一定

n、R、V が変わらないため、p と T の比は一定です。図1のように、硬い密閉容器を温める前後の平衡状態を比べると、温度の比がそのまま絶対圧の比になります。加熱中の各瞬間に気体全体が均一な温度であるとは限りません。落ち着く前の表示値を平衡状態の式にそのまま入れないことも条件の一部です。

図1では容器の大きさと気体の量を固定し、温度だけを変えて状態を比較しています。温度を上げると分子の運動が激しくなり、壁への衝突による圧力が増えるという見方もできます。ただし、圧力の値を求めるには、直感だけでなく上の状態方程式と固定条件を使います。

温度差と温度の比は別です。摂氏温度を t とすると、正確な換算は T/K = t/°C + 273.15 です。温度差の大きさは 1 K と 1 °C で等しいため、差を求めるだけなら数値は同じです。一方、比では基準の位置が効きます。例えば摂氏温度が 2 倍になっても、絶対温度は一般に 2 倍ではありません。p/T の T に摂氏の数値を入れると、原点を取り違えます。

絶対圧と圧力計の表示も区別します。ここでは、周囲の圧力を基準にした表示をゲージ圧と呼び、周囲の絶対圧を p₀、ゲージ圧を g と定義します。この定義では p = p₀ + g です。g が 0 でも容器内の絶対圧が 0 とは限りません。また p が p₀ より小さい場合、符号付きの g は負です。測定器によって表示の基準は異なるので、問題の定義を先に読む必要があります。

p₀ が一定なら、g = (nR/V)T − p₀ です。g と T のグラフも直線ですが、原点を通るとは限りません。g の比を T の比と等しく置けるわけではなく、まず p₀ を加えて絶対圧に戻します。p₀ 自体が変わるときは各状態の値をそれぞれ使います。

2つの状態を比べる

例題1　温度幅と増加率

一定量の理想気体を体積が変わらない容器に封入します。平衡状態で T = 300 K のとき絶対圧は 120 kPa です。温度を 360 K、さらに 420 K にしたときの絶対圧と、各区間での圧力の増加率を求めてください。答えは kPa とパーセントで、それぞれ有効数字2桁とします。圧力は平衡を待って測るものとします。

図2のように、横軸の温度が 60 K ずつ増える2区間を見ます。縦軸は絶対圧なので、定積の直線の傾きは 120/300 = 0.40 kPa/K です。

p₂ = 120 × 360/300 = 144 kPa
p₃ = 120 × 420/300 = 168 kPa

したがって指定の桁では 1.4 × 10² kPa、1.7 × 10² kPa です。以後の割合は丸め前の値を使います。各区間の増加量は 24 kPa ですが、増加率は初めの区間が 24/120 = 0.20 で 20 %、次が 24/144 = 1/6 で 17 % です。同じ増加量を異なる基準値で割るので、率は同じになりません。

状態に戻して確認すると、120/300、144/360、168/420 はいずれも 0.40 kPa/K です。表の差も各 24 kPa で、直線の傾きと温度差の積に一致します。答えを先に丸めた圧力で再計算すると確認値に丸めのずれが出るため、途中値を保持します。

例題2　表示圧から絶対圧へ

剛体の密閉容器に一定量の理想気体があります。周囲の絶対圧は一定の 100 kPa で、圧力計の表示 g は容器内の絶対圧から周囲の絶対圧を引いた値です。300 K で g = 50 kPa のとき、400 K での絶対圧と表示 g を求めてください。答えは kPa で有効数字2桁とします。

最初の絶対圧は 100 + 50 = 150 kPa です。定積の関係を使ってから、最後に表示へ戻します。

p₂ = 150 × 400/300 = 200 kPa
g₂ = 200 - 100 = 100 kPa

答えは絶対圧 2.0 × 10² kPa、表示 1.0 × 10² kPa です。50 kPa に温度比を掛けると、周囲の圧力の分を除いた量を比例させてしまいます。結果の表示に周囲の 100 kPa を足すと、状態方程式で得た 200 kPa に戻ることも確認できます。表示は 2 倍ですが、絶対圧は 4/3 倍です。

測定値から容器の条件を調べる

例題3　体積が変わるときの別解

漏れない容器内に一定量の理想気体があります。初めの平衡状態は 300 K、絶対圧 120 kPa です。加熱後は 400 K となり、容器の内側の体積は初めの 1.25 倍になりました。後の絶対圧を kPa で有効数字2桁にしてください。体積の変化は問題の計算用の仮定です。

この容器では定積の式をそのまま使えません。状態方程式の両辺を温度で割れば、一定量について pV/T が共通です。

p₂/p₁ = (T₂/T₁) × (V₁/V₂)
p₂ = 120 × (400/300) × (1/1.25)
p₂ = 128 kPa

答えは 1.3 × 10² kPa です。別の考え方では、まず体積が変わらないと仮定した値 160 kPa を求めます。同じ最終温度で体積が 1.25 倍なら、一定量の状態方程式から圧力はその 1/1.25 倍です。どちらも 128 kPa になります。元の条件に戻すと、128 × 1.25/400 = 120/300 です。温度と体積がともに増えるため、圧力の増減は片方だけでは決まりません。

測定の設計では、同じ容器と封入量を使い、温度を変え、各平衡状態の温度と絶対圧を記録します。温度計と気体が十分に熱平衡に近づくまで待つのは、両者の温度差を小さくするためです。加熱直後は温度が場所によって異なり、圧力や温度計の応答にも遅れがありえます。密閉容器の加熱や加圧には危険があるため、実験は学校の指導の下で行います。

予想されるずれを、条件ごとに分けて考えます。温度上昇に伴って容器が膨張すれば、同じ n と T の剛体容器より V が大きく、p は小さくなります。漏れによって n が減る場合も、同じ V と T では p は小さくなります。ただし、圧力が予想より低い事実だけで両者を区別できません。温度ごとの容器体積を調べるか、封入量の変化を別に確かめると、原因を絞れます。

圧力計の零点が一定量だけずれていれば、読み取った点が縦方向に一様にずれ、傾きより切片に影響します。一方、読み取りのばらつきは点ごとに異なる向きへ生じえます。ゲージ圧を絶対圧と間違える誤りは、零点の故障とは別に、表示の定義を取り違えたものです。繰り返し測定で散らばりを見ても、共通する零点のずれは自動的には消えません。

グラフの直線を測定範囲の外まで延ばす操作は外挿です。理想気体のモデルでは p-T の直線は原点へ向かいますが、実際の気体や容器が広い温度範囲で同じ近似に従うとは限りません。測っていない温度での状態を実測結果と扱わず、近似の限界を残して読みます。

誤った比の直し方

図3のように、摂氏温度の数字や圧力計の表示をそのまま比例式に入れると、比の基準を失います。誤答の原因を確かめるには、式の分子と分母にそれぞれ「絶対圧」「絶対温度」と名前を付けてみます。いずれかが表示値や摂氏温度なら、変換を先に行います。

図3の左側は、摂氏温度と表示圧を記録した段階です。右側では絶対温度と絶対圧を使い、一定量と一定体積を確かめてから比を作ります。温度差は換算前後で数値が同じでも、温度の比は同じではありません。表示の差が絶対圧の差と等しいのも、周囲の圧力が一定の場合です。

もう1つの誤答は、同じ温度幅に対する圧力の増加量が等しいことから、増加率も等しいとするものです。増加量を出発点の圧力で割ると、出発点が高くなるほど率は小さくなります。差と比を別の列に書き、各列の分母を明示すれば、同じ数字がどこで使われるかを追えます。

さらに、密閉という言葉だけで定積と判断する誤りもあります。気体の出入りがなくても、容器が膨らめば体積は変わりえます。逆に体積が一定でも、漏れがあれば物質量は一定ではありません。両方を確認できないときは p/T 一定を結論せず、状態方程式に変化する量を残します。

練習問題

いずれも気体を理想気体とし、指定された状態は平衡状態です。各数値は計算用の仮定です。途中値を保持し、最後に指定の桁へ丸めてください。

1. 一定量の気体を剛体容器に封じ、絶対温度 250 K で絶対圧 90 kPa とします。350 K での絶対圧を kPa、有効数字2桁で求めてください。
2. 定積で一定量の気体を 200 K から 300 K、さらに 400 K にします。初めの絶対圧が 80 kPa のとき、各区間の圧力の増加量と増加率を求めてください。増加量は kPa、増加率は % で、有効数字2桁とします。
3. 周囲の絶対圧が一定の 90 kPa で、ゲージ圧を内圧の絶対圧から周囲の絶対圧を引いたものとします。定積・一定量の気体について、240 K でゲージ圧 30 kPa です。360 K のゲージ圧を kPa、有効数字2桁で求めてください。
4. 漏れない容器に一定量の気体を入れます。初めは 300 K、絶対圧 100 kPa、後は 360 K で、体積は初めの 1.20 倍です。後の絶対圧を kPa、有効数字2桁で求め、定積と仮定した予想と比べてください。
5. 剛体容器中の気体が 300 K、絶対圧 100 kPa から 360 K、絶対圧 108 kPa になりました。初めと後の気体の物質量の比を、後/初めの形で既約分数として求めてください。漏れ以外に気体の出入りはないと仮定すると、この結果は一定量の仮定と両立しますか。

練習問題の答えと道筋

1. p₂ = 90 × 350/250 = 126 kPa なので 1.3 × 10² kPa です。丸め前の 126/350 は 90/250 と等しく、温度と圧力の比が元の状態に戻ります。

2. 絶対圧は順に 80、120、160 kPa です。各増加量は 40 kPa で、2区間の率はそれぞれ 40/80 = 50 %、40/120 = 33 % です。80/200 = 120/300 = 160/400 で、一定量・定積の条件に戻して確認できます。分母にどちらの状態を使うかを、率を出す前に決めます。

3. 初めの絶対圧は 90 + 30 = 120 kPa です。後は 120 × 360/240 = 180 kPa なので、表示は 180 − 90 = 90 kPa、指定の形で 9.0 × 10¹ kPa です。表示に周囲の圧力を戻すと 180 kPa になり、絶対圧の比は温度比 3/2 と一致します。

4. p₂ = 100 × (360/300)/1.20 = 100 kPa、答えは 1.0 × 10² kPa です。定積の予想は 120 kPa で、それより低くなります。100 × 1.20/360 = 100/300 なので、体積を含めた元の状態方程式にも合います。温度の上昇と体積の増加の効果がこの条件では打ち消し合います。

5. V と R が一定なので、物質量は p/T に比例します。後/初めは (108/360)/(100/300) = 9/10 です。後の物質量を初めの 9/10 として状態方程式に戻すと、100 × (9/10) × (360/300) = 108 kPa となります。一定量なら比は 1 のはずなので両立しません。与えられた条件では気体が減ったと考えられますが、実測なら測定誤差や温度の不均一も点検が必要です。

覚えておくこと

一定量・定積の理想気体では p/T が一定です。 温度の比には K、圧力の比には絶対圧を使います。 同じ温度幅なら圧力の増加量は等しく、増加率は出発点によります。 容器の膨張や漏れは、それぞれ定積・一定量の条件を崩します。

どこで立ち止まるか

式を立てる前に、容器の境界を描き、気体の出入りと体積の変化を別々に説明できるか確かめてみてください。グラフが直線になる理由を問われたら、横軸の温度目盛と縦軸の圧力の基準も言葉にします。個別指導では、表示圧から絶対圧へ戻す操作と、増加量を出発値で割る操作を本人の図や式で確認できます。条件を明示した比例式が、定積の圧力変化を読み解く足場です。