高校地理 正積図法の比較—面積を保つ条件と形のひずみを資料の目的に結び付ける｜武蔵野個別指導塾

面積比を手掛かりに形と距離の読み違いを直し、用途に応じて選ぶ正積図法。

よくあるのは、高校生が正積図法の地図を見て、面積が正しいなら輪郭の形も、地図上の2点を結ぶ距離も正しいと考える場面です。地球の曲面を平面に表すとき、ある性質を保っても、別の性質まで同時に保たれるとは限りません。何を比較したい資料なのかを先に定め、面積、形、距離を別々に点検しましょう。

資料問題で見分けること

正積図法の問題では、まず2つの地域の面積を比べる目的に対し、図法が適切かを問われます。ここで判断する対象は、地図上の見かけの面積の比です。色の濃さや輪郭の横幅を比べる問いとは、必要な情報が異なります。面積を比べたいのに長さだけを根拠にすると、縦方向の伸び縮みを見落とします。

次に、同じ正積図法に属するモルワイデ図法とホモロサイン図法の図を資料として示し、面積以外の見え方を比較する問いがあります。どちらも正積ですが、表現の仕方は同一ではありません。ホモロサイン図法には、陸地などの形のひずみを抑える目的で、図を途中で切り離して表すものがあります。切断の有無を資料で確かめ、離れた部分どうしを定規で直接結べるかを考えます。

もう一つは、結論の言い過ぎを直す問いです。「正積だから面積の比を比べられる」と「正積だから形も距離も正確だ」は別の主張です。前者の根拠を示しても後者は導けません。答案では、保たれる性質と、資料から保証されない性質を分けて書きます。

面積の比を保つとは

正積図法は、地球上の面積の比が地図上の対応する面積の比に保たれる図法です。例えば、地球上である範囲の面積が別の範囲の2倍なら、同じ正積図法の地図でも対応する面積は2倍になります。地図上の面積そのものが地球上の面積と同じ数値になるという意味ではありません。紙に縮めた面積には縮小がかかりますが、その共通の割合が比を取ると消えます。

図1のように、保存される量と、そこからは保証されない量を横に並べると整理できます。比較する範囲は同じ地図上で対応が明確であることが前提です。面積を見たい対象を塗り分ける場合は、色の凡例や対象範囲も別に確認します。図法が正積でも、境界が読み取れなければ、その図だけから厳密な面積を求められるわけではありません。

図1の「形」は、地域全体の輪郭の形を指します。面積が同じでも、細長い形と幅の広い形は作れます。縦に伸びた分を横方向の縮みが補えば、面積が変わらないこともあります。したがって面積が保存されることは、個々の方向の長さや角度が保存されることを意味しません。

モルワイデ図法は世界全体を一続きに示す正積図法として扱われます。世界全体の面積の比を見渡しやすい一方、位置によって形にはひずみがあります。ホモロサイン図法も正積図法で、切断を入れた表現では、切断によって陸地などの形のひずみを抑えることを目指します。切断された部分の間に紙面上のすき間ができるため、そのすき間を横切る長さを距離とみなすことはできません。どの場所が切断されるかは個々の図で確認します。

正積であることと正角であることも区別します。正角は局所の角度を保つ性質で、地域全体の輪郭をどこでも完全に保つという意味ではありません。正距も、指定された起点などからの距離を保つ条件を伴います。これらを一括して「正しい地図」と呼ばず、どの量を、どの範囲で保つのかを言葉にします。

基本例題：面積比を取り出す

自作問題です。同じ正積図法の地図上で、範囲Aの面積は12 cm²、範囲Bの面積は8 cm²です。AとBは地球上の対応する範囲をそれぞれ表します。地球上のAとBの面積比を、最も簡単な整数の比で答え、その根拠を1文で示してください。地図の縮小率は同じで、測定した面積は正確という条件です。

図2の表は、この与件を整理したものです。図の数値は説明のために置いた数学上の条件で、地域の観測値ではありません。

与件：同一の正積図法の地図で、Aは12、Bは8です。

単位：どちらも地図上の面積で、単位はcm²です。

根拠：正積図法は地球上の対応する面積の比を保ちます。

操作：12対8を両方4で割り、3対2にします。

答案：地球上の面積比はA対Bが3対2です。正積図法では対応する面積の比が保たれるためです。

場面への戻し：3対2の両方に4を掛けると12対8に戻り、地図の与件と一致します。

図2の2つの数から、Aの実際の面積が何平方キロメートルかは決まりません。比はわかっても、実面積を数値にするには面積に対応する縮小の情報が必要です。また、この比だけからAの輪郭がBと似ているか、Aの端から端までの距離がいくつかは判断できません。問われたのが比なのか実面積なのかを確認し、使える根拠の範囲を越えないようにします。

標準と発展：目的から図を選ぶ

標準例題

自作問題です。資料Pは一続きのモルワイデ図法、資料Qは途中を切断したホモロサイン図法で、どちらも同じ範囲を正積で表しています。地球上の2つの範囲の面積比を見たい人と、切断線をまたぐ2地点間の道のりを見たい人がいます。それぞれについて、PとQから言えることを「面積比」「切断」の語を使い、各1文で答えてください。距離の測定方法は与えられていません。

面積比を見たい人には、PとQのどちらも正積なので対応する範囲の面積比を比べられる、と答えます。形のひずみの見え方が違っても、正積という条件は共通です。ただし、資料上の境界を判別できることが比較の前提です。図が小さくて境界が見えない場合、正積であることだけでは正確な読み取りはできません。

道のりを見たい人には、Qは切断によるすき間を横切る紙面上の長さを実際の道のりとみなせず、Pも正積という条件だけでは距離を保証しない、と答えます。一続きのPなら任意の2点を結ぶ線を紙の上に描けますが、描けることと実際の距離を正しく測れることは違います。Qも距離情報を別に与えれば利用できる場合がありますが、図のすき間自体を地表の距離に置き換えてはいけません。

判断を与件へ戻すと、PもQも面積比については同じ条件を満たします。一方、Qには切断があり、Pにも距離保存の条件はありません。片方が全面的に優れているという結論ではなく、目的に必要な条件があるかどうかで結論が分かれます。

発展示例題

自作問題です。正積図法の地図で、範囲Cの地図上の面積は15 cm²です。同じ地図上の範囲Dの地球上の面積はCの3分の2です。Dの地図上の面積をcm²で答え、答えを元の比へ戻してください。さらに、Dの横幅がCより短いかを、この条件だけで判断できるか、理由を1文で答えてください。

正積なので、Dの地図上の面積もCの3分の2です。15に3分の2を掛けると10 cm²です。10対15を約分すると2対3で、DがCの3分の2という条件に戻ります。これは比を通じた検算です。15から2を引くなど、分数の分母を使わない操作では、元の条件に戻りません。

横幅の大小は判断できません。面積が小さくても横に長く縦に薄い形はあり、逆に横が短く縦に長い形もあり得ます。面積だけでは縦横それぞれの長さが決まらないからです。問題が実際の輪郭や長さを別に与えれば、その情報を用いて比較できますが、正積という性質から追加してはいけません。

ここでの3分の2は範囲Dを範囲Cで割った比です。分子と分母を逆にすると答えは15より大きくなり、Dの方が小さいという与件に反します。計算前に「どちらを基準にするか」を書き、計算後には大小関係も点検します。整数の答えが出ても、単位を落とすと地図上の面積と地球上の実面積が混ざるため、cm²を添えます。

誤答から根拠へ戻る

図3のように、面積比から形や距離の保存へ飛躍した答えは、根拠を2段階に分けて直します。まず正積から言えることを残し、次に形と距離について別の条件があるかを調べます。

誤答は「正積図法だから、面積も形も距離も正確です」です。原因は「正積」の「正」を、あらゆる性質が正しいという意味に広げたことです。修正後は「対応する面積の比は保たれますが、形や距離が保たれるとは限りません」とします。正積という語が指定するのは面積であり、他の性質は別に検討します。

別の誤りは「切断された図で離れて見える2地点は、地球上でも必ず遠い」です。紙面のすき間には地表の連続した範囲がそのまま入っていません。切断の両側の位置関係を確認し、すき間を距離の根拠から外します。反対に、切断があるから面積比も失われると考えるのも誤りです。正積という条件と切断の表現を別々に扱います。

面積の比の問題では、測定値を逆に並べる誤りにも注意します。問がA対Bなら、地図上でもA対Bの順に置きます。求めた比を元の数に掛け戻し、順序と大きさの両方が一致するかを確かめます。図3の修正は暗記の言い換えではなく、与件と結論の間に余分な主張を入れないための手順です。

練習：条件を変えて考える

次の5問は自作です。各問いの答えの形を守り、先に問題を解いてから解答を読んでください。面積の数値は数学上の与件であり、実在地域の統計ではありません。

1. 同じ正積図法の地図上で、範囲Eは18 cm²、範囲Fは12 cm²です。地球上のE対Fの面積比を最も簡単な整数の比で答え、元の数に戻して確かめてください。
2. 同じ正積図法の地図上で、範囲Gは21 cm²です。地球上で範囲HはGの3分の1の面積です。Hの地図上の面積をcm²で答え、Gに対する比を求め直してください。
3. 正積図法の地図上で、範囲JとKの面積が等しいとします。地球上の面積が等しいと言えるか、また輪郭が同じ形と言えるかを、それぞれ理由を付けて1文ずつ答えてください。
4. 切断されたホモロサイン図法の図で、2地点が切断の両側にあります。紙上のすき間を含む直線の長さを実際の距離として使ってよいか。「切断」「距離」を使って1文で答えてください。
5. 一続きのモルワイデ図法と切断されたホモロサイン図法を比べます。どちらも正積という条件のもと、面積比を比較する場合の共通点と、切断をまたぐ長さを読む場合の注意点を各1文で答えてください。

解答と考え方

1. 答えは3対2です。18対12を両方6で割ります。3と2にそれぞれ6を掛けると18と12に戻ります。順序を逆にするとEがFより小さいことになり、与件と合いません。正積なので、この地図上の比を対応する地球上の比に移せます。

2. 答えは7 cm²です。21に3分の1を掛けます。7対21は1対3で、HがGの3分の1という与件に戻ります。地球上の実面積を7 cm²とした答えは、地図上の面積と取り違えているため適切ではありません。

3. 面積については、正積図法が対応する面積の比を保つので、地球上でも等しいと言えます。形については、等しい面積から輪郭の形は決まらないので、同じとは言えません。採点では、面積比の保存と、形を決める根拠がないことの両方を確認します。等しいという言葉を形にまで移した答案は、2つ目の理由が不足しています。

4. 使えません。切断で生じたすき間は、対応する地表の距離をそのまま示していないからです。採点では、すき間を根拠から外す理由が書かれているかを見ます。単に「正積だから距離は違う」とすると、何が問題なのかが不明確です。別途与えられた距離資料の利用まで否定する必要はありません。

5. 共通点は、どちらも正積なので対応する範囲の面積比を比べられることです。注意点は、切断された図のすき間を横切る紙面上の長さを地表の距離とみなさないことです。採点では、共通する保存性と切断による読み取り上の制約を区別しているかを見ます。一続きの図についても、正積だけから距離の正確さは導けません。

要点を手元に残す

正積図法は、対応する面積の比を保ちます。
モルワイデ図法とホモロサイン図法は、どちらも正積です。
形と距離の保存は、面積比とは別に調べます。
切断された図のすき間を、地表の距離として測りません。
比は順序をそろえ、元の条件へ戻して確かめます。

つまずいた場所を確かめる

比の計算で止まるときは、先に対象の順序と単位を書き、約分した数を元に戻せるかを見ます。答えが合っていても、地図上の面積と地球上の実面積を混ぜていれば、与件の欄へ戻ります。形や距離について言い過ぎるときは、資料に書かれた保存性に線を引き、結論のどの部分を支えるかを確かめます。

個別指導では、資料から読み取った条件を本人の言葉で説明し、切断のある図と一続きの図で何が異なるかを確認します。面積比の保存を根拠にできる範囲が見えれば、資料の目的に合う図法を選べます。