高校地理 正距方位図法の中心—距離と方位が保たれる起点を条件から読み取る｜武蔵野個別指導塾

中心を替えた2枚の地図を比べ、距離と方位を測れる組合せを見分ける鍵は正距方位図法の中心です。

よくあるのは、正距方位図法の地図を見た高校生が、中心から離れた2地点を定規で結び、その長さをそのまま実際の距離と答える場面です。「正距」という名前を覚えていても、どこからどこまでの距離かを確かめなければ、使える性質を広げすぎてしまいます。まず地図の中心を印で囲み、測ろうとする2地点のどちらがそこにあるかを見ましょう。

問題はどこを起点にしているか

出方の1つは、中心と目的地の組を示し、距離や方位を読み取れるかを問うものです。ここでは中心から目的地へ向かう組になっているかが最初の判断です。目的地から中心へ向かう方位を尋ねられたときは、向きが逆になったことにも注意します。中心からの方位を読めるという条件を、そのまま逆向きにも当てはめることはできません。

別の型では、中心以外の2地点の間を測れるかを問います。地図上の2点を直線で結ぶことはできますが、その線分の長さに中心からの距離の保存性を使う根拠はありません。測れないと決める前に、問題が別の距離資料や追加条件を与えていないかも探します。「この図法の性質だけでは決められない」という結論は、距離が存在しないという意味ではありません。

さらに、中心の異なる2枚を比べる型があります。同じ地点の組でも、どちらの地図を選ぶかで、保存性を直接使えるかが変わります。地点の名前ではなく、その地図に記された中心と、問題が指定した起点の対応を確かめることが鍵です。縮尺が共通であるかどうかも別に確認します。

保存されるものに起点を付ける

正距方位図法は、地球上の位置を平面に表す図法の1つです。地球の曲がった面を平らな紙へ移すとき、距離・方位・面積・形をどこでも同時にそのままにすることはできません。そこで、この図法では選んだ中心から各地点までの距離と、中心から見た各地点の方位に注目します。距離は地表上の最短経路に沿う距離として考えます。

中心を O、ほかの地点を A、B と呼びます。O から A までの距離と、O から見た A の方位は、この図法の性質を使って読めます。O から B についても同じです。しかし A と B はいずれも中心ではありません。A から B までの距離や、A から見た B の方位について、中心からの保存性だけでは保証できません。

図1のように、同じ A と B を含む組でも、中心 O を含むかどうかで根拠が変わります。表の「保証外」は、数値が必ず誤るという意味ではありません。たまたま一致する場合を含め、与えられた保存性だけでは正しいと判定できない、という意味です。地図上の長さから実際の長さに換算できるのは、その線分に保存性を使えると確認した後です。

方位も距離と同じように、出発点を明示します。「A の方位」という言い方だけでは、どこから見た向きかが抜けています。O から見た A の方位と、A から見た O の方位は、別の問いです。地球上の方位は経路に沿って変わり得るため、一方を単純に反対向きにすればよいとは限りません。方位の基準が図に書かれていないときは、紙の上の向きだけで数値を作らず、凡例や条件を確かめます。

中心を別の地点に移して地図を作り直すと、新しい中心からの距離と方位を読むための地図になります。地点そのものの位置関係が変化するわけではなく、どの地点からの量を直接読めるかが変わります。複数の地図を比べるときは、見た目の形が同じかを先に比べるより、それぞれの中心と縮尺を対応させると判断しやすくなります。

なお、地図の周縁部までの描き方や表示範囲、縮尺の表し方は資料ごとに確認が必要です。中心からの直線が通る方向と距離を読めることから、周囲の面積や局所の形まで正確だと結論することはできません。地図の使い道を考えるときは、必要な量がこの図法の保存する量に含まれるかを尋ねます。

基本例題：中心を含む組を選ぶ

次は自作の条件です。中心 O の正距方位図法の地図で、縮尺は 1:100000000 とします。O と A の地図上の距離は 3 cm、O と B は 5 cm です。A と B はともに中心以外の地点です。O から A までの地表上の最短距離を km の整数で求め、A と B の間にも同じ計算を使えるかを理由とともに答えてください。

図2は線を地図として描かず、与件を組ごとに並べています。O と A の組には中心が入り、A と B の組には入りません。3 cm と 5 cm は地図上の長さで、実在地点の測定値ではありません。

与件：中心は O、O から A までの地図上の長さは 3 cm です。

単位：縮尺 1:100000000 は、地図上 1 cm が実際の 100000000 cm に対応するという与件です。100000 cm が 1 km なので、これは 1000 km に当たります。

根拠：測る組の一端が中心 O であり、O から A への距離に正距方位図法の性質を使えます。

操作：3 cm に 1000 km/cm を掛けると 3000 km です。

答案：O から A までの最短距離は 3000 km です。A と B はどちらも中心ではないため、中心からの距離が保たれるという性質だけでは、A と B の間の距離を同じようには求められません。

場面への戻し：3000 km を 1 cm 当たり 1000 km で割ると 3 cm となり、与えられた地図上の長さに戻ります。O と B についても、この与件では 5 cm が 5000 km に対応します。ただし、その2つの値だけから A と B の距離を引き算で決めることはできません。中心から同じ方向に並ぶという条件が与えられていないためです。

この問題では、縮尺の計算が正しくても、保存性の対象を誤れば答えは支えられません。反対に、中心を含む組と見抜いても、cm と km の換算を間違えれば数値がずれます。根拠と単位を別々に点検することで、どちらの段階でつまずいたかを見つけられます。

中心を替えたときと、情報が足りないとき

標準例題：同じ組に使う地図を選ぶ

自作の2枚の地図 P、Q はともに正距方位図法です。P の中心は C、Q の中心は D です。C と D と E は互いに異なる地点です。C から E への距離と方位を、この図法の性質から直接読むにはどちらを選ぶか、地図名と理由を1文で答えてください。2枚の表示範囲には必要な地点が含まれ、距離と方位を読むための縮尺と基準も示されているものとします。

起点として指定されたのは C です。P は C が中心なので、C から E の距離と方位に保存性を使えます。Q は D が中心ですから、C から E の組に対して同じ根拠を使うことはできません。答えは「P。C が中心で、C から E への距離と方位が保たれるから」です。

答案に「P は正距方位図法だから」とだけ書くと、Q も同じ図法なので選んだ理由が伝わりません。「C が中心」という情報と「C から E」という問いをつないで書きます。元の条件に戻し、P で始点が中心になっていること、Q ではそうなっていないことを見比べれば、選択の根拠を再確認できます。

C と E の距離を知る目的なら、E を中心にした別の正距方位図法も、E から C への距離を読むために使えます。距離は両地点を入れ替えても同じだからです。しかし C から E への方位を知る目的では、E を中心にした地図の E から C への方位をそのまま使えません。距離と方位では、向きを入れ替えたときの扱いが異なります。

発展例題：測れた値から言える範囲

自作の条件です。中心 R の正距方位図法で、R から S と T までの距離がそれぞれ 4000 km と示されています。S と T は異なる地点です。ある人は「S と T は中心から同じ距離なので、2地点間の距離も 4000 km である」と答えました。この答えを採用できるか、「方位」と「中心」を使って2文程度で説明してください。

採用できません。中心 R からの距離が等しいだけでは、R から見た S と T の方位の関係が指定されていないからです。S と T は中心ではなく、両者の間の距離に中心からの保存性をそのまま使うこともできません。

同じ距離は、中心を基準とした2つの値の一致を示します。それは S と T が互いにどれほど離れるかを示す値ではありません。方位の条件を変えて考えれば、中心からの距離を変えずに地点間の関係を変えられることがわかります。追加の資料が与えられていない以上、数値の答案を作らず、何が不足するかを示します。

さらに、2地点が中心から見て同じ方位にあるという条件が明示され、同じ最短経路上に並ぶ範囲であれば、中心からの距離の差を地点間の距離として扱える場合があります。ただし、そうした並びを問題文から確認せず、中心からの距離をいつでも引いてはいけません。条件を付け足すのではなく、資料に書いてあるかが判断の境目です。

誤答を根拠まで戻して直す

誤答の例は「正距方位図法なので A と B の間を直線で測れば実際の最短距離になる」です。原因は、図法の名前から「距離が正しい」という部分だけを取り出し、中心という条件を落としたことにあります。線分が引けることと、その長さが実際の距離を表すことは別の話です。

図3のように、修正の入口は「どの地点が中心か」という問いです。中心 O の地図で A と B が中心以外なら、「A と B の距離は、この図法の中心からの距離の性質だけでは決められない」と書き直します。別途、A と B の距離が資料に示されていれば、その資料を根拠に答えることはできます。図法の性質から言えないことと、資料全体から言えないことは区別しましょう。

もう1つの誤りは「中心を替えても、同じ地点の組はどの地図でも同じ方法で読める」というものです。地球上の距離そのものは変わらなくても、地図が保証する組は中心に応じて変わります。地図ごとに中心を記し、求める組の一端と照合してください。地図の中で点を見つけた後に、どの性質を使うかを決めます。

方位についても「中心からの方位が正しいなら、どの地点から見た方位も正しい」と広げる誤りがあります。問いが「誰から見た向きか」を見落としていることが原因です。始点を文中に書き込み、地図の中心と一致するかを確かめます。方位が示されていない場合は、距離の値から方位を推測しません。

計算の誤りなら、図法の性質と単位の換算を分けて直します。例えば縮尺の分母を掛けた後、cm を km に直す際には 100000 cm が 1 km であることを使います。答えから地図上の長さへ戻した値が問題の与件と一致するかを検算すると、単位の取り違えを見つけやすくなります。

練習：条件を選び、答えを確かめる

次の5問は自作です。各地点は問題に書いたものどうしでは異なります。必要な地点は地図の表示範囲にあり、距離と方位の読み取りに必要な基準は示されているものとします。

1. 中心 M の正距方位図法で、縮尺を 1:50000000、M と N の地図上の距離を 4 cm とします。M から N までの地表上の最短距離を km の整数で求めてください。
2. 中心 U の地図で、V と W は中心以外です。V と W を結ぶ線分の長さから、2地点間の距離をこの図法の性質だけで求められるか、「中心」を使って1文で答えてください。
3. 正距方位図法の地図 X は K を中心、地図 Y は L を中心とします。L から K への距離と方位を直接読むために選ぶ地図名と、その理由を1文で答えてください。
4. 中心 F の地図で、F から G、F から H の距離はともに 6000 km です。G と H の距離が 0 km だと決められるか、「方位」を使って1文で答えてください。
5. 中心 J の正距方位図法で、J から P への方位が資料に示されています。この値をそのまま P から J への方位として使えるか、出発点を明示して1文で答えてください。

解答と確認

1. 2000 km です。地図上 1 cm は 50000000 cm、つまり 500 km に当たります。4 cm なので 4 × 500 で 2000 km です。2000 km を 500 km/cm で割ると 4 cm に戻ります。M が中心なので距離の保存性を使え、km の整数で答えた点も条件に合います。
2. 求められません。V と W はどちらも中心 U ではなく、この図法で距離が保たれるとされる中心からの組ではないからです。採点の観点は、中心を含まないことと、図法の性質だけでは決められないことの両方です。線分を引けないと書いた場合は、作図の可否と距離の保証を混同しています。
3. Y です。L が中心で、求める方位と距離の起点が L だからです。X にも L と K が載っていても、それだけで L からの方位を保証する根拠にはなりません。答えを問いに戻すと、Y の中心と指定された出発点が一致します。
4. 決められません。F から G と H への方位の関係が示されていないため、中心からの距離が等しいことだけでは G と H の間を決められません。2地点が異なるという条件も、0 km とする答えに反します。距離が等しい相手を同一の地点だと読み替えていないかが採点の観点です。
5. そのまま使えません。資料が示すのは J から P への方位で、問いは P から J への方位だからです。地点の組が同じでも出発点が逆です。両方の出発点を答案に記し、距離の対称性を方位へ持ち込まないことを確かめます。

これらの問題は、数を求めるものと、根拠の限界を述べるものが混じっています。数値が与えられていても、必ず四則計算が必要とは限りません。まず求める量を「どこから、どこまで」と書き、次にその組に使える性質を選びます。記述問題では、資料にない方位や距離を勝手に補わず、結論が与件に戻ることを確かめます。

手元に残す要点

中心から各地点への距離と方位を読む図法です。
中心以外の2地点間には、その保存性をそのまま広げません。
中心を替えたら、問いの起点と新しい中心を照合します。
距離の換算は単位をそろえ、答えから地図上の長さに戻します。
方位は出発点を明記し、逆向きの問いと区別します。

つまずきを見分ける

計算の途中で答えがずれたときは、まず中心を含む組を選べていたかを確認します。組が正しければ、縮尺の分母と cm から km への換算に戻ります。逆算で元の地図上の長さに戻るかを一緒に確かめると、立式と単位のどちらに原因があるかを切り分けられます。

記述が曖昧なときは、「どこから見た」「どの地図の中心」という言葉を補って読み直します。個別指導では、同じ地点の組に対して中心の異なる地図を並べ、根拠に線を引いて選ぶ過程を確認します。中心を示す一語が、地図から言えることの範囲を決めます。