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高校数学A 接弦定理の証明と角の選択—接線の向きと弧の位置を合わせて読み替える｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

接点から伸びる2方向の半直線と円周上の点の位置を対応させ、鈍角も含めた接弦定理の証明へ進みます。

よくあるのは、円の接点から引いた弦と接線が作る角について、高1が図で小さく見える角をいつも選んでしまう場面です。接線は接点から両方向に伸びる直線なので、弦との角は2つあります。円周上の点を弦の反対側へ移すと、対応するのはもう一方の角です。どの半直線とどの弧を見ているかを確かめれば、図の見た目に頼らずに角を選べます。

接点で何を読み取るか

出方には主に3つの型があります。接線と弦の角から円周角を求める型、円周角から接線上の指定された側の角を求める型、角の等しさからある直線が接線であることを示す型です。最初の2つでは、弦の両側にある円周角が補角になることも使います。最後の型では、等しい角を作る直線が接点を通り、正しい側を向いていることまで確認します。

例えば円周上の点が弦の一方の側にあるとき、接線上にも対応する半直線があります。その半直線を反対向きに変えると角は 180° から元の角を引いた値になります。円周上の点も弦の反対側に移せば、円周角の方も補角に変わります。2つの変更は同時に行う必要があります。

弧と半直線を対応させる

円の接線とは、円とただ1点で接する直線です。接点を T、中心を O、T と異なる円周上の点を A とします。接線は半径 OT に垂直です。弦 TA が円を分ける2つの弧のうち、円周上の点 C を含まない方の弧を、∠TCA が見込む弧といいます。C は T、A と異なり、三角形 TCA はつぶれていないものとします。

図1のように、接線上の T から右への半直線を TX とし、C を直線 TA の TX と反対側に取ります。このとき、接線と弦の角 ∠XTA と、弦 TA に対する円周角 ∠TCA は等しくなります。接弦定理はこの関係を述べています。角を表す3文字では真ん中が頂点なので、∠XTA の頂点は接点 T、∠TCA の頂点は C です。

図1では、C が弦 TA のどちら側にあるかと、半直線 TX の向きを同時に見ます。C を弧 TA の反対側に移すなら、TX も反対向きに取り直します。接線全体と弦だけを見て「小さい方」と決めると、この対応が失われます。

半径から等しさを導く

まず TA が直径でない場合を考えます。中心角の小さい方を ∠TOA = 2θ とし、0° < θ < 90° とします。OT = OA は半径ですから、二等辺三角形 TOA の底角はどちらも (180° − 2θ)/2 = 90° − θ です。接線は OT と垂直なので、小さい弧 TA の側に向かう接線の半直線と弦 TA のなす角は 90° − (90° − θ) = θ です。

一方、大きい弧 TA 上の点 C から小さい弧 TA を見る円周角は、円周角の定理より中心角 2θ の半分、すなわち θ です。よってこの円周角と先ほどの接弦の角は等しくなります。C が小さい弧上にある場合は、大きい弧を見込む円周角が 180° − θ です。接線の反対向きの半直線と弦との角も 180° − θ ですから、こちらも等しくなります。両側を述べて初めて、鈍角を含む関係が説明できます。

TA が直径なら、直線 TA は半径 OT と同じ直線です。接線との角は両方向とも 90°、直径 TA に対する円周角も 90° なので、同じ結論です。直径のときに二等辺三角形 TOA を使おうとすると3点が一直線になり、三角形が成立しません。この場合を分けることが証明の条件です。

基本例題：接線から円周角へ

円の接点 T における接線上に点 X を取り、円周上に T と異なる点 A、T と A の両方と異なる点 C を取ります。C と X は直線 TA の反対側にあり、∠XTA = 60° です。∠TCA を度数で求めてください。

図2のように、接点は T、弦は TA です。C は X と弦の反対側にあるので、指定された半直線 TX を使う接弦定理が適用できます。図2では接線の右側に X があり、円周角は C にあります。

接弦定理より、次のようになります。

∠TCA = ∠XTA
       = 60°

答えは 60° です。逆向きの半直線を TY とすれば、∠YTA = 180° − 60° = 120° です。C と同じ側の円周角に 120° を当てはめるのは、接線の向きだけを変えた計算になります。答えの 60° を元に戻すと、C と X が弦の反対側という条件に沿って ∠XTA と一致するので、角の選択も確認できます。

標準例題：反対側へ点を移す

円の接点 P での接線上に P をはさんで X、Y があり、A は P と異なる円周上の点です。円周上の B、C は P、A と異なり、B と X は直線 PA の反対側、C と X は同じ側にあります。∠PBA = 47° のとき、∠XPA、∠YPA、∠PCA をそれぞれ度数で求めてください。

B と X は弦 PA の反対側ですから、接弦定理で ∠XPA = ∠PBA です。半直線 PX と PY は逆向きなので、∠XPA と ∠YPA の和は 180° です。また C と Y は弦の反対側にあるため、∠PCA = ∠YPA です。順に計算します。

∠XPA = 47°
∠YPA = 180° - 47°
       = 133°
∠PCA = ∠YPA
       = 133°

答えは順に 47°、133°、133° です。B と C は弦 PA の反対側にあるので、それぞれの円周角の和は 47° + 133° = 180° です。この確認は、円周角の定理からも得られる関係に戻しています。C の角にも 47° を入れると、弦の両側の角を同じ向きの接線に結びつけたことになります。

発展例題：等角から接線を判定する

円周上に異なる3点 T、A、C があり、三角形 TCA はつぶれていません。点 X は直線 TA に乗らず、C と直線 TA の反対側にあります。∠XTA = ∠TCA のとき、直線 TX が円の T における接線であることを証明してください。

まず結論と仮定を分けます。仮定は点の位置と2つの角の等しさであり、結論は直線 TX が接線であることです。TX を接線と仮定して接弦定理を使うと、結論を根拠に戻してしまいます。そこで、円の T における接線を別に引き、そのうち C と直線 TA の反対側に伸びる半直線を TY とします。

接線 TY について接弦定理を使えるので、∠YTA = ∠TCA です。仮定と合わせると、次を得ます。

∠XTA = ∠TCA
∠YTA = ∠TCA
∠XTA = ∠YTA

半直線 TX と TY はどちらも直線 TA の C と反対側にあり、半直線 TA となす角が等しいため一致します。したがって直線 TX は、別に引いた T における接線と同じ直線です。ゆえに直線 TX は円の T における接線です。

側の条件が必要なのは、半直線 TA の両側に同じ大きさの角を取れるからです。側を指定せずに角の数値だけを比べると、接線と異なる直線も候補に残ります。また X が直線 TA 上にある場合は角が 0° または 180° となり、つぶれていない三角形の円周角とは一致しません。仮定を確かめてから逆を使います。

条件を変えたときの見分け方

接弦定理を適用する前に、接線と呼ばれた直線が本当に接点を通るか、弦の端点がともに円周上にあるかを確かめます。接点を通る任意の直線に、この定理をそのまま使うことはできません。問題で接線と与えられていなければ、半径との垂直や、上の逆の条件などを使って接線であることを先に示します。

また、同じ弦を見る円周角でも、頂点を弦の反対側へ移すと見込む弧が変わります。小さい弧を見込む角と大きい弧を見込む角を区別し、両者の和が 180° になることを確かめます。弧の大きさや図の傾きは変えられますが、点の側と半直線の向きの対応は変わりません。角が 90° なら補角も 90° になり、数値の一致だけでは向きの誤りを見つけにくいので、位置の確認を省かないようにします。

小さい角を選ぶ誤答を直す

図3のように、接点 T の接線上の X と、弦 TA の小さい弧上の D が直線 TA の同じ側にあるとします。∠XTA が 60° のとき、「接弦の小さい角が 60° だから ∠TDA も 60°」とするのは誤りです。図3では D が基本例題の C と弦の反対側に移っています。

原因は、接線上の半直線と円周上の点の位置を別々に変えたことです。D と弦の反対側にある接線の半直線は TY なので、∠TDA に対応するのは ∠YTA です。したがって、正しくは次のように求めます。

∠YTA = 180° - ∠XTA
       = 180° - 60°
       = 120°
∠TDA = ∠YTA
       = 120°

元の 60° と答えの 120° の和は 180° です。図2の C と図3の D が弦 TA の反対側にあることにも合います。図を描き直せない場合でも、弦の両側に X と D を書き込んで、対応する接線の半直線を選び直せます。角の大きさが鈍いか鋭いかは、その後の確認に使います。

自分で位置を決める5問

各問で円周上の点は名前の異なる点どうしが異なり、三角形はつぶれていないものとします。角は度数で答え、証明を求める問では根拠を示してください。

円の接点 T の接線上に X があり、弦 TA に対して C と X は反対側にあります。∠XTA = 38° のとき、∠TCA を求めてください。
接点 P の接線上に P をはさんで X、Y があり、円周上の A、B は B と X が直線 PA の反対側にあります。∠PBA = 72° のとき、∠YPA を求めてください。
円周上の A、B、C、D がこの順に並んでいます。A の接線上に、D と直線 AB の反対側に点 X を取ります。∠XAB = 115° のとき、∠ADB と ∠ACB を求めてください。
円の直径 UV と U での接線上の点 X、U と V に異なる円周上の点 W を取ります。∠XUV と ∠UWV を求め、その理由を説明してください。
円周上の異なる3点 P、Q、R と、直線 PQ 上にない点 S があります。S と R は直線 PQ の反対側にあり、∠SPQ = ∠PRQ です。直線 PS が円の接線であることを証明してください。

5問の解答と位置の確認

接線上の X と円周上の C は弦 TA の反対側です。接弦定理より ∠TCA = ∠XTA = 38° です。求めた角を接線側に戻しても 38° となり、与えられた角に一致します。
接弦定理より ∠XPA = ∠PBA = 72° です。PX と PY は逆向きなので、∠YPA = 180° − 72° = 108° です。108° と 72° の和が 180° であり、直線上の2つの角という条件に戻ります。
D と X は弦 AB の反対側なので、∠ADB = ∠XAB = 115° です。C と D はともに弧 AB のうち A、B の順に C、D を含む側にあるため、弦 AB に対する円周角は等しく、∠ACB = 115° です。どちらも同じ弧 AB を見込み、与えられた接弦の角に戻ります。X の位置により、この接線の角は鈍角を選びます。
接線は接点への半径に垂直で、UV はその半径を含む直線です。したがって ∠XUV = 90° です。また直径に対する円周角なので ∠UWV = 90° です。接線の反対向きでも直角であり、直径の両側のいずれに W を取っても条件に合います。
P における接線を引き、そのうち R と直線 PQ の反対側へ伸びる半直線を PT とします。接弦定理から ∠TPQ = ∠PRQ です。仮定の ∠SPQ = ∠PRQ と合わせると ∠SPQ = ∠TPQ です。PS と PT はともに直線 PQ の R と反対側にあり、PQ となす角が等しいため一致します。よって直線 PS は P における接線です。得られた接線に接弦定理を適用すると、元の等角と側の条件に戻ります。