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高校数学A 条件付き確率と乗法定理—枝の先で変わる確率を掛けて経路を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 場合の数と確率を掘り下げる

部品を戻さず取り出す操作や別の箱へ移す操作で、中身の変化を枝ごとに記録し、経路の確率を計算します。

よくあるのは、高1が部品を一方の箱から別の箱へ移し、その後に取り出す場面です。最初に赤い部品を移した場合と青い部品を移した場合では、移送先の中身が異なります。それなのに、移送後の赤の確率をどちらの枝でも同じ分数にしてしまうことがあります。

樹形図は、作業の順序と、その時点で使える情報を並べる道具です。枝を1本進むたびに箱の中身を書き直せば、分子と分母がどこから来たか追えます。ここでは経路の確率を求めるところまで扱い、観測された結果から移送元を逆算する問題には進みません。

どの経路を求めるか

出方の1つは、同じ箱から戻さずに2回取り出す問題です。最初の取り出し後は総数が1減り、取り出した色の個数も1減ります。順序を指定された場合は、その順に沿う1本の経路を考えます。

もう1つは、箱から別の箱へ部品を移してから、移送先で取り出す問題です。移送された色に応じて移送先の内訳が変わります。移送前の比率をそのまま次の枝に置くと、増えた1個を数えていません。

さらに、最後に得られた色だけを問う場合には、そこへ至る複数の経路を合わせます。各経路が同時には起こらず、目的の結果を漏れなく含むことを確認してから足します。掛けるのは同じ経路の前後、足すのは区別された経路どうしです。

条件のついた枝を読む

事象Aが起こったという条件の下で事象Bが起こる確率を、P(B｜A)と書きます。P(A)が正のとき、定義は次のとおりです。AとBがともに起こる事象をA∩Bとします。

P(B｜A) = P(A∩B) / P(A)
P(A∩B) = P(A)・P(B｜A)

2行目が乗法定理です。まずP(A)>0を確かめてから、条件付き確率を使います。Aが起こる枝の重みをP(A)、その枝に入った後のBの割合をP(B｜A)と見ると、全体のうち両方を満たす割合が積になります。Bが後の操作でなくても定理は成り立ちますが、ここでは時間順の操作に沿って読みます。

図1のように、最初の枝Aを通るかどうかで次の枝の数字は変わりえます。Aでない枝からBへ進む確率は、一般にはP(B｜A)と別です。それぞれの分岐点から出る枝の確率の和が1になることも点検します。

たとえば赤3個、青2個の箱から1個を取り出し、戻さずもう1個を取り出します。赤を先に得た枝では残りは赤2個、青2個です。青を先に得た枝では赤3個、青1個です。後の赤の確率はそれぞれ2/4、3/4です。同じ箱でも、条件の違いにより次の比率は一致しません。

一方、毎回戻して十分に混ぜるなら、2回目の箱の内訳は最初と同じです。この違いは計算の途中で勝手に決められません。問題文の操作を読み、どの時点の個数を分母にするかを決めます。

基本例題：戻さずに2回取り出す

赤4個、青3個の区別できる部品が入った箱から、1個ずつ2回取り出します。毎回、残っている個々の部品は同様に取り出されやすく、取り出した部品は戻しません。1回目に赤、2回目に青となる確率を既約分数で求めてください。取り出す順序を区別します。

まず1回目の赤は4/7です。その枝では赤が1個減り、青は3個のまま、総数は6個です。図2のように、2回目の青は3/6となります。最初の7個を2回目の分母に残さないようにします。

1回目に赤を得る事象をA、2回目に青を得る事象をBとすると、P(A) = 4/7 > 0です。したがって乗法定理を使えます。

P(A∩B) = P(A)・P(B｜A)
= 4/7・3/6
= 12/42
= 2/7

個々の部品に名前をつけて確かめます。順序つきの取り出しは7・6 = 42通りで、赤から青は4・3 = 12通りです。どの順序つきの組も同じ確率なので、12/42となり、枝の積と一致します。逆に青から赤という別の順序は今回の条件に含めません。

図2の1回目の赤からは、赤2回目が3/6、青2回目が3/6です。青を先に取った場合は残りが赤4個、青2個になり、後の青は2/6です。各分岐で残りの個数に戻して、枝の和が1になるかも確認できます。

標準例題：移した色で移送先が変わる

箱Xには赤2個、青3個、箱Yには赤4個、青2個の部品があります。Xから1個を無作為に選んでYへ移し、混ぜた後、Yから1個を無作為に取り出します。各箱では、その時点の個々の部品が同様に選ばれやすいものとします。Yから赤を得る確率を既約分数で求めてください。移した部品もYから取り出す候補に含みます。

Xから赤を移す経路と青を移す経路を分けます。Xから赤を移す確率は2/5、青を移す確率は3/5で、いずれも正です。移送後のYは合計7個です。赤を移した場合は赤5個、青を移した場合は赤4個なので、後の赤の条件付き確率は順に5/7、4/7です。

赤を移し赤を取る確率 = 2/5・5/7
= 10/35
青を移し赤を取る確率 = 3/5・4/7
= 12/35
求める確率 = 10/35 + 12/35
= 22/35

2つの経路は最初に移す色が異なるため、同時には起こりません。また、Yから赤を取る結果は移した色が赤か青かのどちらかに入るため、漏れもありません。青を取る経路は2/5・2/7 + 3/5・3/7 = 13/35で、赤と合わせて1になることも確かめられます。

別の見方では、Xの5個のそれぞれについて、移した後のYの7個からどれを取るかを考えます。順序つきの候補は35通りで、赤を移す2通りには各5通り、青を移す3通りには各4通りの赤があります。合計22通りが条件に合います。移された部品を候補から外すと、赤を移した枝で1通りずつ不足するので注意します。

発展例題：移送後に続けて取り出す

箱Pには赤2個、青1個、箱Qには赤1個、青2個の部品があります。Pから1個を無作為にQへ移し、Qを混ぜてから、Qから1個ずつ2回、戻さずに取り出します。各操作では残っている個々の部品が同様に選ばれやすいものとします。Qでの2回の取り出しがともに赤となる確率を既約分数で求めてください。順序を区別し、移した部品も取り出す候補に含みます。

移送後のQは4個です。赤を移したときは赤2個、青2個で、Qの1回目に赤を得た後は赤1個、青2個です。青を移したときは赤1個、青3個なので、Qの1回目に赤を得た後は赤0個、青3個です。先に中身を書けば、最後の赤が不可能な枝も自然に現れます。

赤を移す経路 = 2/3・2/4・1/3
= 1/9
青を移す経路 = 1/3・1/4・0/3
= 0
求める確率 = 1/9 + 0
= 1/9

青を移した経路も最初の移送確率は正です。Qの1回目に赤となる条件も正なので、その次の赤の条件付き確率0/3を使えます。0になる経路を式から消す前に、なぜ赤が残らないかを確認すると、可能な経路の見落としを防げます。

別に、赤を移した場合に限ってQの4個から2個を同時に選ぶと考えると、赤2個を選ぶ確率は2C2/4C2 = 1/6です。移送確率2/3を掛ければ1/9です。2回とも赤という条件は順序を入れ替えても変わらないため、この組合せの数え方と順序つきの枝が対応します。青を移した場合には赤が1個しかなく、2個を選べません。

もしQから取り出すたびに戻すなら、赤を移した枝では後の赤の確率は再び2/4です。青を移した枝でも赤を2回得ることが可能になります。復元の有無を変えると問題そのものが変わるため、元の答え1/9を流用できません。

誤答を枝の状態から直す

基本例題で、1回目に赤、2回目に青の確率を4/7・3/7 = 12/49とする誤答を考えます。最初の赤4/7は正しいものの、次の分母7には既に取り出した赤が残っています。2回目に選べる部品は6個です。

図3のように、赤を1個取り去った箱を描き直し、青3個を残り6個で割ります。修正後は4/7・3/6 = 2/7です。分子が変わらない場合でも、分母は変わりえます。

移送の問題でよくある別の誤りは、移す色にかかわらず移送先の赤の個数を同じにすることです。移す前の箱と移した後の箱を区別し、増えた部品の色を枝ごとに記録します。また、赤を移した経路と青を移した経路を掛けることもできません。1回の移送で両方は起きないので、最後の赤を求める際にはそれぞれの経路の確率を足します。

練習問題

各問題では、各操作の時点で候補となる個々の品物は同様に選ばれやすいものとします。答えは既約分数で求めてください。取り出しや移送の順序は記述どおりに区別します。

白5個、黒2個の石から1個ずつ2回、戻さずに取り出します。白、黒の順になる確率を求めてください。
緑3個、黄2個の札から1個ずつ2回、戻さずに取り出します。2回とも緑となる確率を求めてください。
袋Mには白1個、黒2個、袋Nには白2個、黒1個の玉があります。Mから1個をNに移して混ぜ、Nから1個を取り出します。移した玉も候補に含め、白を得る確率を求めてください。
容器Dには赤1個、青1個、容器Eには赤2個、青1個の玉があります。Dから1個をEに移して混ぜ、Eから2個を順に戻さず取り出します。移した玉も候補に含め、2回とも青となる確率を求めてください。
箱に丸印2個、三角印3個の札があります。1枚を取り出して戻し、混ぜてからもう1枚を取り出します。少なくとも1回丸印を得る確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

白の後は残り6個で、黒は2個です。求める確率は5/7・2/6 = 5/21です。順序つきの候補42通りのうち白から黒は10通りなので、条件に戻しても10/42 = 5/21です。
最初の緑の後には緑が2個、全体が4個残ります。3/5・2/4 = 3/10です。緑を2個とも選ぶ組は3C2 = 3通り、全体は5C2 = 10通りで、順序を忘れても同じ比になります。
白を移す確率は1/3、その後の白は3/4です。黒を移す確率は2/3、その後の白は2/4です。2つの経路は排反で、移す色を尽くすので、1/3・3/4 + 2/3・2/4 = 7/12です。黒を取る確率は1/3・1/4 + 2/3・2/4 = 5/12で、合わせて1です。
赤を移した場合、Eには青が1個しかなく2回とも青は不可能です。青を移した場合、青2個を含む4個から順に取るので、その経路は1/2・2/4・1/3 = 1/12です。赤を移す経路の確率0を足しても1/12です。2個の青の並びは2通りで、青を移した場合の順序つき候補12通りに対応します。
各回の前に札は5枚に戻ります。丸を得ないのは両回とも三角の場合なので、その確率は3/5・3/5 = 9/25です。求める確率は1 − 9/25 = 16/25です。丸、三角の順は2/5・3/5、三角、丸の順は3/5・2/5、両回丸は2/5・2/5で、その和も16/25です。

覚えておくこと

条件の確率が正か確かめてから、次の枝を読む。
同じ経路の前後の確率を掛ける。
重ならず漏れのない経路の確率を足す。
取り出しや移送の後は、箱の中身を書き直す。

つまずきの見分け方

式の分母を指して「この数はどの時点で選べる個数ですか」と尋ねると、操作の前と後を混ぜているか見分けられます。答えが出ていても、赤を取り出した直後の残りを色別に書いてもらい、その合計が分母に一致するか確かめます。

移送の問題なら、移送先の箱を枝ごとに描いてもらいます。移された部品が取り出しの候補に含まれるか、問題文と図を照らし合わせます。複数経路の和を書いた場合には、どの経路も同時には起きないか、目的の結果を漏らしていないかを説明してもらいます。

個別指導では、最初に誤った分数だけを直すのではなく、どの操作後の箱を想像していたかを聞きます。枝の根元から結果までを言葉でたどり、各分岐の確率の和が1になることを自分で点検できれば、別の移送条件にも対応できます。どの枝に入ったかを言葉で確かめてから、次の分子と分母を決めます。変化した箱の中身が、次の一枝の分数を決めます。