高校数学A 確率の標本空間—同様に確からしい結果を細かく決めて分母をそろえる｜武蔵野個別指導塾

回転板の色の面積や取り出す順序から、結果の重みと相対度数を考える。判断の鍵は標本空間だ。

よくあるのは、回転板に赤と青の2色があるのを見て、赤が出る確率を1/2と答える場面です。高1の生徒が色の種類を数えることはできても、赤と青の面積が違うことを見落とすと、2種類が同じ起こりやすさであるかはわかりません。まず針が止まる位置を等しい大きさの区画で分け、何を1つの結果として数えるかを決めます。

分母を決める前に問うこと

確率の問題では、分子に条件を満たす結果の数、分母に起こり得る結果の数を置くことがあります。しかし、数えた結果が同様に確からしくなければ、その比は確率とは限りません。結果の名前を並べる前に、それぞれが同じ起こりやすさになる理由を確かめます。

出方の型は大きく3つあります。回転板の色や数字のように、見える種類ごとの広さや個数が異なる型。複数回の取り出しで、順序を消すと結果ごとの生じ方が異なる型。そして試行記録から割合を出し、理論上の確率と比較する型です。どれも「分母の1個が何を表すか」を言葉で説明すると、計算の出発点が見えます。

たとえば同じ大きさの区画なら、区画の数を数える方法が使えます。ただし、板の形だけで等確率は決まりません。針がどの区画にも同じ確率で止まるという条件が必要です。境界上に止まる場合の扱いも条件として決めます。この先の回転板では境界に止まる確率を0とし、各区画は同様に確からしいものとします。

結果の粒をそろえる

同じ条件のもとで行う実験や観察を試行と呼びます。試行で起こり得る結果全体の集合を標本空間と呼び、ここでは Ω と表します。Ω の各要素を根元事象と呼びます。根元事象は「これ以上細分できない現実の最小単位」という意味ではなく、考える試行について結果を区別するために選んだ要素です。

事象は標本空間の部分集合です。条件に合う根元事象を集めたものと考えます。どの結果も起こらない集合を空事象、Ω 自体を全事象と呼びます。試行の結果が事象に含まれる根元事象なら、その事象が起こったといいます。

図1のように、4つの区画を根元事象にし、赤い区画を集めると「赤が出る」という事象になります。区画は互いに重ならず、どこか1つが出ます。赤という色は結果をまとめる便利な名前ですが、この図では赤と青の2種類をそのまま等確率の2結果とは扱えません。

図1では赤の区画が3個、青の区画が1個です。4区画が同様に確からしいという条件なら赤の確率は3/4です。色を2種類にまとめたあとも、それぞれの確率は3/4と1/4のままです。結果をまとめることはできますが、まとめた結果同士の確率が等しいとは限りません。

有限個の根元事象が同様に確からしいとき、事象 A の確率は次のように求めます。n(Ω) は根元事象の総数、n(A) は A に含まれる根元事象の数です。

P(A) = n(A) / n(Ω)

これは等確率の各根元事象が同じ重みを持ち、その重みの和を1とすることから出ます。全体が6個なら各結果の重みは1/6、うち2個を集めた事象の重みは2/6です。同じ重みという条件を確かめずに個数の比を用いることはできません。逆に、等確率でない結果を根元事象に選ぶこと自体はできますが、その場合は個々の確率を足して事象の確率を求めます。

論理的確率は、試行の条件から結果の起こりやすさを考えて定める確率です。一方、ある事象が起こった回数を試行回数で割ったものは相対度数です。例として、同じ条件で20回回して赤が11回なら、赤の相対度数は11/20です。この記録だけで論理的確率が11/20と決まるわけではありません。試行回数を増やすと相対度数が確率に近づくことが期待されますが、有限回の記録は揺れます。記録から推測することと、条件から確率を計算することを区別します。

根元事象の選び方は一通りとは限りません。色を予想したい場合でも区画番号で記録すれば、各色がどの番号の集まりかを後から調べられます。ただし、細かく分ければ必ず等確率になるわけではありません。大きさの違う区画に番号を付けただけでは、番号ごとの確率が等しいという根拠にならないからです。細分化の後にも、同じ確率になる条件を確かめます。

試行の結果を表に書き出すときは、各結果が条件に合うこと、どの結果も表のどこかに入ること、同じ結果が複数の場所に入らないことを順に点検します。たとえば2回の記録なら、表の行を1回目、列を2回目に定めます。戻さない取り出しでは同じ札を表す行と列の交点を外し、戻す取り出しではその交点も残します。表の形を先に決めるだけでなく、袋の条件と照らすことが必要です。

基本例題：色の面積を区画に戻す

円形の回転板を中心から6つの等しい扇形に分けます。赤が3区画、青が2区画、緑が1区画です。針は各区画に同様に確からしく止まり、境界に止まる確率は0とします。1回回したとき、青が出る確率を既約分数で求めてください。

色の種類は3つですが、それぞれの区画数は異なります。図2のように6区画に番号を付けると、どの番号も同じ確率で出ます。番号を根元事象として青の番号を数えます。

図2の番号を使うと、標本空間は Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} です。青が出る事象を B とすると B = {4, 5} です。等確率という条件を確認したうえで、次のように計算します。

n(Ω) = 6
n(B) = 2
P(B) = 2/6
     = 1/3

答えは1/3です。元の板に戻すと青は6区画のうち2区画であり、残る赤と緑は合わせて4区画です。青とそれ以外の確率はそれぞれ2/6と4/6で、和は1になります。青の2区画を数えたとき、境界の線を別の区画として数えていないことも確認できます。

色の割合を面積から直接求めても同じです。青の扇形は円全体の2/6を占めるため、針が角度に関して一様に止まる条件のもとでは確率も2/6です。ただし、針が特定の方向に偏りやすい板なら面積だけでは確率を決められません。問題で与えられた等確率の条件が、面積と確率を結びつけています。

標準例題：順序を消す前に数える

袋に同じ形と手触りの札が赤2枚、白3枚入っています。赤には R1、R2、白には W1、W2、W3 と見分けるための番号が付いています。1枚ずつ2回取り出し、戻しません。各回に残っている札は同様に確からしく選ばれるものとします。取り出した2枚の色が異なる確率を既約分数で求めてください。

取り出す順序も記録し、同じ札を2回使わない番号の組を根元事象にします。最初に5通り、次に残り4通りです。任意の異なる2枚の順序付きの組が出る確率は、1/5と1/4の積で同じ1/20です。したがって20個の結果は同様に確からしいといえます。

色が異なる組には、赤から白と白から赤の2通りの色の順序があります。それぞれ札の番号まで決めて数えます。

n(Ω) = 5・4 = 20
赤から白 = 2・3 = 6
白から赤 = 3・2 = 6
色が異なる組 = 6 + 6 = 12
P(色が異なる) = 12/20
                = 3/5

答えは3/5です。逆順は別の根元事象なので、R1 の次に W1 と W1 の次に R1 はどちらも数えます。一方、R1 の次に R1 は戻さない条件に反するため、標本空間には入りません。赤2枚と白3枚のどの番号を使っても同じ手順で数えられ、条件を満たす組の漏れもありません。

別の見方では、最後に2枚の札の順序を消します。異なる2枚の組はどれも、取り出す順序がちょうど2通りずつあります。したがって番号付きの組は全部で20/2 = 10通り、異色の組は12/2 = 6通りで、確率は6/10 = 3/5です。ここでは各組に対応する順序の数が同じなので、順序を消した組も同様に確からしくなります。

注意したいのは、番号を消して色の組だけにした場合です。「赤赤」「赤白」「白白」の3種類は、それぞれに対応する番号付きの組の数が異なります。3種類あるから異色は1/3とすることはできません。順序を消せるかどうかは、まとめた結果の数ではなく、各結果に集まる等確率の細かい結果の数で決まります。

発展例題：同じ合計でも作り方が違う

区別できる2枚の回転板 A、B をそれぞれ1回ずつ独立に回します。A は同じ大きさの4区画に 0、1、1、2、B は同じ大きさの3区画に 0、1、2 と書かれています。各板では区画が同様に確からしく、境界に止まる確率は0です。出た数の合計が2になる確率を既約分数で求めてください。

A の数字の種類を 0、1、2 と数えるだけでは、1が2区画に書かれていることが消えてしまいます。そこで A の2つの1を区画として区別し、1a、1b と呼びます。区画の組を (A の区画, B の区画) の順で記録します。独立という条件により、どの組も1/4と1/3の積で同じ1/12の確率です。

n(Ω) = 4・3 = 12
合計2の組 = (0, 2), (1a, 1), (1b, 1), (2, 0)
n(合計2) = 4
P(合計2) = 4/12
          = 1/3

答えは1/3です。上の4組は、元の板で対応する区画を確認すると、いずれも合計が2です。また A の区画が 0 なら B は2、1a または 1b なら B は1、2なら B は0と決まるので、他に該当する組はありません。A の2つの1は数字としては同じでも、異なる区画なので別々に数えます。

別の方法では、数字の組ごとに確率を足します。A が0、1、2を出す確率は順に1/4、2/4、1/4です。B が0、1、2を出す確率はそれぞれ1/3です。合計2を作る数字の組は (0, 2)、(1, 1)、(2, 0) で、互いに同時には起こりません。独立と排反をそれぞれ確かめて計算します。

P(合計2) = (1/4)・(1/3) + (2/4)・(1/3) + (1/4)・(1/3)
          = 1/12 + 2/12 + 1/12
          = 4/12
          = 1/3

標準例題との分かれ目は、結果をまとめたときの重みです。標準例題では番号付きの2枚の組を作る順序がどれも2通りでした。この例では A の数字1に集まる区画が2個あり、0や2に集まる区画は1個です。数字の組9種類を同じ重みとみなすのではなく、区画の組まで戻すか、数字ごとの確率を使います。もし2枚の板の結果が独立でないという条件なら、周辺の区画数だけから組の確率は決まりません。

誤答を見つけたら分母へ戻る

基本例題で「赤、青、緑の3色だから青は1/3」とする答えは、数値だけ見ると正解です。しかしその理由は成り立ちません。たまたま青が6区画中2区画を占め、1/3になったためです。式の結果が合っていても、赤も1/3と考えるなら3/6という実際の割合と食い違います。

図3のように、色の3種類を等しい箱として数える前に、それぞれに含まれる区画数を確かめます。誤答の原因は、区別した結果が同様に確からしいかを調べず、種類の数を分母に置いたことです。修正するときは6区画を等確率の根元事象に選び直し、青に対応する2区画を集めます。

図3は、同じ青の数値に偶然たどり着いても、赤の区画数を調べれば根拠の違いが見えることを示します。反対に、最初から等確率でない3色を根元事象にしても、赤1/2、青1/3、緑1/6という重みを使えば正しく求められます。問題なのは3色という区別そのものではなく、それらに等しい重みを勝手に与えることです。

相対度数にも似た誤りがあります。たとえば10回の記録である色が0回だったとしても、その色が起こり得ないとは限りません。記録から言えるのは、その10回の相対度数が0ということです。区画が実際に存在し、等確率の条件があれば、理論上の確率は区画の割合から求められます。

記録の割合を比較するときも、何を数えたかを明らかにします。たとえば同じ板を前半と後半に分けて回したなら、全体の相対度数は2つの相対度数を無条件に足した値ではありません。前半と後半の該当回数を足し、その合計を試行回数の合計で割ります。試行回数が異なれば、単純な平均とも限りません。

また、相対度数が理論上の確率と違うことだけで板の条件が間違っていると決めることもできません。有限回の記録には揺れがあります。反対に、ある記録が理論値と一致しても、その1回の一致だけで条件が正しいと証明されたわけではありません。条件を使った計算と、実際の記録に書かれた事実の両方を見ます。

練習問題

次の5問では、求める確率を既約分数で答えてください。回転板の各区画は同様に確からしく、境界に止まる確率は0とします。札は区別でき、残っているどの札も同様に確からしく選ばれます。

1. 回転板は7つの等しい区画に分かれ、橙が4区画、緑が3区画です。1回回して緑が出る確率を求めてください。
2. 5枚の札に 1、2、3、4、5 と1つずつ書いてあります。戻さずに1枚ずつ2回取り、順序も記録します。2枚の数の和が偶数となる確率を求めてください。
3. 2つの区別できる回転板をそれぞれ独立に1回回します。片方の3区画には 0、0、1、もう片方の4区画には 0、1、1、2 と書かれています。出た数の合計が1となる確率を求めてください。
4. 赤1枚と青2枚の区別できる札から1枚取って色を記録し、袋に戻します。同じ操作をもう1回独立に行います。2回の色が同じになる確率を求めてください。
5. 同じ条件で回した回転板の自作記録では、橙が24回中9回出ました。橙の相対度数を既約分数で求めてください。また、この記録から橙の論理的確率をその値と断定できるか答えてください。

練習問題の答えと確かめ方

1. 答えは3/7です。等確率の7区画を根元事象とし、緑の3区画を数えます。

P(緑) = 3/7

橙の4区画と緑の3区画を合わせると元の7区画に戻り、確率の和も1です。2色をそれぞれ1個と数えて1/2にするのではなく、区画の個数を使います。

2. 答えは2/5です。異なる2枚の順序付きの組は5・4 = 20通りで、どれも同様に確からしい結果です。和が偶数なのは奇数同士か偶数同士を選ぶ場合です。奇数は3枚、偶数は2枚です。

奇数同士 = 3・2 = 6
偶数同士 = 2・1 = 2
条件に合う組 = 6 + 2 = 8
P(和が偶数) = 8/20
             = 2/5

各組では2枚目が1枚目と異なり、戻さない条件を満たします。異なる偶奇の組は3・2 + 2・3 = 12通りで、条件に合う8通りと合わせて20通りになります。

3. 答えは5/12です。区画の組は3・4 = 12通りで、独立と等確率の条件からそれぞれ確率は1/12です。最初の板の0を2区画、次の板の1を2区画として区別します。

0と1の組 = 2・2 = 4
1と0の組 = 1・1 = 1
合計1の組 = 4 + 1 = 5
P(合計1) = 5/12

合計1になる数字の組は0と1、1と0の2種類です。それぞれに対応する区画の組を数えたので漏れはありません。数字の種類が2つだからといって2/12にすると、同じ数字の別区画を落とします。

4. 答えは5/9です。戻すため各回に3枚あり、区別できる札の順序付きの組は3・3 = 9通りです。独立なので各組は同様に確からしくなります。

赤と赤 = 1・1 = 1
青と青 = 2・2 = 4
同じ色の組 = 1 + 4 = 5
P(同じ色) = 5/9

赤青と青赤はそれぞれ1・2、2・1の2通りで、異なる色は合計4通りです。同じ色の5通りと合わせて9通りです。同じ札を2回取る組も、戻す条件に合うので除きません。

5. 相対度数は3/8です。起こった回数を試行回数で割ります。

相対度数 = 9/24
         = 3/8

残りの15回は橙以外なので、9回と合わせて24回です。この記録だけでは橙の論理的確率を3/8と断定できません。板の条件から計算した確率と、24回の記録の割合は別の量であり、記録を取り直せば割合が変わることもあります。

覚えておくこと

標本空間は、試行で起こり得る結果の集合です。 事象は、条件に合う根元事象を集めた部分集合です。 個数の比を使う前に、根元事象が同様に確からしいと確かめます。 まとめた結果の重みは、含まれる細かい結果の数で変わります。 相対度数は記録の割合であり、論理的確率とは区別します。

つまずきの位置を見分ける

分母が合わないときは、式を直す前に「分母の1は何を1個と数えていますか」と尋ねます。区画、色、札の番号、取り出す順序のどれを数えたかを本人が指せれば、同じ結果を重複していないか、起こり得る結果を落としていないかを調べられます。たとえば非復元の問題で同じ札を2回取る組を書いていたら、2回目の袋の中身に戻って確認します。

分母は正しくても分子が合わないときは、条件に合う結果を1つずつ元の場面で確かめます。色をまとめた結果の数を使った場合は、まとめる前の区画や番号付きの組が各結果に何個ずつ対応するかを尋ねます。個別指導では、答えだけでなく、結果の区別と等確率の理由を声に出して説明できるかを確かめます。等しい重みを持つ結果を見極めれば、分母の意味がはっきりします。