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高校数学A 同じものを含む順列—仮の区別を消すときの重複の数を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 場合の数と確率を掘り下げる

同色のタイルに付けた仮の印を消し、同じ列を数えた回数を調べます。端の色を指定した後は、残りの枚数から並べ直します。

よくあるのは、高1が展示用タイルを横一列に並べ、同色同形のタイルを入れ替えた配置まで別々に数える場面です。赤いタイルの裏に印を付ければ入れ替えを追えますが、展示面からは印が見えません。見える色の列が同じなら同じ配置です。まず何を区別するかを決め、仮に付けた印を消すと何通りが重なるか調べましょう。

問われるのは、どの並びが同じか

同じものを含む順列は、用意されたものをすべて一列に並べる問題です。たとえば同じ色と形のタイルが複数枚あるとき、それらを入れ替えても見える列は変わりません。一方、色が異なるタイルを入れ替えて見える列が変われば、別の配置です。左右が逆の列も、見える順序が異なれば別に数えます。

出方には、枚数を固定して制限なく並べる型、ある色を特定の位置に置く型、端に置ける色を制限する型があります。後の2つでは、条件を付けたあとで残る枚数を数えるか、条件を満たす配置だけを位置の選択で作ります。どちらの場合も、作った配置が条件を満たし、同じ配置を重ねて数えていないかが判断の中心です。

同じ色を使えるという言葉だけで重複順列と決めてはいけません。重複順列では各位置で同じ種類を繰り返し選べますが、ここでは手元にある各色の枚数が決まっています。各位置で自由に選ぶと、用意された枚数を超える列まで含むことがあります。最短経路への応用には立ち入らず、色の列そのものを数えます。

印を消す前と後を対応させる

区別できるn個を一列に並べる順列の総数はn!です。n!はnから1までの整数の積で、0!は1と定めます。これに対して、同じものがそれぞれa個、b個、その他の種類もあり、合計がn個のとき、見える並びの数は次のようになります。

n! / (a!・b!・その他の各種類の個数の階乗)

ここで各個数は0以上の整数で、合計はnです。存在しない種類を0個と考えても0! = 1なので結果は変わりません。ただし、式は各種類内の交換が条件を変えないときに使います。裏の印を見ないという設定なら、同じ種類の印を入れ替えても見える列は同じです。

図1のように、同じ色の2枚に仮の印を付けて並べます。印を消すと、印付きの2通りが1つの色の列に対応します。別の色にも同じものがあれば、その印の入れ替えも独立に行えるので、重複の数はそれぞれの階乗の積です。

図1では赤の2枚を区別しても、印を消せばどちらも赤、青、赤という同じ列です。どの色の列でも赤の位置が2か所あり、2枚の印の割り当ては2!通りあります。一般にも、見える列を1つ固定すれば、各種類の位置に仮の印を割り当てる方法はそれぞれa!、b!などです。すべての見える列が同じ数の印付きの並びに対応するため、その積で割れます。小さな例で確かめるだけでなく、どの列でも重複数が一定であることが割り算の根拠です。

別の見方では、各色を置く位置を順に選びます。選んだ位置に同じ色を置くと、位置の組と完成した色の列が1対1に対応します。位置を選ぶ方法と階乗で割る方法が一致するのは、同じ完成列を異なる手順で数えているからです。

基本例題：5枚を一列に置く

問題。赤いタイル3枚と青いタイル2枚を、すべて使って横一列に並べます。同色のタイルは区別せず、左右の順序が異なる列は区別します。配置は何通りか、整数で求めてください。

まず5枚に別々の印を付けると、印付きの並べ方は5!通りです。完成した色の列を1つ固定すると、赤の位置に3枚の印を割り当てる方法が3!通り、青の位置に2枚の印を割り当てる方法が2!通りあります。どの色の列でも印付きの列は3!・2!通りずつ重なります。

5! / (3!・2!)
= 120 / (6・2)
= 10

答えは10通りです。図2のように、青の位置を2か所選ぶ方法でも同じ結果が出ます。残った3か所は赤で決まるため、青の位置の選択と色の列は1対1に対応します。

図2の例は、左から2番目と4番目を青に選んだ配置です。赤が3枚、青が2枚あり、問題の条件に戻っています。青の位置は5C2 = 10通りあり、どの選択も異なる色の列を作ります。青を3か所選ぶ列や、同じ位置を2回選ぶ操作は対象に入りません。

列を実際に書き出すなら、青の位置を左側から順に組にすると漏れを調べられます。1番目を含む組は4通り、含まず2番目を含む組は3通り、続いて2通り、1通りです。合計は4 + 3 + 2 + 1 = 10です。逆向きの列が同じ色の列になる場合は新しい配置ではありませんが、逆向きにして色の順が変われば別に数えます。

標準例題：端の色を決めて残りを並べる

問題。白い札3枚、黒い札2枚、緑の札1枚をすべて横一列に並べます。同色の札は区別しません。左端を黒にする配置は何通りか、整数で求めてください。

左端に黒を1枚置くと、残りは白3枚、黒1枚、緑1枚です。左端にどの黒い札を置いたかは見えないため、最初に2通りを掛けません。残り5か所の並びを数えます。

5! / 3!
= 120 / 6
= 20

答えは20通りです。完成列は左端が黒で、残りに白3枚、黒1枚、緑1枚を含みます。左端に黒を固定して残りを並べる操作は、条件を満たす完成列から左端を取り除く操作と逆になっています。そのため、漏れも重複もありません。

位置の選択でも確かめます。左端以外の5か所から残りの黒の位置を1か所選び、さらに残った4か所から緑の位置を1か所選びます。残りの3か所は白です。

5・4
= 20

黒と緑は異なる色なので、黒を選ぶ位置と緑を選ぶ位置を交換すると別の列です。反対に、白の3枚に順番を付けて置く必要はありません。完成列から黒と緑の位置が一意に読み取れるので、この数え方も重複しません。

位置制限の前に全体の式を作り、その後で単純に6で割る方法は根拠が必要です。今回は左端が黒になる割合を、仮の印で区別して考えれば2/6と説明できますが、色によって枚数が異なります。色の種類が3種類だから3で割る、という考え方は使えません。先に端を固定すると、残りの枚数が直接見えるので確実です。

発展例題：両端に同じ色を置かない

問題。赤いカード3枚、青いカード2枚、黄のカード2枚をすべて横一列に並べます。同色のカードは区別せず、左右の順序が異なる列は区別します。両端が異なる色になる配置は何通りか、整数で求めてください。

両端の色を直接場合分けすることもできますが、ここでは全体から両端が同じ色の配置を除きます。両端が同色である場合と異色である場合は重ならず、どの配置もどちらかに入ります。したがって引き算で求められます。

全体は次の通りです。

7! / (3!・2!・2!)
= 5040 / 24
= 210

両端が赤なら、端に赤を2枚使い、中央5か所には赤1枚、青2枚、黄2枚が残ります。中央の並びは次の通りです。

5! / (2!・2!)
= 30

両端が青なら中央には赤3枚、黄2枚が残ります。両端が黄なら中央には赤3枚、青2枚が残ります。それぞれの並びは次の通りです。

5! / (3!・2!)
= 10

両端が同色の配置は、端の色が赤、青、黄の3つに重なりなく分かれます。よって求める数は次の通りです。

210 - (30 + 10 + 10)
= 160

答えは160通りです。除いた各列は7枚を使い、両端が指定した同色です。残った列は必ず両端が異色で、逆に異色の列は除かれていません。たとえば赤、青、赤、黄、青、黄、赤は両端が赤なので除き、赤、青、赤、黄、赤、青、黄は両端が赤と黄なので残します。どちらも指定の枚数を満たしています。

直接数える場合は、左端と右端の色の順に注意します。赤と青を端に置くとき、左が赤、右が青の場合と、その逆の場合は別です。各場合で中央に残る色の枚数を確認し、端の組を重複なく数えます。色が1枚しかない場合には、その色を両端に置く場合は0通りであり、残りの個数を負にした階乗は使いません。条件を変えたときも、まず実際に端へ置けるかを確認することが分かれ目です。

誤答から、何を割るかを直す

基本例題で「5! / 3! = 20通り」としたとします。赤の3枚の入れ替えは消していますが、青の2枚の入れ替えが残っています。図3のように、同じ完成列に対して青の印を入れ替えた2通りがまだ数えられています。

図3の2列は、青の印を消すと同じ赤、青、赤、青、赤です。20をさらに2!で割ると10に直ります。割る数は色の種類の数ではなく、見える1列に対応する印付きの並びの数です。どの列でも同じ数だけ重複すると示せないときに、機械的に割ってはいけません。

逆に、固定した左端の札を残りの札と一緒に交換した数まで割る誤りもあります。標準例題では左端の黒を固定した後、黒の残りは1枚です。残り5枚に対して黒2枚分の2!で割ると、条件を満たす列を余分にまとめてしまいます。操作の前後で、何枚がどの位置に残っているかを書き直すと修正できます。

もう1つの誤りは、発展例題の全体から両端が赤の列だけを引き、青と黄の同色を残すことです。端の色ごとに場合を並べ、各場合で使える枚数と残る枚数を確認します。条件を満たさない列を1つ作ってみて、除外先があるか調べると、抜けに気づきやすくなります。

練習問題

いずれも指定されたものをすべて使って横一列に並べ、同じ記号または同色同形のものは区別しません。左右の順序が異なる列は区別します。各問の答えは整数の通り数で求めてください。

記号Aを4個、Bを1個並べます。何通りですか。
赤い玉2個、白い玉2個、青い玉1個を並べます。左端が青になるのは何通りですか。
記号Pを3個、Qを2個、Rを1個並べます。両端がPになるのは何通りですか。
緑の板3枚、橙の板2枚を並べます。両端が緑になる列を除くと何通りですか。
記号Xを2個、Yを2個、Zを2個並べます。左端と右端が異なる記号になるのは何通りですか。

練習問題の答えと解き方

Bの位置を5か所から選ぶと、残りはすべてAです。各位置が異なる列を与えるので5通りです。階乗でも5! / 4! = 5です。Bを2個使う列は条件に合いません。
左端に青を置くと、残りは赤2個と白2個です。

4! / (2!・2!)
= 6

6通りです。左端の青は1個で、残りの4か所にも赤と白がそれぞれ2個ずつ入ります。青の位置をもう一度選ぶ必要はありません。

両端にPを1個ずつ置くと、中央にはP1個、Q2個、R1個が残ります。

4! / 2!
= 12

12通りです。中央の列から両端にPを戻せば、Pは合計3個です。両端のPを交換しても新しい列にはならないので、2を掛けません。

制限のない列は5! / (3!・2!) = 10通りです。両端が緑なら中央は緑1枚、橙2枚なので3! / 2! = 3通りです。

10 - 3
= 7

7通りです。除いた列は両端とも緑で、残した列には少なくとも一方の端に橙があります。両端とも橙の列も条件に合うため残します。

全体は6! / (2!・2!・2!) = 90通りです。両端がXなら中央にY2個、Z2個が残り、4! / (2!・2!) = 6通りです。両端がY、両端がZの場合もそれぞれ6通りで、端の記号が異なるので重なりません。

90 - (6 + 6 + 6)
= 72

72通りです。除いた列は両端が同じ記号で、残った列は両端が異なります。どの列も各記号を2個ずつ使っていることも確認できます。

覚えておくこと

同じ種類の交換で見える列が変わらなければ、その交換は重複です。
仮の印を消すときは、各種類の個数の階乗の積で割ります。
位置を固定したら、残った枚数で数え直します。
場合分けや引き算では、漏れと重なりを確認します。

つまずきの見分け方

式に階乗が並んでいても、どの操作に対応するかを尋ねると理解の違いが見えます。分子の5!については「何に印を付けた並びか」、分母の2!については「完成列を1つ固定したとき、何を交換する数か」と確かめます。答えられなければ、実際に2枚の裏に印を付け、印を消した列を比べます。

位置制限がある場合には、先に置いた札と残りの札を指で分けて、各色の枚数を言葉にしてもらいます。端に置けない色を計算に入れていないか、条件に合う列を1つ復元できるかも確認します。個別指導では、正しい式だけで終えず、誤った式がどの列を余分に数えるかを本人の言葉で説明できるかを確かめます。見える列と仮の印付きの列の対応が、割り算の意味を支えます。