高校数学A 円順列と回転—一つを固定できる条件を席の目印から判断する｜武蔵野個別指導塾

入口の印がある展示と回転を同じとみなす展示を比べ、作品を固定してよい理由を配置の対応から読み解きます。

よくあるのは、円形の展示に入口の目印があるのに、展示物を一斉に回した配置を同じものとして数えてしまう場面です。入口のそばに何が置かれるかが違えば、来場者から見える配置も違います。一方、入口などの位置を区別せず、展示物どうしの円周上の順序だけを見るなら、一斉に回した配置は同じです。式を書く前に、何が変われば別の配置なのかを決めましょう。

何を区別する問題か

円の絵を見ただけでは、何通りかは決まりません。まず、配置を比べるときに残す情報を問題文から拾います。目印のない円周に異なるものを並べ、全体を回して重なる配置を同じとする型では、1つを基準に固定して残りを数えます。基準にしたものの左右関係は残るので、裏返して初めて重なる配置は別です。

入口や色の印が付いた位置に異なるものを置く型では、どの位置に何を置いたかが答えを決めます。入口の位置を基準に読めるため、ものの1つを入口へ勝手に固定すると、入口以外にある配置が抜けます。円の形であっても、区別された位置への割当てとして数えます。

さらに、目印のある位置に置けるものが制限される型もあります。条件を満たす配置を直接数えるか、区別された位置への全配置から条件違反を除きます。そのとき、2種類の違反を引く場合は両方に違反する配置を重ねて引いていないか確かめます。条件が回転で保たれない場合、最後に機械的に人数や物の数で割っても意味は定まりません。

固定してもよい理由をたどる

異なるn個のものを円形に並べ、回転して重なるものを同じ、反転して初めて重なるものを別とする並べ方を円順列と呼びます。ここではnを2以上とします。時計回りに読む向きも決めておきます。反転は回転とは別の操作ですから、問題文で反転も同じと指定されない限り、この扱いを勝手に変えません。反転も同じとする数珠の配置は扱いません。

図1のように、目印のない円ではAを基準位置へ回してから、時計回りに残りを読みます。Aは1個しかないので、どの円形配置もAを基準に置く方法がちょうど1通りあります。基準位置は数えるために設けたものです。実際の入口や座席番号を新たに作って、配置の違いに加えたわけではありません。

図1の右側では、入口の印が円の外に残っています。展示物を回してAが入口から別の位置へ移れば、入口の位置にある展示物が変わります。こちらでAを入口に置くのは、全体のうちAが入口にある場合を選んだことになります。固定が基準の選択なのか、実際に条件を加える操作なのかが分かれ目です。

目印がなく、すべて異なるn個のものを並べるとします。1つを固定すると残りのn − 1個を時計回りに並べる順列と、求める円形配置が1対1に対応します。したがって通り数は (n − 1)! です。階乗は、例えば4! = 4・3・2・1のように、正の整数を1まで掛けた数を表します。

もう一つの見方では、円周上に仮の番号を付けたn個の位置への配置はn!通りです。どの配置も、全体を回したn通りが同じ円形配置に対応します。ものはすべて異なるので、途中の回転で元の位置ごとの配置と一致することはありません。よってn!をnで割り、やはり (n − 1)! になります。この割り算は、どの円形配置にも仮の番号付き配置が同じ数だけ対応することに支えられています。

反対に、同じものを含む配置では途中の回転で元と一致する場合があり、上の説明をそのまま使えません。また入口があり、それを動かさずに配置を比べる場合も、回した配置をまとめる理由がありません。公式の前に「異なるもの」「回転を同じとする」「反転は別」の3点を確認する習慣が役立ちます。

基本例題：入口のない展示を基準から読む

問題　異なる5点の作品A、B、C、D、Eを円周上の5か所に1点ずつ展示します。位置に目印はなく、全体を回して重なる配置は同じとし、反転して初めて重なる配置は別とします。展示の配置は何通りですか。整数で答えてください。

方針　Aを基準位置に置き、そこから時計回りにほかの作品を読みます。回転でAを基準位置へ移せるので、Aを固定しても円形配置は失われません。図2は、そのときB、C、D、Eをどこに置くかを示しています。

解き方　Aの次の位置には残り4点のどれでも置けます。その次には3点、さらに次には2点、最後には1点が残ります。積の法則から、求める通り数は次のとおりです。

4・3・2・1
= 4!
= 24

答えは24通りです。各並びにAを戻すと5点が1度ずつ現れ、5か所が埋まります。Aから時計回りの列が違えば、回転してAをそろえた後も少なくとも1か所の作品が違います。したがって重複はありません。逆にどの展示でもAから時計回りに読めるため、漏れもありません。

例えばAから時計回りにB、C、D、Eと並ぶ配置と、AからE、D、C、Bと並ぶ配置は、反転で対応します。Aをそろえても時計回りの順序が異なるので、この問題では別に数えます。反転まで同じとする操作は使いません。

仮に位置に番号を付けて数えれば5! = 120通りです。1つの円形配置につき5通りの回転が番号付き配置として現れるため、120 / 5 = 24となります。Aの固定による答えと一致しますが、入口のような本物の目印がある問題では、この5通りを同一視できるか別途考える必要があります。

標準例題：入口の作品を選ぶ

問題　異なる5点の模型P、Q、R、S、Tを円周上の5か所に1点ずつ置きます。1か所に入口の印があり、入口から時計回りに見た各位置を区別します。入口の位置にはPまたはQを置くこととします。回転しても入口の印は動かず、異なる位置への割当ては別とし、反転した配置も位置への割当てが異なれば別とします。配置は何通りですか。整数で答えてください。

方針　入口を固定した位置として扱い、そこに置く模型を先に選びます。入口にPがある場合とQがある場合は重ならず、条件を満たす配置を尽くします。円の形よりも、入口から各位置を区別できることが決め手です。

解き方　入口の模型は2通りです。残った4点を入口から時計回りの4か所に並べる方法は4!通りです。したがって、次のように掛けます。

2・4!
= 2・4・3・2・1
= 48

答えは48通りです。入口にPを置いた24通りには入口にQがある配置は含まれません。Qを置いた24通りと合わせると、入口に指定のどちらかがある配置を過不足なく数えています。それぞれ残り4か所にも異なる模型が1点ずつ入ります。

別の数え方では、入口を含む5か所への全配置は5! = 120通りです。入口にR、S、Tのいずれかがある違反は3・4! = 72通りですから、120 − 72 = 48通りです。入口に何があるかによる5種類の分類は重ならず、P、Qの2種類だけを残す計算になっています。

入口を無視した円形配置は4! = 24通りですが、この問題の答えではありません。例えば1つの円形配置を入口に対して回すと、Pが入口に来る置き方とQが入口に来る置き方があります。2つは模型間の円周上の順序が同じでも、入口の模型が異なるため別の配置です。基準を選ぶ操作と、入口に置く模型を制限する操作を混ぜないようにします。

発展例題：2つの禁止を入口で数える

問題　異なる6点の標本A、B、C、D、E、Fを円周上の6か所に1点ずつ置きます。1か所に入口の印、入口の反対側の1か所に照明の印があり、これらの位置と入口から時計回りの各位置を区別します。Aを入口に置かず、Bを照明の位置に置かない配置は何通りですか。回転しても印は動かず、位置への割当てが異なる配置は別とし、反転も位置への割当てが異なれば別とします。整数で答えてください。

方針　位置が区別されるので、まず6!通りを全体とします。Aが入口にある違反とBが照明の位置にある違反を引きます。ただし、両方の違反を同時にする配置は2回引かれるため、1回戻します。2つの印は別の位置なので、両違反を同時に満たす配置も存在します。

解き方　全体は6! = 720通りです。Aを入口に置くと残り5点を5か所に並べるので5! = 120通りです。Bを照明の位置に置く違反も同様に120通りです。両方の違反ではAとBを別々の指定位置に置き、残り4点を4か所に並べるので4! = 24通りです。

6! - 5! - 5! + 4!
= 720 - 120 - 120 + 24
= 504

答えは504通りです。両違反を2度引いた配置は最後の24通りで1度戻るため、全体からちょうど1度除かれます。どちらか一方の違反は1度だけ引かれ、どちらの違反もない配置は引かれません。こうして残る配置では6か所が異なる6点で埋まり、AとBの禁止位置も守られます。

直接数えても確かめられます。Aが照明の位置にある場合、Bはそこには置けないことが自動的に満たされ、残り5点は5! = 120通りです。Aが入口でも照明でもない場合はAの位置が4通り、Bは照明とAの位置を除く4か所から選べます。残り4点を並べて4・4・4! = 384通りです。2つの場合を足すと120 + 384 = 504通りとなり、除く方法と一致します。

ここで504を6で割る操作には注意が必要です。入口と照明の印を残したまま回すと、条件を満たしていた配置が違反に変わる場合があります。したがって、数えた504通りを6個ずつの同値な配置にまとめることはできません。問題の求める配置には印に対する位置が含まれ、504通りがそのまま答えです。

目印を外した円形配置を参考に考えると、AとBが向かい合う24通りでは、6通りの向きのうち両方の違反が同時に起きる向きが1つあります。違反する向きは合わせて1つなので、条件を満たす向きは5つです。それ以外の96通りでは2つの違反は異なる向きに起き、条件を満たす向きは4つです。この分類でも24・5 + 96・4 = 504です。同じ円形配置から生まれる有効な向きの数が一定ではないため、一律に6で割れないことが見えます。

間違えた式を配置に戻す

入口のある標準例題で、5点を円に並べるから4! = 24通りとする誤答を考えます。円順列の式そのものは、回転した配置を同じとする条件の下では正しい式です。誤りの原因は、入口の印を無視して回転を同一視したことにあります。

図3のように、同じ時計回りの順序でも、入口にPがある配置と入口にQがある配置は区別されます。模型どうしの順序は保存されていても、入口の位置に注目した結果が変わるからです。入口に置く模型の2通りを先に分け、それぞれ残りを4!通りに並べれば48通りへ修正できます。

別の誤りとして、発展例題で720 − 120 − 120 = 480通りとする式があります。Aが入口、かつBが照明にある配置は、2種類の違反を引く際に2度引かれています。元の全体には1度しか含まれないため、引きすぎた24通りを戻す必要があります。両違反の配置を実際に1つ作り、どの引き算に現れるかを追うと原因を確認できます。

どの誤答にも、式の数字だけでなく「何を1通りとしているか」という問題があります。計算結果を見てから公式を探すのではなく、1つの配置を描き、回す前後で何が変わったか、また条件に違反するかを言葉で確認してください。

練習問題

各問で配置の通り数を整数で答えてください。対象はそれぞれ互いに異なり、各位置に1つずつ置きます。

1. 異なる4種類の旗を、目印のない円周上の4か所に置きます。全体を回して重なる配置は同じ、反転して初めて重なる配置は別です。何通りですか。
2. 異なる6種類の鉢を円周上の6か所に置きます。1か所に固定された窓の印があり、そこから時計回りに位置を区別します。回転しても印は動かず、位置への割当てが異なる配置は別とします。反転した配置も位置への割当てが異なれば別です。何通りですか。
3. 異なる6点のカードを、目印のある円周上の6か所に置きます。印の位置には指定された2点のうちいずれかを置きます。印から時計回りに位置を区別し、印を動かさない回転や反転で位置への割当てが異なれば別とします。何通りですか。
4. 異なる7個の飾りを円周上の7か所に置きます。各位置は番号で区別され、指定の飾りXは指定された3か所のいずれかに置きます。番号を動かさずに回転や反転をして位置への割当てが異なれば別とします。何通りですか。
5. 異なる3色の札を円周上の3か所に置きます。まず目印がなく、回転して重なる配置は同じ、反転して初めて重なる配置は別とします。次に1か所に印を付け、印から時計回りの位置を区別し、回転や反転で位置への割当てが異なれば別とします。それぞれ何通りですか。

練習問題の答えと考え方

1. 1種類の旗を基準に固定して、残り3種類を時計回りに置きます。

3・2・1 = 3! = 6

6通りです。固定した旗からの順序が異なれば別の配置です。例えば残りの3種類を逆順にしたものも、反転を別とする条件に従って数えます。

2. 窓の位置を含む6か所が区別されるため、窓に置く鉢は6通りあり、以後は残りから選びます。

6・5・4・3・2・1 = 6! = 720

720通りです。窓にどの鉢を置いたかを固定しないので、窓に来る6種類のいずれも数えています。完成した配置は6か所に6種類が1つずつある条件を満たします。

3. 印の位置に置くカードを2通りから選び、残る5点を時計回りに5か所へ置きます。

2・5!
= 2・120
= 240

240通りです。印に置くカードが異なる2つの場合は重ならず、どちらの場合も指定外のカードを印に置く配置は含みません。印を無視して回転をまとめる操作は行いません。

4. Xの位置は3通りです。位置を選んだ後、残る6個を残りの番号付き位置へ並べます。

3・6!
= 3・720
= 2160

2160通りです。Xの位置による3つの場合は互いに重ならず、各配置では残り6位置にも飾りが1個ずつ置かれます。指定外の4か所にXを置く配置は含まれません。

5. 目印がない場合は1色を基準に固定し、残る2色を並べます。印がある場合は、印の位置から順に3色を割り当てます。

目印なし: 2! = 2
目印あり: 3! = 6

目印なしは2通り、目印ありは6通りです。前者では基準の色から見た時計回りの順序が2通りあります。後者では各円形配置に印に対する3通りの向きが対応し、2・3 = 6となります。印を付けた後は、その向きを別々に数える点が変わります。

要点

目印のない円で回転を同一視するなら、異なる1つを固定して残りを並べます。 反転が別かどうかを問題文で確かめ、勝手に2で割りません。 入口などの位置を区別するなら、その位置に何を置くかも数えます。 禁止を引くときは、重なって引いた配置を戻します。

つまずきを見分けるには

式に (n − 1)! が現れたら、「固定したものを動かした配置は、なぜ同じなのですか」と尋ねてみてください。目印を無視してよいと説明できるなら、次に残りの順序と円形配置の対応を確かめます。入口が残る条件なら、固定したものが入口以外にある配置を描くと、数え落としが見えます。

個別指導で途中式を確認するときは、最初の全体が目印付きか目印なしかを本人に言葉で示してもらいます。引き算を使った場合には、両方の禁止を破る配置を1つ挙げ、それが何回引かれるかをたどります。基準にするものと動かせない目印の役割が区別できれば、式の選択を自分で説明できます。