高校数学I 二次不等式の重解—実根なしの場合も含め解なしと全実数を区別する｜武蔵野個別指導塾

接点を含むか除くか、実根がない場合の符号とともに整理し、判断の軸を置きます。二次不等式の重解を読み解きましょう。

よくあるのは、二次方程式が重解を持つと知り、対応する二次不等式の答えも必ず1個だと考える場面です。同じ式でも、不等号が変われば答えは1点、1点を除く範囲、全実数、解なしのいずれにもなります。横軸に触れる点で等号を認めるかどうかに注目し、式と図を行き来して確かめましょう。

何を判定する問題か

出方は大きく3つあります。平方の形が見える式について、不等号ごとに解を求める問題。判別式から横軸との交点がないと判断し、式全体の符号を調べる問題。そして文字を含む係数について、重解や実根なしになる条件を求める問題です。最後の型では、二次の項が消える値を先に調べます。

ここでいう解は、与えられた不等式を真にする実数 x です。方程式の解は左辺が0になる x を指します。両者は問いが違いますから、方程式の解を見つけたところで作業を終えず、その前後の符号と等号を調べます。定義域の指定がなければ、調べる範囲は実数全体です。

平方と横軸で符号を読む

二次式 f(x) = ax² + bx + c では、a ≠ 0 とします。判別式を D = b² − 4ac と置くと、平方完成により

f(x) = a(x + b/(2a))² - D/(4a)

となります。平方は0以上なので、D = 0 なら f(x) = a(x − p)² と表せます。ここで p = -b/(2a) です。x = p で0となり、それ以外では平方が正になります。したがって a が正なら0以外の値は正、a が負なら負です。この p が方程式 f(x) = 0 の重解です。

図1のように、上に開く放物線が横軸に触れるとき、接点を除く部分は横軸より上です。上に開いて横軸と交わらない場合は全体が上にあります。下に開く場合は上下が逆になります。図の縦横の縮尺は異なります。

D < 0 なら、平方完成した式から符号を厳密に判定できます。a > 0 のとき -D/(4a) > 0 なので、平方の項を加えた f(x) はどの x でも正です。a < 0 のときは -D/(4a) < 0 で、平方の項も0以下ですから、f(x) はどの x でも負です。D < 0 という情報だけでは正負までは決まりません。開く向きも必要です。

重解 p があるときの答えを、不等号の向きに沿って整理します。ここで「全実数」は任意の実数が条件を満たすという意味です。

たとえば上に開く式が0以下となるのは、横軸に触れる位置です。0より大きいという条件なら、その位置を除きます。逆に0未満を求めると、横軸より下の部分が存在しないので解なしです。等号の有無は点を含むかどうかを決めますが、最初に正負の向きそのものを確かめてください。

D < 0 では0になる点が存在しません。a > 0 なら > 0 と ≥ 0 の答えはともに全実数、< 0 と ≤ 0 はともに解なしです。a < 0 ならこの組が入れ替わります。等号を付けても結果が変わらないのは、等しくなる点がないためです。

基本例題：触れる点を含めるか

次の4つの不等式の解を、それぞれ実数の範囲で求めてください。答えは全実数、解なし、または x の条件で示します。

(1) x² - 4x + 4 > 0
(2) x² - 4x + 4 ≥ 0
(3) x² - 4x + 4 < 0
(4) x² - 4x + 4 ≤ 0

左辺を平方完成します。

x² - 4x + 4 = (x - 2)²

平方は0以上で、0になるのは x − 2 = 0、すなわち x = 2 のときです。したがって (1) は x ≠ 2、(2) は全実数、(3) は解なし、(4) は x = 2 です。

図2のように、頂点 (2, 0) で横軸に触れ、それ以外は上にあります。縦横の縮尺は異なります。x = 2 を元の式へ戻すと 4 − 8 + 4 = 0 で、(2) と (4) には入りますが (1) と (3) には入りません。例として x = 1 では 1 − 4 + 4 = 1 です。平方の性質は任意の実数に成り立つため、図の見える部分だけでなく全範囲の結論になります。

3. の解なしは「計算ができなかった」という意味ではありません。どの実数を入れても平方が負にならないという、確定した答えです。(4) では0という値を許すため、点 x = 2 が残ります。数直線に表すなら、(1) では2に白丸を付け、その両側を選びます。(4) では2に黒丸を付けます。

標準例題：実根がない式の符号

不等式 -2x² + 4x − 5 ≥ 0 の解を、実数の範囲で求めてください。答えは全実数、解なし、または x の条件で示します。

二次係数は -2 で0ではありません。平方完成すると

-2x² + 4x - 5 = -2(x² - 2x) - 5
= -2((x - 1)² - 1) - 5
= -2(x - 1)² + 2 - 5
= -2(x - 1)² - 3

となります。平方は0以上ですから、-2(x − 1)² は0以下です。左辺はどの実数 x に対しても -3 以下であり、0以上にはなりません。答えは解なしです。

元の式に軸上の x = 1 を戻すと -2 + 4 − 5 = -3 です。この値が0より小さく、そこから平方の項を引くので他の点でも負です。判別式でも D = 4² − 4・(-2)・(-5) = -24 < 0 と確かめられます。ただし D < 0 だけから「正」とは決められません。負の二次係数と併せて符号を決めることが、この例の分かれ目です。

発展例題：係数が消える境界も調べる

実数 t について、不等式 (t − 1)x² + 2x + 1 > 0 を満たす実数 x が存在しないような t の範囲を求めてください。答えは t の不等式で示します。

まず t = 1 では二次の項が消え、左辺は 2x + 1 です。x = 0 を入れると1となるので、条件を満たす x が存在します。よって t = 1 は求める範囲に入りません。

次に t ≠ 1 とします。左辺を f(x) と置きます。t > 1 なら二次係数が正で、実際に x = 0 を入れると f(0) = 1 > 0 です。t < 1 でも同じく f(0) = 1 > 0 です。つまり、どの t でも条件を満たす x が存在します。答えは該当する t なしです。

この例では判別式を計算する前に定数項が決定打になります。別の見方をすると、どの t にも共通する x = 0 という反例が、「正になる実数が存在しない」という主張を否定します。反例は存在しないことの証明には使えませんが、存在しないという主張を崩すには1つで足ります。

もう少し文字の境界を比べるため、次の条件も考えます。実数 s について、x² − 2x + s ≥ 0 がすべての実数 x で成り立つ範囲を求めます。

x² - 2x + s = (x - 1)² + s - 1

平方は0以上なので、s − 1 ≥ 0 なら左辺は常に0以上です。逆に s − 1 < 0 なら x = 1 で左辺が負となるため条件を満たしません。よって必要十分な範囲は s ≥ 1 です。s = 1 では重解 x = 1 を含み、s > 1 では実根がありません。s < 1 は x = 1 で失敗します。境界を外した s = 0、境界の s = 1、境界を越えた s = 2 を入れると、軸上の値はそれぞれ -1、0、1 です。なお > 0 を全実数で要求するなら、接点を許さず s > 1 となります。

誤答をほどく：重解をそのまま答えにしない

「(x − 2)² > 0 の答えは x = 2」という誤答を考えます。原因は、対応する方程式 (x − 2)² = 0 の解を、不等式の解と取り違えることです。元の不等式へ x = 2 を戻すと 0 > 0 となり、条件を満たしません。

図3のように、接点を除いた左右が正です。数直線上の白丸は2を含まないこと、両側の線はそれ以外の実数を表します。修正した答えは x ≠ 2 です。反対に (x − 2)² ≤ 0 では、平方が負にならないため接点だけが残ります。

もう一つの誤りは、D < 0 を見て「解なし」と決めることです。これは方程式 f(x) = 0 については正しい表現ですが、不等式 f(x) > 0 の答えは係数の符号で変わります。上に開けば全実数、下に開けば解なしです。何の解を数えているかを、判別式の横に書き添えると混乱を減らせます。

練習：境界を含むかを確かめる

次の問題は実数を対象とし、範囲は不等号、1点は x = 数、1点を除く場合は x ≠ 数、残りは全実数または解なしで答えてください。文字の範囲を問う問題は不等号で示します。

1. (x + 3)² ≤ 0 を解いてください。
2. -3(x − 4)² < 0 を解いてください。
3. 2x² + 4x + 7 > 0 を解いてください。
4. -x² − 6x − 10 ≥ 0 を解いてください。
5. 実数 k について、x² + 6x + k > 0 がすべての実数 x で成り立つ k の範囲を求めてください。

解答と確かめ

1. 平方は0以上なので、0以下となるには0でなければなりません。

x + 3 = 0
x = -3

答えは x = -3 です。元の条件に戻すと (-3 + 3)² = 0 で、等号を含むため成立します。それ以外は平方が正なので入りません。

2. 両辺を負の数 -3 で割ると不等号の向きが変わります。

(x - 4)² > 0
x ≠ 4

答えは x ≠ 4 です。x = 4 では元の左辺が0で不成立、それ以外では平方が正なので左辺が負になります。たとえば x = 5 なら -3 < 0 です。

3. 平方完成して正負を調べます。

2x² + 4x + 7 = 2(x² + 2x) + 7
= 2((x + 1)² - 1) + 7
= 2(x + 1)² + 5

平方の項は0以上で、左辺は5以上です。答えは全実数です。x = -1 を元の式に入れても 2 − 4 + 7 = 5 となり、最小の値が正であることに合います。

4. 左辺を平方完成します。

-x² - 6x - 10 = -(x² + 6x) - 10
= -((x + 3)² - 9) - 10
= -(x + 3)² - 1

どの実数でも左辺は -1 以下なので、0以上にはなりません。答えは解なしです。x = -3 を元の式に戻すと -9 + 18 − 10 = -1 です。平方の項が0となる位置でも負なので、他の位置も条件を満たしません。

5. 左辺を平方完成します。

x² + 6x + k = (x + 3)² + k - 9

すべての x で正となるには、平方が0となる x = -3 でも正でなければなりません。したがって k − 9 > 0、つまり k > 9 が必要です。逆に k > 9 なら平方は0以上なので左辺は常に正です。答えは k > 9 です。元の式に x = -3 を戻すと 9 − 18 + k = k − 9 となります。境界 k = 9 では0となり、厳密な > 0 に失敗します。k = 8 では負、k = 10 では平方完成した式が常に1以上です。

答えを検証する順番

解が全実数と出たときは、代表値を1つ代入して終わりにせず、平方が0以上であることから任意の x について説明します。逆に解なしと出たときも、いくつかの値が不成立だっただけでは足りません。平方完成した式の最大値または最小値を用いて、条件に届かないことを示します。

1点を除く答えでは、除いた点が本当に等号を生むかを代入し、それ以外の点で厳密な不等号が成立する理由を確認します。1点だけの答えでは、その点が条件を満たすことに加え、他の点が入らない理由も必要です。境界を含むかどうかは最後に元の不等号へ戻して確定します。負の数を掛けたり割ったりした場合は、不等号の向きが変わったかも符号を必ず併せて見直します。

手元に残す要点

• 二次係数が0でないことを確かめてから判別式を使います。
• 重解では接点の値が0、それ以外の符号は二次係数と同じです。
• 実根がなければ全実数で符号は二次係数と同じです。
• 等号が接点を含むかを決め、全実数と解なしも答えにします。

どこで止まっているかを見分ける

方程式の重解は出せるのに不等式で迷う場合は、接点とそれ以外に分け、元の式の値が0か正か負かを説明してみます。負の係数で誤る場合は、平方完成後の係数と定数の符号を別々に確認します。個別指導では、図を見せる前に接点への代入を書き、図を描いた後に不等号を変えて答えがどう変わるかを尋ねます。実根なしの場合も、軸上の値と開く向きを式で説明できれば、図の印象だけに頼らず判定できます。重解は答えの個数を決める札ではなく、符号が0になる位置を示します。