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高校数学I 二次関数の三点から係数決定—連立式を整理して条件の不足や矛盾も見抜く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 二次関数を掘り下げる

横座標の重複や一直線上の点を含め、連立式の解と二次係数を照合し、条件に沿って三点から係数決定します。

よくあるのは、3点を通る式を求める復習で、点が3個あれば必ず1つの二次関数が決まると思う場面です。点の横座標が重なれば、実は同じ条件を繰り返している場合も、どの関数でも通れない場合もあります。また、横座標が異なっても、3点が一直線上なら二次係数は0になります。式を解く前に点を見て、解いた後に係数と元の点を照合しましょう。

要点（結論から）

同じ横座標で縦座標が異なれば、関数は存在しません。
同一点の繰り返しは新しい条件を増やしません。
異なる横座標の3点では、差を取って c、次に b を消せます。

3点を見たとき、何を先に調べるか

出方は主に3つです。横座標が異なる3点から式を求める型、同じ横座標を含む条件で式の個数を調べる型、文字を含む点について二次関数が存在する条件を求める型です。どの型でも、最初に座標を見て、最後に二次係数を調べる順序は同じです。

使う形は y = ax² + bx + c です。係数 a、b、c は実数で、二次関数と呼ぶために a ≠ 0 が必要です。定義域を指定しない場合、x はすべての実数を動きます。点 (p, q) を通るとは、x = p のとき y = q になることです。したがって q = ap² + bp + c を作ります。点を代入して得た式を連立一次方程式として解くので、未知数は a、b、c です。

3本の式を並べても、3つの独立した情報があるとは限りません。たとえば同じ点を2回指定したとき、対応する2本は同じ式です。一方、横座標が同じで縦座標が違う2点は、1つの x に対して異なる2つの y を要求します。関数ではその両方を満たせません。計算を始める前にこの違いを見ます。

差を取ると何が残るか

異なる横座標 p、q、r に対する縦座標をそれぞれ u、v、w とします。各点を通る条件は次の3本です。

u = ap² + bp + c
v = aq² + bq + c
w = ar² + br + c

後の式から前の式を引き、平方の差を因数分解します。p ≠ q、q ≠ r なので、それぞれの差で割れます。

(v - u)/(q - p) = a(p + q) + b
(w - v)/(r - q) = a(q + r) + b

左辺はそれぞれ、2点を結ぶ直線の傾きです。さらに下の式から上の式を引くと、傾きの差は a(r − p) です。r ≠ p だから、傾きの差から a が1つに決まり、その後に b、c も順に1つに決まります。3つの横座標が異なる場合、条件を満たす次数2以下の式は必ず1つあります。ただし、その a が0なら、その式は二次関数ではありません。

図1のように、隣り合う2組の傾きが異なれば a ≠ 0 です。傾きが等しければ3点は一直線上にあり、a = 0 です。この判定には点を横座標順に並べると見通しが立ちますが、差の式の分子と分母で引く順番をそろえれば、別の順でも同じ結論です。

図1は計算の流れを示した図です。傾きが等しい場合も式自体は作れますが、その式が二次関数かどうかは別に判定します。連立方程式の解が存在することと、求める種類の関数が存在することを分けて考えます。

2点しか異ならないときの自由度

同じ点の反復を除いた後、異なる横座標が2つなら、2本の条件で3つの係数を定めることになります。例えば異なる横座標 p、q に対して指定値が u、v なら、差を取った式は (v − u)/(q − p) = a(p + q) + b です。a を先に選べば b が決まり、最初の点への代入から c が決まります。a は0以外のどの実数にも選べるので、二次関数は複数あります。

この説明では、p と q が異なるため差で割れることが必要です。もし同じ横座標で違う値を指定していたら、差で割る手順に進む前に矛盾します。また、異なる点が1つしか残らない場合も、a ≠ 0 と b を選んだ後に c を定めればよいので、二次関数は複数あります。条件の本数を数えるだけでなく、互いに両立するか、同じ情報を繰り返していないかを確認します。

傾きの差の式は、等間隔の横座標で特に見やすくなります。横座標が p、p + h、p + 2h で h ≠ 0 のとき、縦座標を順に u、v、w とすると、(w − v) − (v − u) = 2ah² です。縦座標の増え方が同じなら左辺は0であり、a も0です。等間隔でない場合に縦座標の差をそのまま比べると誤るので、各差を横座標の差で割った傾きを比べます。

基本例題：差を取って係数を求める

点 (0, 1)、(1, 4)、(3, 16) を通る二次関数を求め、y = ax² + bx + c の形で答えてください。

3つの横座標は互いに異なります。まず各点を代入します。

1 = c
4 = a + b + c
16 = 9a + 3b + c

最初の式から c = 1 です。残る2本に代入します。

4 = a + b + 1
3 = a + b
16 = 9a + 3b + 1
15 = 9a + 3b
5 = 3a + b

下の式から上の式を引いて b を消します。

5 - 3 = (3a + b) - (a + b)
2 = 2a
a = 1
3 = 1 + b
b = 2

よって求める式は y = x² + 2x + 1 です。a = 1 ≠ 0 なので、確かに二次関数です。元の条件へ戻すと、x = 0、1、3 のとき値は順に 1、4、16 です。図2のように、指定された3点を通ります。横方向と縦方向の縮尺は異なります。

図2では点を線で結ぶだけでなく、横座標と縦座標の組を確認してください。たとえば (3, 16) を (16, 3) と取り違えると、別の条件を解いてしまいます。3点とも代入し直すと、符号や転記の誤りを発見できます。

標準例題：重複と矛盾を区別する

次の条件を満たす二次関数を、存在する場合はすべて y = ax² + bx + c の形で表してください。

ア　(1, 2)、(1, 2)、(2, 5) を通る。

イ　(1, 2)、(1, 3)、(2, 5) を通る。

アでは最初の2点が同じなので、異なる条件は2本です。代入して整理します。

2 = a + b + c
5 = 4a + 2b + c
3 = 3a + b
b = 3 - 3a
2 = a + (3 - 3a) + c
c = 2a - 1

したがって y = ax² + (3 − 3a)x + 2a − 1、ただし a ≠ 0 です。a を0以外の実数から選ぶたびに条件を満たします。実際に x = 1 では a + 3 − 3a + 2a − 1 = 2、x = 2 では 4a + 6 − 6a + 2a − 1 = 5 です。同じ点の指定を重ねても、新たな制約は増えません。

イでは x = 1 のとき、値が2であることと3であることを同時に求めています。1つの x に対応する値は1つなので、二次関数は存在しません。式で見ても a + b + c = 2 と a + b + c = 3 は矛盾します。式が不足するアと、式が両立しないイを混同しないことが肝心です。

同じ横座標を持つ点は、縦座標も同じなら同一点です。違うなら関数のグラフには同時に乗りません。点の並びを眺めるだけで判断できることがあり、無理に消去を進める必要はありません。

発展例題：文字を含む点と一直線の境目

点 (-1, 2)、(1, 4)、(3, t) を通る二次関数が存在するような実数 t の範囲を求め、存在するときの式を t を用いて表してください。

横座標は異なるので、次数2以下の式は1つに決まります。条件を代入します。

2 = a - b + c
4 = a + b + c
t = 9a + 3b + c

2本目から1本目を引きます。

4 - 2 = (a + b + c) - (a - b + c)
2 = 2b
b = 1

最初の式に戻します。

2 = a - 1 + c
c = 3 - a

最後の式に b と c を代入します。

t = 9a + 3 + 3 - a
t = 8a + 6
a = (t - 6)/8
c = 3 - (t - 6)/8
c = (30 - t)/8

二次関数であるための条件は (t − 6)/8 ≠ 0、すなわち t ≠ 6 です。そのときの答えは次の式です。

y = ((t - 6)/8)x² + x + (30 - t)/8

x = -1 では (t − 6)/8 − 1 + (30 − t)/8 = 2、x = 1 では (t − 6)/8 + 1 + (30 − t)/8 = 4、x = 3 では 9(t − 6)/8 + 3 + (30 − t)/8 = t です。元の3点を通り、t ≠ 6 なら二次係数も0ではありません。

t = 6 の境界では式は y = x + 3 です。3点 (-1, 2)、(1, 4)、(3, 6) はこの直線上にあります。隣り合う点の傾きはどちらも1であり、二次の曲がりを必要としません。t = 5 と t = 7 では二次係数がそれぞれ -1/8、1/8 となり、境界の両側で符号が変わります。どちらも0ではないので存在します。

基本例題では数値の係数を出せばよいのに対し、発展例題では文字の値によって得られた式の次数が変わります。連立式を解く操作は同じでも、答えの条件として a ≠ 0 を文字の条件に戻すところが分かれ目です。a = 0 を除く前に式を代入確認すると、除外の理由も明確になります。

誤答を修正する：式が1つでも二次とは限らない

点 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) を通る二次関数を求めるとします。「連立して y = 2x + 1 を得たので、これが答え」とするのは誤りです。3点は確かにこの式を満たしますが、二次係数が0だからです。

1 = c
3 = a + b + c
5 = 4a + 2b + c
2 = a + b
4 = 4a + 2b
2 = 2a + b
0 = a
b = 2

原因は、次数2以下の式を求めた段階で、二次関数の条件を忘れたことです。修正すると、この3点を通る二次関数は存在しません。横座標が異なる3点について係数の組は一意なので、別の二次関数を探しても見つかりません。図3のように、3点は一直線上です。横方向と縦方向の縮尺は異なります。

図3の点を式に戻すと、x = 0、1、2 に対する値は1、3、5です。条件を満たす直線があることと、二次関数があることは異なります。答えが直線になったときは、計算の失敗と決めつけず、点の並びと a の値を調べます。

自分で試す5問

各問の点は座標平面上の点です。式を求める問では y = ax² + bx + c の形で、存在条件を求める問では実数の範囲を不等号で答えてください。

(0, -2)、(1, 1)、(2, 6) を通る二次関数を求めてください。
(-1, 4)、(0, 1)、(2, 1) を通る二次関数を求めてください。
(0, 3)、(2, 7)、(4, 11) を通る二次関数の有無を判定してください。
(2, 1)、(2, 1)、(3, 4) を通る二次関数をすべて求めてください。
(0, 2)、(2, 6)、(4, s) を通る二次関数が存在する s の範囲と、その式を求めてください。

答えと確かめ

代入して c = -2、a + b = 3、4a + 2b = 8 です。最後を2で割ると 2a + b = 4 なので、差を取って a = 1、b = 2 です。答えは y = x² + 2x − 2 です。x = 0、1、2 を戻すと -2、1、6 となり、指定された点を通ります。a ≠ 0 も満たします。
代入すると a − b + c = 4、c = 1、4a + 2b + c = 1 です。よって a − b = 3、2a + b = 0 です。2式を加えると 3a = 3 で、a = 1、b = -2 です。答えは y = x² − 2x + 1 です。x = -1、0、2 でそれぞれ 4、1、1 となり、3点に戻ります。
c = 3、4a + 2b = 4、16a + 4b = 8 です。整理すると 2a + b = 2、4a + b = 2 なので、差から 2a = 0、a = 0、b = 2 です。得られる直線 y = 2x + 3 は3点を通りますが、二次関数ではありません。係数の組は1つに定まるので、答えは存在しない、です。
異なる条件は 4a + 2b + c = 1 と 9a + 3b + c = 4 です。差から 5a + b = 3、b = 3 − 5a です。これを最初に戻すと c = 6a − 5 です。答えは y = ax² + (3 − 5a)x + 6a − 5、a ≠ 0 です。x = 2 では1、x = 3 では4となり、重複した点も満たします。
c = 2、4a + 2b + 2 = 6、16a + 4b + 2 = s です。前の式から b = 2 − 2a、後の式に代入して s = 8a + 10 です。よって a = (s − 10)/8、b = (18 − s)/4 です。存在条件は s ≠ 10、式は y = ((s − 10)/8)x² + ((18 − s)/4)x + 2 です。x = 0、2、4 で値は順に2、6、sとなります。s = 10 では a = 0 となり、直線になるので除きます。