高校数学I 二次関数の閉区間の最大値—軸から両端までの距離を比べ同値の場合も調べる｜武蔵野個別指導塾

両端と軸の距離、同値の場合、下に開く場合をたどり、求めるのは閉区間の最大値です。

よくあるのは、高1の本人が復習中、二次関数の区間の左端を代入し、その値を最大値として答える場面です。端の値を調べるところまではよいのですが、右端の値がもっと大きい場合もあります。両端が同じ高さなら、その両方の x を答えに残す必要もあります。軸からの距離と区間の中点を使い、どちらの端を選ぶかを理由から考えます。

どのように問われるか

固定された閉区間で二次関数の最大値と、その値を取る x を求める問題を考えます。閉区間とは両端を含む区間です。例えば -2 ≦ x ≦ 3 では、-2 と 3 も代入できます。値だけを求める問題と、値を取る x まで求める問題を区別し、後者では位置も忘れずに書きます。

出方の1つは、上に開くグラフで両端の値を計算して比べるものです。次に、軸と区間の中点の位置から、計算前に高い端を判断するものがあります。さらに、下に開くグラフで最大と最小を両方求めるときは、頂点が区間内にあるかも調べます。平方完成によって軸を読み取り、数直線上で距離を比べることが既習事項です。

ここでは区間も式も与えられた数で固定します。文字によって軸や区間が動く問題の細かな場合分けには踏み込みません。まず、ひとつの区間で候補を漏らさず選べるようにします。

軸と両端は何を決めるか

二次関数を f(x) = a(x-p)² + q とし、a は 0 でない数とします。軸は直線 x = p、頂点は (p, q) です。x と p の距離が大きいほど (x-p)² は大きくなります。a > 0 なら距離が大きいほど関数の値も大きく、a < 0 なら逆に小さくなります。

閉区間を L ≦ x ≦ R とし、まず L < R とします。図1のように、左右の端と軸の距離を見ます。軸が区間の外にあっても、この距離の見方は同じです。区間内のどの点も、軸からの距離は両端の距離のうち大きい方を超えません。したがって a > 0 の最大値は、軸から遠い端で取ります。a < 0 では、遠い端で最小値を取ります。

端のどちらが遠いかは、区間の中点 m = (L+R)/2 でも判断できます。軸が中点より左なら右端が遠く、軸が中点より右なら左端が遠くなります。軸が中点と一致すれば、両端の距離は等しく、両端の値も等しくなります。軸が区間の外側にあっても、中点の左右という判定に含まれます。

式でも確かめます。右端の値から左端の値を引くと、平方の差を使って次のようになります。

f(R) - f(L) = a{(R-p)² - (L-p)²}
              = a(R-L)(R+L-2p)
              = 2a(R-L)(m-p)

R-L は正なので、a > 0 のとき差の符号は m-p の符号と同じです。p < m なら右端、p > m なら左端の値が大きく、p = m なら等しいとわかります。a < 0 なら符号が反転し、遠い端の値が小さくなります。この式は端同士の比較を示すもので、下に開くときの最大値が必ず端にあるという意味ではありません。

a < 0 では、軸に最も近い区間内の点が最大値を与えます。p が区間内なら x = p、p が左にあれば x = L、右にあれば x = R です。軸が端に重なるときも、その端が頂点です。L = R の1点だけの区間では、その点の値が最大値でも最小値でもあり、取る x はその1点です。空の区間には値を取る点がないため、最大値を決められません。

基本例題：両端を代入して確定する

問題：f(x) = (x-1)² + 2 の定義域を -2 ≦ x ≦ 3 とします。最大値と、その値を取る x を整数で求めてください。

平方の係数は 1 > 0 で、グラフは上に開きます。軸は x = 1 です。図2のように左端から軸までの距離は 3、右端から軸までの距離は 2 なので、左端が遠いと予想できます。区間の中点は 1/2 で、軸はそれより右にあります。この見方でも左端を選びます。

実際に両端の値を計算します。括弧の中を先に求め、2乗した後で 2 を加えます。

f(-2) = (-2-1)² + 2
      = (-3)² + 2
      = 9 + 2
      = 11

f(3) = (3-1)² + 2
     = 2² + 2
     = 4 + 2
     = 6

11 > 6 ですから、最大値は 11、その値を取る x は -2 です。右端が 6 と低いことまで確かめて初めて、左端を採用する理由が揃います。x = 1 の頂点では f(1) = 2 です。頂点は区間内ですが、上に開くのでここは最小値を取る位置であり、最大値の候補ではありません。

検算では答えを元の条件に戻します。-2 は定義域の左端であり、代入値は 11 です。さらに区間内で |x-1| ≦ 3 ですから、(x-1)² + 2 ≦ 11 と全体についても確かめられます。端の2つを比べる理由と、答えの点が定義域に入ることを別々に書くと、区間外の点を使う間違いを防げます。

標準例題：両端が同じ高さになるとき

問題：g(x) = 2(x-2)² − 3 の定義域を -1 ≦ x ≦ 5 とします。最大値と最小値、およびそれぞれの値を取る x を整数で求めてください。

係数 2 は正です。軸は x = 2、区間の中点は (-1+5)/2 = 2 なので軸と一致します。左右の端は軸からどちらも 3 離れています。遠さが等しいため最大値を取る位置は両端です。式に代入して数値も確かめます。

g(-1) = 2(-1-2)² - 3
      = 2・9 - 3
      = 15

g(5) = 2(5-2)² - 3
     = 2・9 - 3
     = 15

頂点の x = 2 は -1 ≦ 2 ≦ 5 を満たします。平方は 0 以上で、x = 2 のとき 0 ですから、最小値は g(2) = -3 です。最大値は 15 で x = -1, 5 の両方、最小値は -3 で x = 2 です。

答えの点を戻すと、両端はそれぞれ与えられた区間に含まれ、どちらも 15 を与えます。途中で「端点の値が同じだから、区間のどこでも 15」と考えることはできません。例えば頂点の値は -3 です。対称な2点の値が等しいことと、すべての点で値が等しいことは別です。

両端の高さが等しい場面では、最大値という数は1つでも、その値を取る x は2つあります。問題が値だけを尋ねていれば 15 で足りますが、位置まで尋ねられた場合は両端を列挙します。等号を見落とさず、位置の個数と値の個数を分けて読むことが標準問題の要点です。

発展例題：下に開くと何が入れ替わるか

問題：h(x) = -2(x-1)² + 8 の定義域を -1 ≦ x ≦ 4 とします。最大値と最小値、およびそれぞれの値を取る x を整数で求めてください。

-2 < 0 なので下に開き、軸は x = 1 です。軸が区間内にあることは -1 ≦ 1 ≦ 4 で確認できます。平方は 0 以上ですから、それに負の数 -2 を掛けた部分は 0 以下です。したがって h(x) ≦ 8 となり、等号は x = 1 で成り立ちます。最大値は 8、取る x は 1 です。

最小値は軸から遠い端で取ります。左端までの距離は 2、右端までの距離は 3 なので、右端が候補です。値も両端で計算します。

h(-1) = -2(-1-1)² + 8
      = -2・4 + 8
      = 0

h(4) = -2(4-1)² + 8
     = -2・9 + 8
     = -10

0 > -10 なので、最小値は -10、取る x は 4 です。上に開く場合に最大値を決めた「遠い端」は、下に開く場合には最小値を決めます。軸に近い点が最大値を決めるので、上向きの結論の「最大」と「最小」を入れ替えます。

この答えを式と区間に戻します。x = 1 は区間内で h(1) = 8、x = 4 は右端で h(4) = -10 です。区間内では |x-1| ≦ 3 なので、-2(x-1)² + 8 ≧ -10 も成り立ちます。これで端点間の比較だけでなく、途中の点が最小値を下回らないことも確かめられます。

発展の分かれ目は頂点の位置です。例えば同じ h で定義域を -3 ≦ x ≦ -1 に変えると、軸 x = 1 は区間の右外にあります。区間内で軸に最も近いのは右端 -1 ですから、最大値は h(-1) = 0 です。左端では h(-3) = -2・16 + 8 = -24 となり、最小値は -24 です。頂点の値 8 は、この区間のどの x にも対応しないため採用できません。下に開くからといって、常に頂点の値が区間の最大値になるわけではありません。

左端だけを選んだ答えを直す

次の誤答を考えます。j(x) = (x-1)² の定義域を 0 ≦ x ≦ 4 とし、「左端で j(0) = 1 だから最大値は 1」とする答えです。左端が区間内にあることは正しいものの、それだけでは他の値との大小は決まりません。

図3のように、軸 x = 1 から左端 0 までの距離は 1、右端 4 までの距離は 3 です。上に開くので右端の方が高くなります。右端を代入すると j(4) = (4-1)² = 9 です。正しくは最大値 9、取る x は 4 です。答えの x が 0 ≦ 4 ≦ 4 を満たし、元の式の値が 9 であることも確認します。

別の間違いとして、両端の値が等しいときに片方だけを残すことがあります。軸が中点に重なるか、端の代入値が等しいかを確認し、等しければ両方の x を書きます。また、下に開く場合に遠い端を最大値としてしまう場合は、負の係数を掛けると平方の大小が逆になることに戻ります。グラフの開く向き、軸、両端の順で確認すると、計算以前の選択を直せます。

練習問題

各問について、最大値と最小値、およびそれぞれの値を取る x を求めてください。答えは整数で表します。区間の端を含むことと、値を取る位置が複数ある場合を意識して取り組みます。

1. f(x) = (x+2)² − 1、-4 ≦ x ≦ 1。
2. g(x) = 3(x-1)² + 2、-2 ≦ x ≦ 4。
3. h(x) = 2x² − 8x + 5、0 ≦ x ≦ 3。
4. k(x) = -(x+1)² + 7、-4 ≦ x ≦ 1。
5. l(x) = -2(x-3)² + 4、-2 ≦ x ≦ 1。

練習の答えと道筋

1. 軸が区間内、両端の距離が異なる場合

軸は x = -2 で区間内です。係数が正なので、ここで最小値 -1 を取ります。両端は軸からそれぞれ 2 と 3 離れているため、最大値を取る候補は右端です。

f(-4) = (-4+2)² - 1 = 3
f(1) = (1+2)² - 1 = 8
f(-2) = (-2+2)² - 1 = -1

最大値は 8 で x = 1、最小値は -1 で x = -2 です。どちらの x も指定区間にあり、元の式へ代入してそれぞれの値に戻ります。左端の値 3 は 8 を超えません。

2. 中点と軸が重なる場合

区間の中点は (-2+4)/2 = 1 で、軸 x = 1 と一致します。両端はともに軸から 3 離れ、上に開くので両端で最大になります。頂点は区間内なので最小も求められます。

g(-2) = 3(-2-1)² + 2 = 29
g(4) = 3(4-1)² + 2 = 29
g(1) = 3(1-1)² + 2 = 2

最大値は 29 で x = -2, 4、最小値は 2 で x = 1 です。両端と頂点はいずれも定義域に含まれ、式の値は答えと一致します。最大を取る位置を1つに絞らないことが、この問題の確認点です。

3. 展開された式から軸を見つける場合

最初に平方完成し、元の式から軸を読み取れる形にします。

h(x) = 2(x² - 4x) + 5
     = 2{(x-2)² - 4} + 5
     = 2(x-2)² - 3

軸 x = 2 は区間内です。左端は軸から 2、右端は 1 離れているため、上に開くグラフの最大は左端にあります。元の式で値を確かめます。

h(0) = 2・0² - 8・0 + 5 = 5
h(3) = 2・3² - 8・3 + 5 = -1
h(2) = 2・2² - 8・2 + 5 = -3

最大値は 5 で x = 0、最小値は -3 で x = 2 です。0 と 2 は区間内で、元の展開された式にも答えを戻せます。平方完成の途中で生じる -8 を落とさないことも確かめます。

4. 下に開き、頂点が区間内にある場合

軸は x = -1 で区間内です。下に開くため最大値は頂点の 7 です。両端までの距離は左が 3、右が 2 なので、遠い左端で最小になります。

k(-4) = -(-4+1)² + 7 = -2
k(1) = -(1+1)² + 7 = 3
k(-1) = -(-1+1)² + 7 = 7

最大値は 7 で x = -1、最小値は -2 で x = -4 です。答えの位置はともに区間に含まれ、元の式の値も一致します。右端の 3 と左端の -2 の大小も、負の数の順序に注意して比べます。

5. 下に開き、頂点が区間外にある場合

軸 x = 3 は区間の右外にあります。区間内で軸に近い右端が最大、遠い左端が最小です。頂点の値 4 をそのまま最大値にはできません。

l(1) = -2(1-3)² + 4
     = -2・4 + 4
     = -4

l(-2) = -2(-2-3)² + 4
      = -2・25 + 4
      = -46

最大値は -4 で x = 1、最小値は -46 で x = -2 です。両端は指定区間に含まれ、代入値は答えに一致します。区間内の距離は 2 以上 5 以下なので、-46 ≦ l(x) ≦ -4 となることでも確かめられます。

覚えておくこと

上に開くとき、最大値は軸から遠い端で取ります。 軸が区間の中点なら、両端で同じ最大値を取ります。 下に開くとき、遠い端は最小値を与えます。 最大値は軸に最も近い区間内の点で調べます。 値と、その値を取る x の両方を条件に戻します。

つまずきを見分けるには

端の値を1つしか書けない場合は、まず区間の左右を数直線に記し、両方が代入可能かを確かめます。両端を計算できても選べない場合は、値の大小を不等号で結びます。軸からの距離による予想と実際の代入が違えば、平方の符号か距離の数え方を点検します。

個別指導で確かめるなら、式の係数の符号を指して開く向きを説明できるか、軸と中点を図に置けるかを順に聞きます。両端の値が同じときは、最大値の個数とそれを取る x の個数を言葉で分けてもらいます。下向きで頂点が区間外の場合には、頂点の値を使えない理由を定義域と結びつけて説明します。閉区間の最大値は、使える点の中で両端と軸の位置を見て決まります。