高校数学C 位置ベクトル—定期テストで内分と外分の比から点の位置を表す｜武蔵野個別指導塾

比と係数の関係を線分上の距離から読み、外分や重心にもつなげながら線分を内分します。

定期テスト前に、線分を内分する比と位置ベクトルの係数を逆に対応させてしまう場面はよくあります。AP:PBが2:3なら、Aの係数を2にしたくなるかもしれません。しかし、PはAからBへ全体の2/5だけ進んだ点です。式を丸暗記する前に、どちらの端からどれだけ進むかを描き、係数と距離の関係を結びつけましょう。

要点（結論から）

• 内分点は、AからBへの移動割合をAP/ABで決めます。
• 外分点は線分の外にあり、比が等しいと有限の点はありません。
• 係数の和が1でも、比と点の位置まで確認します。

点の位置を問う3つの形

位置ベクトルの問題では、まず線分の両端と比から点を表す形が現れます。点が線分の中にある内分では、2つの係数が正で、その和が1になります。比の前後と係数の前後をそのまま結びつけず、端からの移動で考えます。

次に、線分を延長した先の外分点を表す形があります。外分では係数に負の数が現れます。分母に比の差が出るので、比が等しい場合に割れないことも確認します。内分と同じ分母を使ってしまうと、求めた点は線分の中に戻ってしまいます。

もう1つは三角形の重心を頂点の位置ベクトルで表す形です。中点を使い、頂点から中点への比を利用すれば、3頂点の係数が等しくなります。座標が与えられた問題なら各成分にも同じ式を適用できます。直線の方程式や交点の一般的な求め方には広げず、点の位置と比を中心に考えます。

原点からの矢印と係数

原点をOとし、点A、B、Pの位置ベクトルをそれぞれa、b、pとします。位置ベクトルはOからその点へ向かうベクトルです。AからBへ向かうベクトルはb-aなので、AからBへt倍だけ移動した点はp=a+t(b-a)と表せます。展開するとp=(1-t)a+tbです。ここでtはAPの向き付きの長さをABの向き付きの長さで割ったものに相当します。

図1のように、AからBへの移動の割合が増えると、bの係数が増えます。A自身ではt=0、B自身ではt=1です。その間の0<t<1ならPは線分の内部にあります。Aに近い点ほどaの係数が大きいことも、式から読み取れます。

AP:PB=m:nと内分するとき、m、nを正とすればAP/AB=m/(m+n)です。したがってt=m/(m+n)を代入し、p=(na+mb)/(m+n)を得ます。aに掛かるのは反対側の長さPBに対応するn、bに掛かるのはAPに対応するmです。例えばPがAに近ければAPは短く、aの係数は大きくなるはずです。

外分も出発点をAとする移動から考えられます。AP:PB=m:nでm>n>0ならPはBの外側にあり、ABに当たる比はm-nです。よってt=m/(m-n)となり、p=(-na+mb)/(m-n)です。m<nならPはAの外側になり、同じ式で表せます。m=nでは有限の外分点は存在せず、この式も使えません。AとBは異なる点とします。

どちらの式も係数の和は1です。これは原点を移しても点の関係が保たれるための条件です。実際に新しい原点の位置ベクトルをcとすると、aとbはそれぞれa-c、b-cに変わります。係数の和が1なら、式全体はp-cとなり、新しい原点から見た同じ点を表します。ただし和が1という条件だけでは内分とは限りません。負の係数がある場合は線分の外側も表します。

例題1：内分点を2通りに表す

異なる2点A、Bの位置ベクトルをa、bとします。Pは線分ABをAP:PB=2:3に内分します。pをa、bで表し、さらにA=(1,2)、B=(6,7)のときのPの座標を整数で求めてください。座標の単位は設けません。

まずAP:PB=2:3なので、ABは比の合計5に当たります。図2のようにAからPまでは全体の2/5です。したがって、Aから始めると次の式になります。

p=a+(2/5)(b-a)

かっこの中はAからBへのベクトルです。分配してaの係数をまとめます。

p=a+(2/5)b-(2/5)a

p=(3/5)a+(2/5)b=(3a+2b)/5

図2ではPがAに近く、Aの係数3/5がBの係数2/5より大きくなります。係数の和も3/5+2/5=1です。比と係数が逆に並ぶ理由を、矢印の向きと一緒に確認できます。

座標を代入すると、x座標とy座標を別々に計算できます。

x=(3×1+2×6)/5=15/5=3

y=(3×2+2×7)/5=20/5=4

よってP=(3,4)です。元の条件に戻すと、APの成分は(2,2)、PBの成分は(3,3)です。同じ向きのベクトルの長さの比は2:3となり、Pは線分の中にあります。座標の平均に近い数が出たかという印象だけで終えず、両方の区間を照合します。

なお、比の数値をそれぞれ2倍して4:6と書いても位置は変わりません。移動割合は4/(4+6)=2/5のままです。比の数がそのまま長さの実測値である必要はなく、同じ単位で測った長さの割合を表しています。

例題2：外分点から重心へ

三角形ABCの頂点の位置ベクトルをa、b、cとします。AとBは異なる点で、Qは直線AB上にあり、AQ:QB=3:1に外分します。またGを三角形ABCの重心とします。qとgをそれぞれa、b、cで表してください。係数は既約分数または整数で答えます。

外分ではQが線分の外にあることが出発点です。AQのほうがQBより長いので、QはBの先にあります。AQが比の3、QBが比の1に当たり、その差であるABは比の2に当たります。したがってAQ/AB=3/2です。AからBに向かってABの長さの3/2倍だけ進みます。

q=a+(3/2)(b-a)

q=a+(3/2)b-(3/2)a

q=-(1/2)a+(3/2)b=(-a+3b)/2

係数の和は1ですが、aの係数が負です。q-b=(b-a)/2なので、BからQへの距離はABの半分です。一方、AQの距離はABの3/2倍ですから、条件の3:1に戻ります。内分公式に3と1を入れて(a+3b)/4とすると係数は両方正となり、点はABの内部に入ります。外分という条件に合いません。

次にBCの中点をM、位置ベクトルをmとします。中点は1:1の内分点なのでm=(b+c)/2です。重心Gは中線AMをAG:GM=2:1に内分します。この重心の性質を用いると、

g=(a+2m)/3

=(a+2(b+c)/2)/3

=(a+b+c)/3

となります。A、B、Cの係数はそれぞれ1/3です。この式にm=(b+c)/2を戻すと、GはAからMへ2/3進んだ点です。残りのGMはAMの1/3なので、重心を定める2:1に戻せます。図形が細長くても、同じ比で中線を分ける点です。

ここで分かれ目は、同じ比が与えられても点が線分の中か外かを先に読むことです。内分なら比を足してABに対応させます。外分なら大きいほうから小さいほうを引き、ABに対応させます。どちらも移動の式から導けるため、符号が不安なときは図を描いて出発点に戻ります。

比を係数にそのまま並べたら

例題1で、誤ってp=(2a+3b)/5とする答案を考えます。係数の和は1なので、一見すると整った式です。しかし図3のように、この式はAからBへ3/5進む点を示します。AP:PBは3:2になり、指定された2:3とは逆です。

誤りの原因は、APに対応する2をAの係数と考えたことです。APはAの位置そのものではなく、AからBへの移動距離です。修正するときはp=a+t(b-a)のtにAP/ABを入れます。図3の正しい点はAに近いので、aの係数が大きいという感覚でも見直せます。

別の間違いとして、外分で分母をm+nにする場合があります。たとえば例題2の比3:1なら、線分ABは3+1ではなく3-1に対応します。Qから見てAまでの区間の中にBまでの区間が含まれるからです。足すか引くかを記号だけで選ばず、重なった区間を線上に描くと区別できます。

また、係数の和が1であっても比まで正しいとは限りません。和は原点を移したときの整合性を確かめる検査であり、左右の係数がどの距離に対応するかは別に調べます。端点に近いか遠いか、指定された内分か外分かまで戻して判定します。

練習：点を描いてから式にする

次の3問では、点の位置ベクトルを小文字で表します。各係数は既約分数または整数で、座標は整数で答えてください。座標に単位は設けません。

1. 異なる2点D=(2,1)、E=(8,10)について、線分DEをDR:RE=1:2に内分する点Rの位置ベクトルrと座標を求めてください。
2. 異なる2点F、Hの位置ベクトルをf、hとします。直線FHをFS:SH=2:5に外分する点Sの位置ベクトルsを求めてください。SがFとHのどちら側にあるかも答えてください。
3. 三角形JKLの頂点をJ=(0,3)、K=(6,0)、L=(3,6)とします。重心Tの座標を求め、頂点Jと辺KLの中点を結ぶ線分上の比を確かめてください。

練習の解答と見直し

1. DR/DE=1/(1+2)=1/3です。よってr=d+(1/3)(e-d)=(2d+e)/3です。座標は((2×2+8)/3, (2×1+10)/3)=(4,4)です。DR=(2,3)、RE=(4,6)なので同方向で長さの比は1:2です。求めた点はDからEへの線分内にあります。

2. FS<SHなので、SはFから見てHと反対側にあります。直線上をFからH方向に進む割合をtとするとt<0です。FS=(-t)FH、SH=(1-t)FHなので、(-t):(1-t)=2:5です。5(-t)=2(1-t)を解くと-5t=2-2t、t=-2/3です。したがってs=f-(2/3)(h-f)=(5f-2h)/3です。戻して見るとFSはFHの2/3、SHはFHの5/3なので比は2:5です。係数の和は1で、負の係数が外側を示します。

3. 重心は3頂点の位置ベクトルの平均なので、T=((0+6+3)/3, (3+0+6)/3)=(3,3)です。辺KLの中点をNとするとN=((6+3)/2, (0+6)/2)=(9/2,3)です。JT=(3,0)、TN=(3/2,0)なので、同じ向きでJT:TN=2:1です。Tが中線上にあり、その中線を重心の比に分けることが元の図形で確かめられます。

計算に入る前に、練習2では外分点がどちら側かを長さの大小から判断します。反対側を想定した式が出たら、その式を使ってFSとSHを計算し直してください。条件の大小まで戻すと、符号の違いを発見できます。練習3では平均の式を覚えていても、中点と中線の比を使えば、答えが重心の条件に合うかを別の経路で確認できます。

係数から比を読み戻す練習も有効です。式の順序を確認しながら考えます。たとえば異なる点U、Vに対し、w=(4u+v)/5なら、w=u+(1/5)(v-u)と変形できます。UからVへの移動は全体の1/5なので、UW:WV=1:4です。逆に係数だけを見て4:1と答えると、点がVに近い位置になってしまいます。和が1の式を移動の形に戻す手順は、比を読む向きに迷ったときの確認になります。

要点を手元に残す

• 内分点は、AからBへの移動割合をAP/ABで決めます。
• 外分点は線分の外にあり、比が等しいと有限の点はありません。
• 係数の和が1でも、比と点の位置まで確認します。
• 重心は3頂点の位置ベクトルの平均です。

どの行で止まったかを見つける

比から式へ進めないときは、まず線分を描き、APとPBを別々に記入します。次にABが比の和なのか差なのかを示し、AP/ABを求めます。この割合は書けるのに係数を逆にするなら、p=a+t(b-a)に代入する行を残してみてください。式を展開する前に、始点と移動方向を確認できます。

外分の符号で止まるなら、点がA側かB側かを先に決めます。個別指導で確かめる場合も、完成した公式を言えるかより、図の区間と式の分母を対応させられるかを見ると、修正箇所が具体的になります。重心で止まる場合は中点の式と2:1の向きを別々に確かめます。位置ベクトルは、点を描いて移動に戻すと比の意味まで丁寧に追えます。