高校数学C ベクトルと図形の証明—交点と一直線の条件を係数で整理する｜武蔵野個別指導塾

独立でない2本の係数を比較する誤りを押さえ、交点や一直線上の点を表す式の根拠を確かめます。

定期テストの前、図形を式に直して、同じ文字が並んだからと係数を比較する場面があります。ところが、基準にした2本のベクトルが同じ直線に沿っていると、異なる係数でも同じベクトルを表せます。計算が進んでいるように見えても、その比較は使えません。図形の証明では、まず基準の2本が平行でないことを確かめ、それから点を表す式を読み取ります。

点の位置から何を証明するか

出方の1つは、辺を内分する点を使って、2直線の交点を求める問題です。交点は両方の直線上にあるので、位置ベクトルを2通りに表し、同じ点の式として等しくします。未知数を2つ置いたら、独立な2本について係数を比べて連立します。

別の型は、3点が一直線上にあることを示す問題です。3点のうち1点から残りの2点へ向かうベクトルを作り、一方が他方の実数倍になると示します。比べる矢印の始点をそろえることが、式を読む入口です。

さらに、係数から点が三角形の内部にあるかを調べる型もあります。式の係数が正か、和が1より小さいかによって、辺上なのか内部なのかが変わります。等号を見落とすと、辺上の点を内部と判断してしまうため、境界も別に見ます。

基準の2本と点の居場所

三角形OABを考え、ベクトルOAを a、ベクトルOBを b とします。O、A、Bは一直線上にないので、a と b は平行ではなく、どちらも零ベクトルではありません。このとき a と b は一次独立です。ここでの意味は、x a + y b が零ベクトルになる実数 x、y は、ともに0の場合に限られるということです。

その理由を図で考えます。もし x が0でなければ、x a = -y b を x で割れて、a が b の実数倍になります。これは平行でないという条件に反します。したがって x は0で、残った y b も零ベクトルですから y も0です。逆に、平行な2本ではこの性質を使えません。

図1のように、点Pを OP = s a + t b と表します。図では s = 3/10、t = 2/5 です。a 方向に3/10、b 方向に2/5進んだ点で、s と t はともに正、和は7/10なのでPは三角形の内部にあります。図の線分は移動を表し、a と b が直角でなければならないという意味ではありません。

一般に s > 0、t > 0、s + t < 1 なら内部です。s = 0 なら直線OB上、t = 0 なら直線OA上、s + t = 1 なら直線AB上です。各係数が0以上で和が1以下なら、頂点と辺を含む三角形の範囲に入ります。たとえば s と t がともに正でも、和が1を超える点は辺ABの外側です。正であることと和の条件を分けて確認します。

独立な a、b に対して x a + y b = u a + v b が成り立つなら、移項して (x − u) a + (y − v) b = 0 です。独立性から x − u = 0、y − v = 0 と言えるため、x = u、y = v になります。文字の形が似ているからではなく、この性質が係数比較の根拠です。

基本例題：2本の線の交点

三角形OABで OA = a、OB = b とします。点Mは辺OAを OM:MA = 1:2 に内分し、点Nは辺OBを ON:NB = 1:1 に内分します。線分ANと線分BMの交点をPとするとき、OPを a、b で表し、Pが三角形OABの内部にあることを示してください。係数は既約分数で答えます。

図2ではMとNがそれぞれの辺の途中にあり、ANとBMがPで交わります。まず、OMはOA全体の1/3、ONはOB全体の1/2です。したがって、OM = (1/3)a、ON = (1/2)b です。比の前の数をそのまま係数にせず、全体を何等分したかで割ります。

Pが直線AN上にあることから、実数 u を用いて AP = u AN と置きます。AN = ON − OA = (1/2)b − a なので、

OP = OA + AP

= a + u((1/2)b − a)

= (1 − u)a + (u/2)b

です。最初の式ではOからAへ進んでからAからPへ進みました。展開後の a の係数が 1 − u になるのは、AからNに向かうときに a の向きと逆へ進むためです。

同様に、Pが直線BM上にあることから BP = v BM と置きます。BM = OM − OB = (1/3)a − b ですから、

OP = OB + BP

= b + v((1/3)a − b)

= (v/3)a + (1 − v)b

となります。同じ OP を表す2式を等しくします。三角形の2辺 a、b は独立なので、係数を比べて

1 − u = v/3、u/2 = 1 − v

を得ます。2本目から v = 1 − u/2 です。これを1本目へ代入すると、

1 − u = 1/3 − u/6

6 − 6u = 2 − u

4 = 5u

u = 4/5、v = 3/5

です。よって

OP = (1/5)a + (2/5)b

となります。両方の係数は正で、その和は3/5 < 1ですから、Pは三角形の内部にあります。また u = 4/5、v = 3/5 はともに0と1の間なので、求めた点は直線の延長ではなく、指定された2本の線分上にあります。

答えを元の条件へ戻すと、AP = (4/5)AN、BP = (3/5)BM です。AからNへの式では a の係数が1/5、b の係数が2/5となり、BからMへの式でも同じ係数になります。内分点の位置と両方の線分上にあることをそれぞれ確かめれば、連立方程式の計算だけでなく、立式も点検できます。

発展例題：一直線の条件を逆に使う

三角形OABで OA = a、OB = b とします。辺ABを AC:CB = 2:3 に内分する点をCとし、点Dを OD = (1/5)a + (2/15)b で定めます。O、D、Cが一直線上にあることを示し、OD:DCを整数の比で答えてください。

まず C の位置を、AからBへ向かう式で表します。AC = (2/5)AB、AB = b − a ですから、

OC = a + (2/5)(b − a)

= (3/5)a + (2/5)b

です。一方、Dの式を3倍すると

3OD = (3/5)a + (2/5)b = OC

となります。したがって OD = (1/3)OC です。DはOからCへ向かうベクトルの1/3の位置にあるので、3点は一直線上にあります。さらに係数1/3は0と1の間なのでDは線分OCの内部にあり、OD:DC = 1:2 です。

ここでは、比が求められるだけでなく、DがOとCの間にある理由を示すことが必要です。もし倍率が負なら、一直線上にはあってもOからCとは反対側です。倍率が1より大きければCを越えます。倍率の符号と大きさを見てから、線分の内分か延長上かを判断します。

検算として、OCの1/3は (1/5)a + (2/15)b となり、問題のDの条件へ戻ります。さらにCの係数の和は1、AとBの係数の比は3:2です。これは AC:CB = 2:3 という内分比に対応します。

係数を比べる前に直す誤答

ある点Oから同じ向きに伸びる a、b が b = 2a を満たすとします。2a = b だから、これを 2a + 0b = 0a + 1b と書けます。ここで係数を比べて「2 = 0、0 = 1」とするのは誤りです。等式は正しいのに、得られた数の等式は成り立ちません。

図3のように b は a の2倍で、2本は独立ではありません。2a + 0b と 0a + b は、どちらも同じ矢印を表します。原因は、係数比較に必要な独立性を確かめず、文字が2種類あることを根拠にした点です。

修正するには、まず b を 2a に置き換えます。一般に x a + y b = u a + v b は (x + 2y)a = (u + 2v)a となります。a は零ベクトルではないので x + 2y = u + 2v は言えますが、x = u、y = v までは言えません。未知数をそれぞれ決めたいなら、別の独立な条件が必要です。

図形で同様の誤りを避けるには、三角形の2辺を選んだか、問題文から平行でないと確認できるかを先に書きます。点が一直線上にあることを証明する問題で、証明前からその3点が一直線上にないと決めることもできません。基準として使う関係と、これから証明する関係を分けておきます。

式が示す範囲を取り違えないために

交点を求める式では、実数の文字を置いただけでは直線上の点を表しています。線分上にあることまで求められたら、その文字が0以上1以下であることを確かめます。たとえば AP = u AN で u = 0 ならPはA、u = 1ならPはNです。u < 0 ならAからNとは反対側、u > 1 ならNを越えた側です。直線の交点が出ても、指定された線分どうしが交わるとは限りません。

一直線の証明では、向きと始点の組み合わせにも注意します。PQとPRが実数倍なら、Pを共通の始点として3点の共線を示せます。一方、PQとRPは始点が違いますが、RP = -PR と直してから比較できます。逆向きの矢印を負にする操作を省くと、倍率の符号を誤り、内分と外側の区別まで崩れます。

内分比を使うときも、点のそばの係数がその点から測った比の前の数になるとは限りません。たとえば ABを AC:CB = m:n に内分するとき、OC = (n/(m + n))OA + (m/(m + n))OB です。Aに近い点ほどOAの係数が大きくなります。Aから出発して ABの m/(m + n) だけ進む式を先に作れば、この対応を丸暗記せずに導けます。

練習：式と図を行き来する

次の3問はそれぞれ独立した問題です。比は整数の比、ベクトルの係数は既約分数で答えてください。解答を見る前に、図を描いて使う2本が独立か確かめます。

1. 三角形OABで OA = a、OB = b とします。辺AB上の点Eは AE:EB = 3:1 を満たします。OEを a、b で表してください。
2. 三角形OABで OA = a、OB = b とします。点Fは OF = (2/9)a + (1/9)b を満たし、点Gは OG = (2/3)a + (1/3)b を満たします。O、F、Gが一直線上にあることを示し、OF:FGを求めてください。
3. 三角形OABで OA = a、OB = b とします。辺OA上の点Hは OH:HA = 1:1、辺OB上の点Kは OK:KB = 1:2 です。線分AKと線分BHの交点をQとするとき、OQを a、b で表し、Qが三角形の内部にあることを示してください。

練習の答えと道筋

1. AEはABの3/4です。AB = b − a に注意すると、

OE = a + (3/4)(b − a) = (1/4)a + (3/4)b

です。係数の和は1で、どちらも正なのでEは辺AB上にあります。Aからの移動を戻して見ると、OE − OA = (3/4)(b − a) です。残りの EB はABの1/4であり、AE:EB = 3:1 に一致します。

2. OG の1/3を計算すると (2/9)a + (1/9)b で、OFと一致します。したがって OF = (1/3)OG であり、O、F、Gは一直線上です。倍率が0と1の間なのでFはOとGの間にあり、OF:FG = 1:2 です。逆にこの比から OF = (1/3)OG を作れば、与えられたFの係数に戻れます。比を出す際には、OG全体の3等分のうち残りが2つ分であることも確認します。

3. OH = (1/2)a、OK = (1/3)b です。Qが直線AK上にあるので、AQ = p AK と置くと

OQ = (1 − p)a + (p/3)b

です。Qが直線BH上にあることから BQ = q BH と置くと

OQ = (q/2)a + (1 − q)b

とも表せます。a、b は独立なので 1 − p = q/2、p/3 = 1 − q です。後式から q = 1 − p/3 として前式に代入すると、

1 − p = 1/2 − p/6

1/2 = (5/6)p

p = 3/5、q = 4/5

です。よって OQ = (2/5)a + (1/5)b です。係数はともに正、和は3/5 < 1なのでQは内部です。p、q はともに0と1の間にあり、Qは2本の線分上にあります。元の2式に代入するとどちらも (2/5)a + (1/5)b となり、交点の条件を満たします。

見直しのための4行

基準の2本が平行でないと確かめてから係数を比べます。
交点はそれぞれの直線から同じ位置ベクトルで表します。
共線は始点をそろえた2本の実数倍で示します。
内部か辺上かは係数の符号と和の等号を調べます。

手が止まった場所を見つける

内分点の式が出ないときは、辺全体を何等分したうちの何個分かを図に書きます。交点で止まるときは、同じ点を2つの道順で表せているか、始点から終点へ向かう矢印の引き算が合っているかを調べます。

個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、係数比較の直前の2式を見ます。使った2本が平行なら、同じベクトルを別の係数で表す例を作り、どこで推論が崩れるかをたどります。平行でなければ、移項して独立性から係数が0になるところまで説明できるかを確認します。根拠を添えた係数比較が、図形の位置関係を証明へつなぎます。