高校数学I 余角の三角比—二つの鋭角を見比べて正弦と余弦の対応を説明する｜武蔵野個別指導塾

直角三角形の辺を二つの角から見直し、正弦と余弦の交換や正接の逆数を読み解きます。鍵となるのは余角の三角比です。

よくあるのは、高1の高校生が直角三角形で基準角を変えても、同じ辺を使って sin のまま計算する場面です。図を回したわけでも、辺の長さが変わったわけでもありません。それでも、どの辺を対辺と呼ぶかは基準角によって変わります。2つの鋭角を行き来するとき、何がそのままで何が入れ替わるかを、図と式で追ってみましょう。

どんな問いで角を取り替えるか

例えば、ある鋭角の cos が与えられ、残りの鋭角の sin を尋ねられることがあります。角が違うので別の長さを探したくなりますが、同じ直角三角形の辺に戻せば、2つの比が一致する理由が見えます。

また、一方の角の tan から他方の tan を求める問いでは、同じ値を写すのではなく分子と分母を交換します。さらに、与えられた角が鋭角であるかを調べることも必要です。以下では直角三角形の2つの鋭角を扱い、0度や90度そのものを鋭角として代入しません。学習範囲は、数学Iの図形と計量に含まれる三角比とその相互関係です。

同じ3辺を2つの角から見る

直角三角形 ABC で、角 C を90度、角 A を θ とします。三角形の内角の和は180度なので、残る角 B は 90度 − θ です。2つの角の和が90度であるとき、一方を他方の余角と呼びます。三角形がつぶれないため、θ は 0度より大きく90度より小さい角です。この範囲なら余角も鋭角です。

図1のように、角 A に注目すると BC が対辺、AC が隣辺です。角 B に注目すると、AC が対辺、BC が隣辺に変わります。直角に向かい合う AB はどちらから見ても斜辺です。辺そのものの位置は変わらず、基準角に対する名前が変わる点が出発点です。

図1の辺を AC = b、BC = a、AB = c と置きます。3辺の長さは正です。直角三角形の定義から、角 A について sin θ = a/c、cos θ = b/c、tan θ = a/b です。角 B では対辺と隣辺が逆なので、sin(90度 − θ) = b/c、cos(90度 − θ) = a/c、tan(90度 − θ) = b/a となります。

したがって、次の3つが成り立ちます。最後の式は、a と b が正なので逆数を取れることも含めて読んでください。

sin(90度 - θ) = cos θ
cos(90度 - θ) = sin θ
tan(90度 - θ) = 1/tan θ

左辺の角を θ と置き直しても、右辺が余角の比になる対応は同じです。例えば sin θ = cos(90度 − θ) と書けます。式を左右どちらから読むかより、角が余角に変わったときに sin と cos が交換されることを確かめましょう。

tan では分母に隣辺が来ます。角を変えると隣辺がもう一方の辺になるので、分子と分母が交換されます。斜辺は tan に入らず、sin と cos の交換だけを眺めて tan もそのままと判断することはできません。なお θ が鋭角である条件があるため tan θ は正で、逆数の分母は0になりません。

角の表示を見たら、まず和が90度になる相手を探します。例えば θ が鋭角なら、90度 − θ も0度より大きく90度より小さいため、同じ直角三角形のもう一方の角として考えられます。これに対し、和が90度という条件のない2つの角に、上の交換をそのまま当てはめることはできません。式の形が似ていても、角の関係を先に調べます。

基本例題：辺の名前から比を拾う

直角三角形 ABC の角 C は90度、AC = 8、BC = 15、AB = 17 です。角 A を θ とします。角 B の sin、cos、tan をそれぞれ分数で求め、角 A の比との対応を説明してください。

図2のように、角 B から見て向かい側は AC、直角をはさみ角 B に接する辺は BC です。まず図の辺が直角三角形の条件に合うかを確認します。

8² + 15² = 64 + 225
             = 289
             = 17²

三平方の定理の逆から、この3辺で直角をはさむ配置は整合します。図2で斜辺は AB ですから、角 B の各比は次のようになります。

sin B = AC/AB = 8/17
cos B = BC/AB = 15/17
tan B = AC/BC = 8/15

一方、角 A を基準にすると対辺は BC、隣辺は AC です。したがって sin A = 15/17、cos A = 8/17、tan A = 15/8 です。角 A と角 B の和は90度なので、sin B は cos A、cos B は sin A に一致し、tan B は tan A の逆数です。

答えを図へ戻すと、sin B の分子8は角 B の向かいの辺、cos B の分子15は角 B の隣辺です。斜辺17を共通の分母にしても、分子の位置を入れ替えなければ角 B の比にはなりません。辺の比を正しく書けた後に公式と照合すると、単なる暗記よりも誤りを見つけやすくなります。

標準例題：数値だけから余角を読む

θ は鋭角で、sin θ = 5/13 です。cos(90度 − θ) と sin(90度 − θ)、tan(90度 − θ) を分数で求めてください。

sin θ は対辺/斜辺です。相似な直角三角形で対辺を5、斜辺を13と置けます。残る隣辺を x とすると、長さは正なので三平方の定理から次のようになります。

x² + 5² = 13²
x² = 169 - 25
x² = 144
x = 12

負の値は長さとして採用しません。角 θ に対する cos と tan を出してから、余角の対応を使います。

cos θ = 12/13
tan θ = 5/12
cos(90度 - θ) = sin θ = 5/13
sin(90度 - θ) = cos θ = 12/13
tan(90度 - θ) = 1/(5/12) = 12/5

最後に余角を基準にした直角三角形へ戻します。対辺は12、隣辺は5、斜辺は13です。設問の順に並べると、余角のcosは5/13、sinは12/13、tanは12/5となり、上の計算と一致します。与えられた sin θ も、元の対辺5を斜辺13で割れば 5/13 に戻ります。

ここで θ が鋭角という条件を落とさないでください。隣辺を正の長さとして取り、余角も直角三角形の鋭角とみなせるからです。数だけを二乗して答えを選ぶと、もとの図でどの符号を取るかが見えなくなります。

発展例題：余角の条件を式に組み込む

α、β は鋭角で、α + β = 90度 です。tan α = 2/3 のとき、(sin α + sin β)/(cos α + cos β) と tan α・tan β を求めてください。答えはそれぞれ分数または整数で表します。

まず α と β は余角です。したがって sin β = cos α、cos β = sin α、tan β = 1/tan α です。いずれの角も鋭角なので sin α と cos α は正です。特に分母の cos α + cos β は正で、割り算ができます。

(sin α + sin β)/(cos α + cos β)
= (sin α + cos α)/(cos α + sin α)
= 1

tan β = 1/(2/3)
       = 3/2
tan α・tan β = (2/3)・(3/2)
             = 1

この答えを辺に戻して確かめます。α の対辺を2、隣辺を3と置くと、斜辺は √13 です。余角 β の対辺は3、隣辺は2なので、sin α = 2/√13、sin β = 3/√13 です。cos α = 3/√13、cos β = 2/√13 でもあるため、和を割った値は1になります。元の tan α も 2/3 に戻ります。

和の比が1になる理由は、分子の各項をそれぞれ分母の項に対応させることです。和の中の一項だけを勝手に約分してはいけません。また tan の積が1でも、それは両角が鋭角で余角だという条件から導いた結果です。与えられていない角の関係を最初から決めてはいけません。

間違いの形から直す

図3の直角三角形で、角 P を α、角 Q を β とします。PR = 7、QR = 24、PQ = 25 です。α の sin は 24/25 ですが、β の sin も 24/25 とした答案を考えます。基準角が P から Q に移っているのに、向かいの辺を調べ直していません。

図3では β の向かいは PR なので、正しくは sin β = 7/25 です。角 P の隣辺 PR を斜辺で割った cos α も 7/25 ですから、余角の対応と一致します。24/25 は cos β であり、値そのものが間違っているのではなく、角 Q に対する比の名前が違います。

図に戻る余地がないほど計算を進めたときは、基準角に丸を付け、そこに接しない辺を対辺として指さしてください。次に斜辺を直角の向かいから探し、残った辺を隣辺とします。比の名前を決めるのはその後です。辺の長さだけで判断すると、角を変えたことが式に反映されません。

tan の誤りも同じ方法で直せます。tan α = 24/7 なら tan β = 7/24 です。逆数を取るときに負号は付きません。2つの辺の長さがともに正であることを確認してから、分子と分母を交換します。

練習：先に5問に取り組む

1. θ は鋭角で、cos θ = 4/9 です。sin(90度 − θ) を分数で求めてください。
2. φ は鋭角で、tan φ = 7/11 です。tan(90度 − φ) を分数で求めてください。
3. 直角三角形 DEF の角 F は90度、DF = 9、EF = 40、DE = 41 です。角 E の sin と、角 D の cos をそれぞれ分数で求めてください。
4. γ は鋭角で、cos γ = 8/17 です。sin(90度 − γ) と cos(90度 − γ) を分数で求めてください。
5. 鋭角 u、v は u + v = 90度 を満たし、tan u = 4 です。(sin u + cos v)/(cos u + sin v) を整数で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 余角の正弦はもとの角の余弦です。

sin(90度 - θ) = cos θ
                = 4/9

θ の隣辺を4、斜辺を9と置くと、余角の対辺は4です。その比は 4/9 で、条件の cos θ にも戻ります。

2. 鋭角の tan は正なので、分母を0にせず逆数を取れます。

tan(90度 - φ) = 1/tan φ
                = 1/(7/11)
                = 11/7

φ の対辺7、隣辺11を余角から見ると、対辺11、隣辺7になります。余角の比は 11/7 で、逆に φ から見れば 7/11 に戻ります。

3. まず 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² なので、与えられた辺は直角の条件に合います。角 E の対辺は DF、角 D の隣辺も DF です。斜辺は共通の DE です。

sin E = DF/DE = 9/41
cos D = DF/DE = 9/41

2つの角の和は90度であり、同じ辺 DF と DE に戻るので対応も確認できます。

4. γ の隣辺を8、斜辺を17と置き、対辺を y とします。三平方の定理と y > 0 より、

y² + 8² = 17²
y² = 289 - 64
y² = 225
y = 15
sin γ = 15/17
sin(90度 - γ) = cos γ = 8/17
cos(90度 - γ) = sin γ = 15/17

余角の対辺は8、隣辺は15、斜辺は17です。元の γ の隣辺/斜辺も 8/17 に戻ります。

5. 余角の関係から cos v = sin u、sin v = cos u です。u は鋭角なので sin u と cos u は正です。

(sin u + cos v)/(cos u + sin v)
= (sin u + sin u)/(cos u + cos u)
= (2 sin u)/(2 cos u)
= tan u
= 4

u の対辺を4、隣辺を1と置くと、v の対辺は1、隣辺は4です。両方の斜辺は √17 なので、元の分子は 8/√17、分母は 2/√17 です。その比は4で、条件の tan u も 4/1 に戻ります。

覚えておく対応

余角へ移ると、斜辺はそのまま、対辺と隣辺は交換されます。 sin と cos は交換され、tan は逆数になります。 この説明は2つの角がともに鋭角であることを使います。

どこで止まったかを確かめる

答えが逆になったら、式を消す前に基準角を書き込み、対辺と隣辺の印を別の色や記号で付け直します。sin と cos を交換できていても tan の逆数を忘れた場合は、tan の分子と分母を長さで書き出すと、どこで入れ替わるかが見えます。

個別指導で確かめるなら、最初の式だけでなく、角を変えた後の図の辺と最後の分数を並べます。正しい答えに偶然たどり着いていても、基準角と分子が対応していなければ別の問題で崩れます。2つの角から同じ辺を読み直すことが、余角の三角比の根拠です。