高校数学I 半円による三角比—座標の比へ見方を変えて鈍角の値の符号を決める｜武蔵野個別指導塾

半円上の横座標と縦座標を半径で割り、鈍角の余弦が負となる理由を確かめます。正の長さと負の座標を分けると、正接の符号も判断できます。

よくあるのは、高1の高校生が鈍角の図に垂線を引き、横の長さをそのまま cos の値として正にする場面です。線分の長さは負になりませんが、原点から左へ進んだ点の x 座標は負です。半円を使うと、長さと向きを分けて考えられます。ここでは原点を中心とする上半円で三角比を定義し、半径を変えても比が変わらない理由までたどります。

数学Iの図形と計量では、鋭角から鈍角へ三角比を広げます。一般角は扱いません。

どこで座標が必要になるか

たとえば、斜めの線が正の x 軸となす角が鈍角のとき、直角三角形の辺の長さを比べるだけでは左右の違いが残りません。垂線の足が原点の左側にあることを、負の x 座標で記録します。角が鋭角のときに慣れた比と、鈍角のときの符号を同じ手順で扱えるかが問いになります。

別の問い方では、半円上の点の座標と半径から sin、cos、tan を求めます。さらに、与えられた点が本当にその半円上にあるか、tan の分母が 0 でないかを先に確かめる問題も考えられます。計算を始める前の条件の確認が、数値を出せない場合を見分ける鍵です。

上半円の点を読む

座標平面の原点を O とし、半径 r の上半円を考えます。r は正とします。正の x 軸から上側を通って角 θ を測り、半直線と半円の交点を P(x, y) とします。ここでは 0° < θ < 180° を中心に考えます。点 P は上半円にあるので y > 0 です。また OP = r です。

図1のように、鈍角なら点 P は y 軸の左にあります。垂線の足 H の座標は (x, 0) で、線分 OH の長さは -x です。x は負なので -x は正です。ここを取り違えると、長さの正しさから cos の符号まで正だと誤って結論します。

図1では OP が半径、PH が高さです。点の座標を使い、次のように定めます。

sin θ = y/r
cos θ = x/r
cos θ ≠ 0 のとき tan θ = y/x

r は正なので sin θ は正です。鋭角では x > 0、鈍角では x < 0 ですから、cos θ と tan θ は鋭角で正、鈍角で負です。θ が 90° のときは x = 0 となり、y/x は分母が 0 です。0 で割ることはできないので、この定義から tan 90° の値は定まりません。

鋭角で P から x 軸に垂線を引くと、直角三角形の斜辺は r、対辺は y、隣辺は x です。したがって y/r、x/r、y/x は、それぞれ直角三角形で習う対辺/斜辺、隣辺/斜辺、対辺/隣辺と一致します。新しい定義が以前の値を変えるのではなく、座標を使って鈍角まで拡張しています。

半径が 1 の場合は P の座標が (cos θ, sin θ) です。一方、半径が 1 でなくても割れば同じ比を得ます。同じ角の半直線上で半径を正の数 k 倍にすると、対応する座標もそれぞれ k 倍です。鋭角なら直角三角形の相似から、鈍角なら左側の直角三角形の相似と負の符号から、このことが言えます。よって ky/(kr) = y/r、kx/(kr) = x/r、kx ≠ 0 なら ky/(kx) = y/x です。図の大きさを変えても角に対応する比は変わりません。

基本例題：点から3つの比へ

原点中心、半径 5 の上半円上に P(-3, 4) があります。正の x 軸から OP まで上側に測った角を θ とします。sin θ、cos θ、tan θ を分数で求め、点が条件を満たすことも確かめてください。

図2のように P は左上にあります。まず半径を確かめてから、符号を含む座標を式に入れます。

図2の垂線の足は H(-3, 0) です。OH = 3、PH = 4 なので、三平方の定理から次が成り立ちます。

OP² = 3² + 4²
= 9 + 16
= 25
OP = 5

OP は正なので 5 です。y 座標も正であり、P は指定された上半円上にあります。定義に代入すると、

sin θ = 4/5
cos θ = (-3)/5
= -3/5
tan θ = 4/(-3)
= -4/3

答えは sin θ = 4/5、cos θ = -3/5、tan θ = -4/3 です。cos の分子は OH の長さ 3 ではなく x 座標 -3 です。tan の分母も同じ座標なので負です。

逆に半径 5 に cos θ と sin θ を掛けると、x = 5・(-3/5) = -3、y = 5・(4/5) = 4 となり、元の点に戻ります。tan も y/x = 4/(-3) = -4/3 で一致します。θ は左上にあるため鈍角で、求めた符号も位置と一致します。

標準例題：半径が違う2点

同じ原点から出る鈍角の半直線上に、P(-8, 6) と Q(-12, 9) があります。それぞれを通る原点中心の上半円を考えます。各半径と、この角の sin、cos、tan を分数で求め、2点から得た値を比較してください。

P の座標から半径を求めます。

OP² = (-8)² + 6²
= 64 + 36
= 100
OP = 10

同様に Q について、

OQ² = (-12)² + 9²
= 144 + 81
= 225
OQ = 15

どちらの y 座標も正です。定義により P からは次を得ます。

sin θ = 6/10 = 3/5
cos θ = -8/10 = -4/5
tan θ = 6/(-8) = -3/4

Q からも計算します。

sin θ = 9/15 = 3/5
cos θ = -12/15 = -4/5
tan θ = 9/(-12) = -3/4

したがって、半径は 10 と 15 ですが、3つの比はそれぞれ一致します。Q の座標は P の座標の 3/2 倍で、半径も 3/2 倍です。戻して確かめると、半径 10 と比から (-8, 6)、半径 15 と比から (-12, 9) を得ます。どちらも左上にあり、鈍角という条件にも合います。

もし Q の y 座標が負なら、同じ上半円の点としては扱えません。また Q が (-12, 8) なら座標の倍率がそろわず、この半直線上にあるという条件と両立しません。計算した比が異なるときは、約分をやり直す前に点と角の条件も見直します。

発展例題：座標を復元して条件を調べる

原点中心、半径 13 の上半円上の点 P(x, y) が鈍角 θ を定め、y = 5 です。x と3つの三角比を分数または整数で求めてください。さらに、同じ条件で y = 14 と指定された場合に点が存在するか調べてください。

半径と座標は三平方の定理を満たします。まず y = 5 を入れます。

x² + y² = 13²
x² + 25 = 169
x² = 144
x = 12 または x = -12

θ は鈍角なので P は左側にあり、x < 0 です。よって x = -12 を選びます。正の 12 も円周上の点を与えますが、右側にあるため鈍角の条件を満たしません。

sin θ = 5/13
cos θ = -12/13
tan θ = 5/(-12)
= -5/12

答えは x = -12、sin θ = 5/13、cos θ = -12/13、tan θ = -5/12 です。戻すと (-12)² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² です。y は正、x は負なので、上半円と鈍角の両方にも合います。

次に y = 14 の場合を調べます。

x² + 14² = 13²
x² + 196 = 169
x² = -27

実数の二乗は負にならないため、この点は存在しません。高さが半径より大きいという図形上の理由でも同じ結論です。無理に平方根を取ったり、x = 0 と置いたりして比を出すことはできません。点の存在を確かめる作業は、値を計算する前提を守るために必要です。

長さを座標に置き換えるときの誤り

基本例題で「OH = 3 だから cos θ = 3/5」とする答えを考えます。OH の長さ自体は正しくても、定義の分子は OH ではなく P の x 座標です。図3のように原点より左へ 3 進むので、その座標は -3 です。

図3の矢印は原点から足への向きを示します。正しい式は cos θ = -3/5 です。もし正の 3/5 を使えば、半径 5 から復元する x 座標は 3 となり、点は右上に移って鈍角の条件に反します。答えを座標に戻すと誤りを発見できます。

もう一つの誤りは、x = 0 のとき tan θ = y/x に 0 を入れ、商を 0 とすることです。分子が 0 の場合と分母が 0 の場合は違います。分母が 0 では割り算が定義されないため、値を求める段階へ進めません。式を書く前に分母を確認します。

練習：点の位置から考える

次の点は特に断らない限り、原点中心の上半円上にあり、正の x 軸から上側に測った角を θ とします。答えは整数または分数で表してください。

1. 半径 17 の半円上に P(8, 15) があります。3つの三角比を求め、角が鋭角か鈍角か答えてください。
2. 半径 25 の半円上に Q(-7, 24) があります。3つの三角比を求め、角が鋭角か鈍角か答えてください。
3. 半径 5 の上半円上に R(x, 3) があり、θ は鈍角です。x と3つの三角比を求めてください。
4. 半径 10 の上半円上に S(-6, 8) があり、同じ半直線上に T(-9, 12) があります。T を通る半円の半径と、両点から求めた cos θ を答えてください。
5. 半径 10 の上半円について、U(-8, 7) がその円周上にあるか調べてください。また V(0, 10) について tan θ が定義されるか答えてください。

練習の解答と確かめ

1. P は右上にあるので θ は鋭角です。まず半径を確認します。

8² + 15² = 64 + 225
= 289
= 17²
sin θ = 15/17
cos θ = 8/17
tan θ = 15/8

半径 17 に cos θ、sin θ を掛けると、それぞれ 8、15 となり、P に戻ります。tan も 15/8 で元の座標の比です。

2. Q は左上なので θ は鈍角です。点と半径を確認して代入します。

(-7)² + 24² = 49 + 576
= 625
= 25²
sin θ = 24/25
cos θ = -7/25
tan θ = 24/(-7)
= -24/7

半径 25 を掛けて座標を復元すると (-7, 24) です。負の x と正の y は鈍角の位置に合い、tan も元の y/x と一致します。

3. 半径と高さから、

x² + 3² = 5²
x² = 25 - 9
= 16
x = 4 または -4

鈍角では x < 0 なので x = -4 です。したがって、

sin θ = 3/5
cos θ = -4/5
tan θ = 3/(-4)
= -3/4

(-4)² + 3² = 25 で半径 5 に戻り、左上という位置も条件を満たします。x = 4 は右上なので除きます。

4. T の半径を求めます。

OT² = (-9)² + 12²
= 81 + 144
= 225
OT = 15

S についても (-6)² + 8² = 100 = 10² です。cos θ を比べます。

S から cos θ = -6/10 = -3/5
T から cos θ = -9/15 = -3/5

T の座標は S の 3/2 倍で、半径も 10 の 3/2 倍です。比から横座標を戻すと 10・(-3/5) = -6、15・(-3/5) = -9 となり、両点に一致します。

5. U について半径の条件を調べます。

(-8)² + 7² = 64 + 49
= 113
10² = 100

113 と 100 は等しくないので U は指定された円周上にありません。y が正でも円周上にあるとは限りません。したがって U の座標を半径 10 で割って、この半円上の点からの三角比として扱うことはできません。

V は 0² + 10² = 10² を満たし、上半円上にあります。しかし x = 0 なので tan θ = y/x の分母は 0 です。tan θ は定義されません。V の角は 90° であり、左側か右側かで符号を選ぶ段階にも進めません。

手元に残すこと

• 上半円の点 P(x, y) と半径 r > 0 から sin θ = y/r、cos θ = x/r です。
• x ≠ 0 なら tan θ = y/x です。
• 鈍角では x < 0、y > 0 なので cos と tan は負です。
• 長さと座標の符号を区別し、点と半径の条件を確認します。

式が止まった場所を探す

正負が合わないときは、まず点を座標平面に置き、原点から右か左かを指でたどります。次に垂線の足までの長さと x 座標を別々に書きます。ここで両者を同じ正の数にしていれば、鈍角の cos を直す場所が見つかります。

個別指導で式を確かめるときも、答えの符号だけでなく、半径で割る前の座標、分母が 0 でないこと、求めた比から元の点へ戻ることを順に見ます。半円上の位置を座標で表せば、長さの正しさと三角比の符号を両立できます。