高校数学B 確率変数の一次変換—負の係数を含む変換で平均と分散を求め直す｜武蔵野個別指導塾

定数を足しても分散が変わらない理由と、負の係数で標準偏差に絶対値を使う理由を偏差の式から追えます。

よくあるのは、高2が測定値の換算で定数を分散にも足す場面です。目盛りの基準を変えれば平均は動きますが、値どうしの間隔はどうなるでしょうか。さらに換算に負の係数を使うと大小は逆になります。平均の移動と散らばりの変化を分けて考えれば、符号や単位を見失わずに計算できます。

問われる型を見分ける

第一の型は、X の期待値と分散が与えられ、Y = aX + b の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。a は拡大や縮小、b は基準の移動を表します。平均には両方が関係しますが、平均からの偏差には b が残りません。標準偏差には a の絶対値が現れます。

第二の型は、換算後の平均や分散から係数を逆算する問題です。分散からは a² が決まりますが、通常は a の符号までは決まりません。増加する換算か、減少する換算かという条件を読み、平均の式に戻して b を求めます。条件が不足したまま符号を決めると、別の解を落とします。

第三の型は、換算が可能かどうかの判定です。分散は負にならず、a = 0 なら変換後の値は一定です。目標とする平均と分散が与えられたときも、元の分散が0かどうかで場合を分けます。式に数値を代入する前に、何が決まっていて何を求めるかを整理しましょう。

平均の移動と偏差の伸び

確率変数 X の期待値を m、分散を v、標準偏差を σ とします。期待値は、X の各値にその確率をかけて加えた値です。分散は平均からの偏差の二乗の期待値であり、標準偏差は分散の非負の平方根です。ここでは期待値と分散が存在する確率変数を考えます。

Y = aX + b とすると、定数 a、b について次が成り立ちます。

E(Y) = aE(X) + b = am + b
V(Y) = a²V(X) = a²v
標準偏差(Y) = |a|σ

期待値の式では、各値に共通して加わる b の重みの合計が、確率の総和1により b になります。独立性は必要ありません。扱っているのは1つの確率変数の変換です。

図1のように、各値と平均を同じ幅 b だけ移すと、それぞれの平均からの距離は変わりません。a をかけると偏差は a 倍され、二乗した偏差は a² 倍です。負の a では方向が反転しても、距離は負にならないので絶対値を使います。

図1の式を定義から確かめます。Y の平均は am + b なので、Y の偏差は次のようになります。

Y - E(Y) = (aX + b) - (am + b)
         = a(X - m)

両辺を二乗して期待値をとります。

V(Y) = E((Y - E(Y))²)
     = E(a²(X - m)²)
     = a²E((X - m)²)
     = a²V(X)

a² は定数なので期待値の外に出せます。平方根をとると √(a²σ²) = |a|σ です。σ は非負なので、この式は a が負でも成り立ちます。

a = 0 なら Y = b です。すべての結果で同じ値となり、平均は b、分散と標準偏差は0です。また、元の分散が0なら X は確率1で平均と一致し、どの定数 a、b を使っても変換後の分散は0です。どちらも公式に代入して確かめられます。

値の対応から公式を点検する

X が値 x₁、x₂、…をそれぞれ確率 p₁、p₂、…でとるとします。変換後の値は ax₁ + b、ax₂ + b、…で、対応する確率は変わりません。a が負なら大小の順序は逆転しますが、どの結果にどの確率が付くかは変わらないことに注意します。a = 0 なら複数の結果が同じ値 b に集まり、その確率の和は1です。

この対応を使うと、平均の式は各値の重み付きの和から直接確かめられます。分散についても、変換後の各値から変換後の平均を引くと、元の偏差の a 倍になります。それぞれを二乗して同じ確率で重み付けすれば a² 倍です。これは公式を暗記するためだけでなく、表から直接計算した結果を照合する方法にもなります。

例えば正の係数で値が3倍になり、基準を後からずらす場合、元の平均から2離れた値は新しい平均から6離れます。一方、基準の移動を先に足して分散を変えると、値と平均が同じだけ動くという条件に合いません。係数の二乗と定数項の役割を、偏差の式に戻して判断します。

基本例題：基準を移して向きを逆にする

測定値 X の期待値が4、分散が9であるとします。換算値を Y = -2X + 15 とするとき、Y の期待値、分散、標準偏差を求めてください。値は正確な整数で答えます。

係数は a = -2、定数項は b = 15 です。X の標準偏差は分散9の非負の平方根なので3です。期待値は係数と定数項の両方を使います。

E(Y) = -2E(X) + 15
     = -2・4 + 15
     = 7

分散は定数項を加えず、係数の二乗を使います。

V(Y) = (-2)²V(X)
     = 4・9
     = 36

したがって標準偏差は √36 = 6 です。|-2|・3 = 6 としても同じです。図2のように X の平均4は Y の平均7に移り、平均から3離れた値は変換後に6離れます。

図2では X = 7 が Y = 1 に移ります。X の平均より3大きい値が、Y の平均より6小さい値になっています。逆向きになっても距離は6です。逆に Y = 1 を X = (15 − Y)/2 に戻すと7となり、変換の向きも確認できます。

標準例題：条件から係数を決める

確率変数 U の期待値は5、分散は4です。V = aU + b の期待値を1、分散を36にしたいとします。U が大きいほど V も大きくなるとき、定数 a、b を整数で求めてください。

増加する一次変換なので a > 0 です。分散の条件を先に使います。

36 = a²・4
 a² = 9
 a = 3

最後の行は a > 0 によります。平均の条件に代入すると次のとおりです。

1 = 3・5 + b
b = -14

答えは a = 3、b = -14 です。元の条件へ戻すと、平均は 3・5 − 14 = 1、分散は 3²・4 = 36 です。符号条件がなければ a = -3、b = 16 も条件を満たします。分散の式だけから a = 3 と決めることはできません。

もし U が大きいほど V が小さいという条件なら、a = -3 を選びます。平均の条件から b = 16 です。2つの換算は平均と分散が同じでも、値の順序が逆です。分散は向きを記録しないため、順序の情報を問題文から拾う必要があります。

発展例題：一定値になる場合も含める

確率変数 T の期待値は2、分散は0です。W = cT + d の期待値を8、分散を25にする実数 c、d はあるでしょうか。また、分散の目標を0に変えた場合に可能な c、d の関係を求めてください。

まず元の分散が0であることを確認します。定数倍しても変換後の分散は次のとおりです。

V(W) = c²V(T)
     = c²・0
     = 0

よって分散25を実現する実数 c、d はありません。平均の条件を満たす係数を選んでも、一定値から散らばりは生まれないためです。分散の式を25 = c²・0 と書いた後、0で割って係数を求めることはできません。

目標の分散が0なら、分散の条件は任意の実数 c で満たされます。平均の条件を解きます。

8 = 2c + d
d = 8 - 2c

したがって c は任意の実数、d = 8 − 2c です。例えば c = 0、d = 8 とすると W = 8 で、平均8、分散0です。c = 1、d = 6 でも T は確率1で2なので W は確率1で8です。元の分散が正の場合は c = 0 で分散を0にできますが、元の分散が0の場合は目標が正なら不可能です。

誤答を偏差まで戻して直す

基本例題で「V(Y) = -2・9 + 15 = -3」とする誤答を考えます。平均の計算方法をそのまま分散に使ったことが原因です。しかも結果は負ですが、分散は偏差の二乗の期待値なので負にはなりません。負の答えが出た時点で計算を見直せます。

ただし、負でなければ正しいとは限りません。「V(Y) = 4・9 + 15 = 51」も誤りです。定数15は各値と平均の両方に加わり、偏差を作ると消えます。図3のように、変換後の偏差を先に書けば、残るのは係数 -2 です。

図3を式でたどると、Y − E(Y) = -2(X − 4) です。二乗して期待値をとるので分散は4倍の36になります。標準偏差を -2・3 = -6 とする誤答も、距離の代表値が負になっていることで見分けられます。正しくは |-2|・3 = 6 です。

分散を求めた後に標準偏差を求めるときは、分散の平方根をもう一度二乗しないようにします。期待値の単位と標準偏差の単位は元の量に対応し、分散の単位はその二乗に対応します。単位も式の取り違えを見つける手掛かりです。

練習問題

以下の値は各問題のために設定したものです。分数は約分し、根号は簡単にして答えてください。

1. 確率変数 A の期待値は3、分散は16です。B = A + 7 の期待値、分散、標準偏差を整数で求めてください。
2. 確率変数 C の期待値は-1、分散は5です。D = -3C + 2 の期待値、分散、標準偏差を求めてください。
3. 確率変数 P の期待値は6、分散は9です。Q = kP + h の期待値を4、分散を1とし、k < 0 とするとき、k、h を分数で求めてください。
4. 確率変数 R の期待値は7、分散は2です。S = tR + u の期待値を-3、分散を0とする実数 t、u を求めてください。
5. 確率変数 M は0を確率1/4、4を確率3/4でとります。N = -M + 6 の分布を求め、期待値と分散を整数で求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

係数は1、定数項は7です。平均には7を加え、分散には加えません。

E(B) = 1・3 + 7 = 10
V(B) = 1²・16 = 16
標準偏差(B) = √16 = 4

答えは順に10、16、4です。B から7を引くと元の A に戻り、平均10から7を引けば3、分散は16のままです。

2

係数が負なので平均と標準偏差で符号の扱いを分けます。

E(D) = -3・(-1) + 2 = 5
V(D) = (-3)²・5 = 45
標準偏差(D) = √45 = 3√5

答えは5、45、3√5です。逆変換 C = (2 − D)/3 に戻すと、平均は (2 − 5)/3 = -1、分散は45/9 = 5となります。

3

分散の条件と k < 0 から係数を決めます。

1 = 9k²
k² = 1/9
k = -1/3

平均の条件に代入します。

4 = (-1/3)・6 + h
4 = -2 + h
h = 6

答えは k = -1/3、h = 6 です。元に戻すと平均は -2 + 6 = 4、分散は (1/9)・9 = 1で、係数も負です。

4

分散の条件から t を決めます。

0 = 2t²
t² = 0
t = 0

平均の条件は -3 = 0・7 + u なので u = -3 です。答えは t = 0、u = -3 です。S は常に-3となるので、平均-3、分散0という条件に戻ります。

5

M = 0 のとき N = 6、M = 4 のとき N = 2 です。対応する確率は変わらないため、N は2を確率3/4、6を確率1/4でとります。確率の和は1です。

E(N) = 2・(3/4) + 6・(1/4)
     = 3
V(N) = (2 - 3)²・(3/4) + (6 - 3)²・(1/4)
     = 3

期待値と分散はともに3です。別に M の期待値は3、分散は 0²・(1/4) + 4²・(3/4) − 3² = 3 です。変換公式でも E(N) = -3 + 6 = 3、V(N) = (-1)²・3 = 3となり、分布からの計算と一致します。

覚えておくこと

平均は E(aX + b) = aE(X) + b です。 分散は V(aX + b) = a²V(X) です。 標準偏差は元の標準偏差の |a| 倍です。 分散0や a = 0 の場合も条件に戻して確かめます。

つまずきを見分ける

定数を分散に足した答案には、変換後の値と平均をそれぞれ書き、引き算で定数が消えるかを確かめます。負の標準偏差が出た答案には、平均からの距離として意味を尋ね、平方根と絶対値の関係を確認します。逆算で符号を1つに決めた答案には、正負の両方を元の条件に代入し、増減の条件があるかを見ます。

個別指導では、式を覚えたかに加え、a = 0 と元の分散が0の違いを説明できるかを確かめます。前者は変換が値を一定にし、後者は元の値が確率1で一定です。値と平均の差を追うことで、一次変換の符号と散らばりを区別できます。