高校数学B 等差数列の和の最大値—項の符号と隣り合う和の差から最大の位置を探す｜武蔵野個別指導塾

項の符号と0の項、有限範囲の端や平方完成の頂点を手がかりに調べるのは、等差数列の和の最大値です。

よくあるのは、高2の高校生が和を平方完成し、頂点の実数値をそのまま最大になる項数として答えてしまう場面です。項数は自然数ですから、例えば頂点が2つの整数の間なら、どちらの整数で和が大きいかを調べる必要があります。さらに、問題が許す項数には終わりがあるかもしれません。加える項の符号から和の増減を追えば、最大の位置と、同じ最大値を取る位置を見落としにくくなります。

最大になる項数を尋ねられたら

等差数列の初項から第n項までを加えた和をSₙとします。問題では、決められた範囲のnについて、Sₙの最大値と、それを与えるnを求めることがあります。最大値は和の値、nは項数です。2つを取り違えず、何を答えるか問題文で確認します。

別の問いでは「最大となるnが2つある」と示され、その理由を問われます。これは隣の和が同じになる場合を含むため、0の項を飛ばしてはいけません。また、文字を含む初項の条件を求める問いでは、指定された位置の前後で和がどう変わるかを不等式にします。どの問いでも、最初にnの範囲を書き、次に加える項が正か0か負かを調べます。

平方完成から考える場合もあります。頂点は実数全体で見た位置です。自然数の候補が離散的に並ぶことと、許された範囲の端があることを確認してから、実際に取れる候補を比べます。ここで扱うのは有限個の部分和の最大であり、微分を使う必要はありません。

加える1項が和を動かす

初項a、公差dの等差数列では、自然数nに対して一般項はaₙ = a + (n − 1)dです。各項から次の項へ移るたびにdが加わることを表しています。初項から第n項までの和は、項数がn個であることに注意すると、次のように書けます。

Sₙ = n(a + aₙ)/2
   = n{2a + (n - 1)d}/2

隣り合う和の差は、和の定義からわかります。nが2以上なら、SₙはSₙ₋₁にaₙを加えたものです。

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ + aₙ
Sₙ₋₁ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁
Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ

つまり第n項が正なら和は増え、0なら変わらず、負なら減ります。n = 1ではS₀を定義していなければ、この差をそのまま使えません。初めの値S₁ = a₁を別に確認します。便宜上S₀ = 0と定めればn = 1でも差を表せますが、問題がn = 0を許さないときはS₀を最大値の候補に含めません。

図1のように、正の項を足す間は和が増え、0の項を足しても和はそのまま、負の項を足すと和は減ります。減少する等差数列なら項の符号は正から0、負へと移るので、この順序から最大の位置を決められます。

図1では0の項の前後で同じ高さの和が2つあります。0が実際に項として現れない場合には、この同値は生じません。また、許された最後の項まで正であれば、符号の切り替わりが範囲の外にあっても、最後の和が最大です。

公差が負とは限りません。公差が0なら各項は同じ値で、その値が正なら和は増え、負なら減り、0ならどの和も0です。公差が正なら、項が負から正へ移ることはありますが、その切り替わりは和の谷を作ります。このときは有限範囲の両端を比較します。途中の和が端より大きくならない理由は、負の項を足す間は減り、正の項を足す間は増えるからです。0の項はその途中に同じ値を作っても、端の比較を変えません。

基本例題：正の項をどこまで足すか

初項19、公差-3の等差数列について、1以上10以下の自然数nに対するSₙの最大値と、そのときのnを整数で求めます。

まず一般項を作り、項が正となる範囲を調べます。

aₙ = 19 - 3(n - 1)
   = 22 - 3n
22 - 3n > 0
n < 22/3

nは自然数なので、第7項までが正です。境目を実際に代入します。

a₇ = 22 - 3・7 = 1
a₈ = 22 - 3・8 = -2

第2項から第7項までを加えるたびに和は増え、第8項以降は減ります。したがって、許された範囲ではn = 7で最大です。第1項も正ですが、S₀は候補にしないので、S₁から先の変化に着目します。

図2のように、加える第7項は正で、第8項は負です。矢印は隣の和への変化を表し、線で結んだ連続的な値を意味しません。

図2の値を和の公式でも確かめます。第7項は1で、初項から7個の和です。

S₇ = 7(19 + 1)/2
   = 7・20/2
   = 70
S₆ = 70 - 1 = 69
S₈ = 70 + (-2) = 68

最大値は70、そのときのnは7です。項を直接並べると19、16、13、10、7、4、1であり、その合計も70です。隣だけの確認に加え、それ以降の項も負であることが全範囲の最大を支えています。

平方完成でも照合できます。式の変形は次の通りです。

Sₙ = n{38 - 3(n - 1)}/2
   = (-3n² + 41n)/2
   = -3(n - 41/6)²/2 + 5043/72

頂点のnは41/6で、6と7の間です。頂点からの距離は6までが5/6、7までが1/6なので、近い7で大きくなります。実数の頂点41/6を項数として答えてはいけません。また、この候補が1以上10以下に入ることも確認しています。

標準例題：0を足した前後は同じ和

初項24、公差-4の等差数列について、1以上10以下の自然数nに対するSₙの最大値と、それを与えるnをすべて整数で求めます。

aₙ = 24 - 4(n - 1)
   = 28 - 4n
aₙ > 0 のとき n < 7
aₙ = 0 のとき n = 7
aₙ < 0 のとき n > 7

第6項までは正、第7項は0、第8項以降は負です。よってS₁からS₆までは増え、S₇はS₆と等しく、S₈以降は減ります。最大となるnは6と7の2つです。0を加えても和は減らないので、6だけと答えると7が抜けます。

a₆ = 28 - 4・6 = 4
a₇ = 0
S₆ = 6(24 + 4)/2
   = 6・28/2
   = 84
S₇ = S₆ + 0
   = 84

最大値は84、nは6と7です。直接並べた24、20、16、12、8、4の合計が84であり、次の0を足しても84のままです。その次は-4なので80になります。

平方完成からも2つの位置を説明できます。

Sₙ = n{48 - 4(n - 1)}/2
   = -2n² + 26n
   = -2(n - 13/2)² + 169/2

頂点13/2は6と7のちょうど中間です。どちらも頂点からの距離が1/2なので和が等しく、ほかの自然数はより遠いため小さくなります。頂点の高さ169/2は実数のnを許したときの値で、自然数のnで達する最大値84とは異なります。

発展例題：頂点が範囲の外にあるとき

初項18、公差-2の等差数列について、1以上7以下の自然数nに対するSₙの最大値と、そのときのnを整数で求めます。

aₙ = 18 - 2(n - 1)
   = 20 - 2n
a₇ = 20 - 2・7
   = 6

公差が負なので、対象の第1項から第7項は第7項以上です。第7項が正であるため、対象の項はすべて正です。S₁からS₇まで和は増え続け、範囲の右端n = 7で最大になります。

S₇ = 7(18 + 6)/2
   = 7・24/2
   = 84

最大値は84、nは7です。実際に18、16、14、12、10、8、6を足しても84です。第8項以降を加えた和は、この問題の候補には入りません。

平方完成を使うと、範囲を確認する必要がさらに明確になります。

Sₙ = n{36 - 2(n - 1)}/2
   = -n² + 19n
   = -(n - 19/2)² + 361/4

頂点の19/2は許された範囲より右にあります。1から7までの整数では、右端の7が頂点に最も近いので、同じ結論に至ります。頂点に近い9や10を代入しても、それらは指定された範囲外です。範囲の条件を後回しにせず、候補にする前に線を引いておきます。

間違えた答えを直す

基本例題で「正の項は第7項までだから、S₈が最大」と書いたとします。第7項を足した時点の和はS₇であり、第8項まで足した和ではありません。最後に足した項の番号と和の添字を一致させます。

図3のように、S₆に第7項の1を加えてS₇になり、さらに第8項の-2を加えるとS₈になります。図3をたどると、和が70から68に下がる一手を確認できます。

S₆ = 69
S₇ = 69 + 1 = 70
S₈ = 70 - 2 = 68

もう1つの誤りは「平方完成の頂点が13/2だから、n = 13/2で最大」とすることです。項数には自然数という条件があります。標準例題では6と7が同じ距離にあり、両方の値を答えることで修正できます。頂点が範囲外なら、最も近い許された整数を選ぶ点も必要です。

項が負になったら、その項を加えた和は直前より小さくなります。ただし、最初の項から負の場合にS₀ = 0を勝手に答えとするのは誤りです。nが1から始まるならS₁が最初の候補であり、0個の和を比較に加えることはできません。数式の上でS₀を補助的に置くことと、問題の答えの候補とすることを分けて考えます。

練習：項と範囲を自分で確かめる

次の各問ではSₙを初項から第n項までの和とし、nは指定された範囲の自然数とします。最大値とnを問う問題では、どちらも整数で答えます。

1. 初項17、公差-2の等差数列で、1以上12以下のnに対するSₙの最大値と、そのときのnを求めてください。
2. 初項18、公差-3の等差数列で、1以上10以下のnに対するSₙの最大値と、それを与えるnをすべて求めてください。
3. 初項-2、公差-3の等差数列で、1以上8以下のnに対するSₙの最大値と、そのときのnを求めてください。
4. 初項4、公差2の等差数列で、1以上6以下のnに対するSₙの最大値と、そのときのnを求めてください。
5. 初項p、公差-2の等差数列で、1以上6以下のnに対し、S₃がただ1つの最大となるような実数pの範囲を、不等式で求めてください。

練習の解答と解き方

1. 正から負へ移る境目

aₙ = 17 - 2(n - 1)
   = 19 - 2n
a₉ = 1
a₁₀ = -1

第9項まで正で第10項以降は負なので、SₙはS₉まで増えてから減ります。9は指定範囲内です。

S₉ = 9(17 + 1)/2
   = 81

答えは最大値81、n = 9です。17、15、13、11、9、7、5、3、1の直接の合計も81で、次に-1を加えると80に下がります。

2. 0を加える前後

aₙ = 18 - 3(n - 1)
   = 21 - 3n
a₆ = 3
a₇ = 0
a₈ = -3

第6項まで正、第7項が0、第8項以降が負です。したがってS₆とS₇が同じ最大値です。

S₆ = 6(18 + 3)/2
   = 63
S₇ = S₆ + 0
   = 63

答えは最大値63、n = 6と7です。18、15、12、9、6、3の合計が63で、0を足しても変わらず、次の-3で60に下がります。

3. 最初から負のとき

a₁ = -2
a₂ = -5

公差が負で初項も負なので、第2項以降も負です。S₁から先は項を加えるたびに和が減り、最大は最初のS₁です。

S₁ = -2
S₂ = -2 + (-5)
   = -7

答えは最大値-2、n = 1です。0個の和は指定範囲に入らないため、0を最大値にすることはできません。

4. 右端まで正のとき

aₙ = 4 + 2(n - 1)
   = 2n + 2
a₆ = 14

初項が正で公差も正なので、指定範囲の各項は正です。Sₙは増え続け、右端のn = 6で最大になります。

S₆ = 6(4 + 14)/2
   = 54

答えは最大値54、n = 6です。4、6、8、10、12、14の合計も54です。公差が正の場合でも、増減を決めるのは加える項の符号です。

5. 唯一の最大から文字の範囲へ

公差は-2なので項は次第に小さくなります。S₃がただ1つの最大であるには、その直前より大きく、直後よりも大きい必要があります。

S₃ - S₂ = a₃ = p - 4
S₄ - S₃ = a₄ = p - 6
p - 4 > 0
p - 6 < 0
4 < p < 6

この条件は必要であるだけでなく十分です。a₃が正なら、それ以前の項も正なのでS₁からS₃までは増えます。a₄が負なら、それ以降の項も負なのでS₄からS₆へも減ります。よって答えは4 < p < 6です。

端のp = 4ではa₃ = 0となりS₂ = S₃、p = 6ではa₄ = 0となりS₃ = S₄です。どちらも最大の位置が複数あるため含めません。例えば範囲内のp = 5では項が5、3、1、-1、-3、-5となり、和は5、8、9、8、5、0です。元の条件どおりS₃が唯一の最大です。

覚えておきたいこと

• Sₙ − Sₙ₋₁ = aₙはnが2以上で使い、n = 1は初項から確かめます。
• 正の項は和を増やし、0は変えず、負の項は減らします。
• 平方完成の頂点と許された自然数の位置を比べます。
• 最大値と、それを与える項数をそれぞれ答えます。

手が止まった場所を見分ける

和の増減が逆になったら、Sₙへ最後に加えたのがaₙかaₙ₊₁かを確認します。0の項を飛ばした場合は、0を足す前後の和を2行に書いてみます。平方完成はできても答えが定まらない場合は、頂点の両側の整数と、指定範囲の端を紙に並べて比べます。

個別指導で確かめるなら、どの添字で符号を判定したか、どの和にその項を足したかを順にたどります。計算結果を元の項に戻して足し直すと、項数のずれと計算のずれを分けて点検できます。最大の位置は、加える1項と許された範囲から決まります。