高校数学B 等比数列の一般項—公比の符号と項番号の差を調べて候補を絞る｜武蔵野個別指導塾

離れた二項から公比を求めるとき、負の候補や0の項を調べ、条件を絞る焦点は等比数列です。

よくあるのは、高2の高校生が離れた二つの項から公比を求め、正の候補だけを書いて先へ進むという場面です。間に何回公比をかけたかが偶数なら、負の数をかけ続けても結果は正になります。符号を決める前に項番号の差を数え、得られた候補を元の条件に戻しましょう。ここでは実数を項と公比に持つ数列を扱い、和は求めません。

要点（結論から）

• 項番号の差が、公比をかける回数です。
• 偶数乗の正の値からは正負の候補が出ます。
• 0で割らず、かけ算に戻って場合を分けます。

二つの項から何を読み取るか

出方の一つは、第2項と第4項のように離れた項を指定し、一般項を求める問題です。二つの番号の差が2なら、公比を2回かけています。比が正でも、公比の符号はまだ決まりません。

もう一つは、番号の差が奇数の二項から公比を決める問題です。差が3なら、公比の3乗の符号は公比自身の符号と一致します。比が負なら負の公比が必要です。最後に初項を復元し、指定された二項がともに得られるか確かめます。

さらに、指定された項に0が含まれる場合があります。0で割って比を作ることはできません。前の項が0なら後の項も0であることを、かけ算の関係から先に使います。条件が両立しない場合や、条件を満たす数列が複数ある場合も、答えの一部です。

公比をかける回数を数える

実数の数列 a₁, a₂, a₃, … が、ある実数 r を用いて自然数 n のすべてについて aₙ₊₁ = r aₙ を満たすとき、ここでは等比数列と呼びます。r を公比とします。この定義では r = 0 も認めます。問題で公比を0以外に限る場合には、その追加条件を優先します。

初項から第n項へは、n − 1回かけるので、自然数 n に対して aₙ = a₁rⁿ⁻¹ です。n = 1 では0回かけるので a₁に戻ります。r = 0 の場合も初項はそのままで、第2項以降は0です。0の0乗を計算する必要がないよう、この場合は初項と第2項以降を分けて考えられます。

自然数 p < q に対して、同じ関係を q − p 回使えば a(q) = a(p)r の q − p 乗です。ここでは a(p) を第p項と表します。図1のように、番号の差がかけ算の回数です。項の個数は両端を含めると差より1多いため、混同しないでください。

図1では第2項から第5項まで3回進みます。a(p) が0でなければ、両辺を a(p) で割って r の q − p 乗 = a(q)/a(p) とできます。割る前に非零を確かめるのは、式変形の条件を守るためです。

差が偶数のとき、左辺は0以上です。右辺が正なら正負の2候補、0なら r = 0、負なら実数の公比はありません。差が奇数なら、右辺の正負に応じて公比の正負も決まります。例えば3乗が負になる実数は負です。ただし候補を得た後にも、初項を作れるか、元の二項を満たすかを調べます。

前の指定項が0なら、後の指定項は0でなければなりません。後の項が0で前の項が非零なら、公比は0です。このとき前の項が第1項であれば実現できますが、第2項以降なら、公比0ではそこも0になるため実現しません。前後の項がともに0のときも、公比0と非零を分けると、初項や公比にどんな自由が残るか見落としません。

公比が1なら、初項と同じ値が続きます。離れた二項が同じ非零値であっても、番号の差が偶数なら公比-1も候補です。実際、-1を偶数回かけると元の値に戻ります。差が奇数なら-1を奇数回かけて符号が反転するため、同じ非零値にはなりません。

また、前の指定項が非零で後の指定項が0なら、乗数の積が0なので公比は0です。ここで前の指定項が第1項なら、初項をその非零値とする数列が存在します。前の指定項が第2項以降なら、公比0の数列ではその項自体が0になってしまいます。二項の関係だけから得た候補を、初項からの関係にも戻す理由はここにあります。

例えば、前の指定項が非零でも後の項が負とは限りません。公比が負であれば、符号が変わるかどうかは移動回数の偶奇で決まります。項の値の正負だけでなく、その間に挟まる矢印の本数も同時に見ます。

初項が非零で公比も非零なら、どの項も非零です。逆に非零の項が第2項以降に一つあれば、公比と初項はともに非零です。この事実は割り算の許可を確かめるときに役立ちますが、どの数が公比かを決めるものではありません。公比を決めるには、指定された値と間隔から作る方程式が必要です。

基本例題：偶数回進むとき

実数を項とする等比数列で、第2項が6、第4項が54です。一般項 aₙ を自然数 n の式で、該当するものをすべて求めてください。

第2項は6で0ではないので、第4項との関係を6で割れます。図2のように2回かけるため、式は次のようになります。

a₄ = a₂r²
54 = 6r²
r² = 9
r = 3 または r = -3

r = 3 のとき、a₂ = a₁r から初項を求めます。

6 = 3a₁
a₁ = 2
aₙ = 2・3ⁿ⁻¹

r = -3 のときも、別々に初項を求めます。

6 = -3a₁
a₁ = -2
aₙ = -2・(-3)ⁿ⁻¹

前者は第2項が2・3 = 6、第4項が2・27 = 54です。後者は第2項が(-2)・(-3) = 6、第4項が(-2)・(-27) = 54です。どちらも与えられた条件へ戻ります。平方根を取る際に正の値だけを残すと、後者を失います。

この例では第2項が非零なので、公比0は初めから不可能です。また r の候補はいずれも非零なので、a₂ = a₁r を割って初項を求められます。第2項から先へ進む計算と、初項へ戻る計算では、割ってよい対象をそれぞれ確認しています。

標準例題：奇数回と符号

実数を項とする等比数列で、第3項が12、第6項が-96です。一般項 aₙ を自然数 n の式で求めてください。

第3項は非零で、第6項までの差は3です。3乗の符号は底と同じなので、公比は負になります。

a₆ = a₃r³
-96 = 12r³
r³ = -8
r = -2

公比が非零とわかったので、第3項から初項を求めます。

a₃ = a₁r²
12 = 4a₁
a₁ = 3
aₙ = 3・(-2)ⁿ⁻¹

確かめると、第3項は3・4 = 12、第6項は3・(-32) = -96です。3乗が-8になる実数は-2です。正の2を代入すると3乗は8なので、符号を無視して大きさだけで判定することはできません。

別の見方として、第3項が正で第6項が負なので、3回のかけ算で符号が反転しています。実数の公比が正なら符号は変わらず、0なら第6項も0です。したがって負と判断できます。ただし符号が決まっただけでは大きさは決まらないため、3乗の式にも戻ります。

発展例題：0の項から場合を分ける

実数を項とする等比数列で、第2項が0、第5項も0です。可能な一般項 aₙ を、自然数 n の範囲を示してすべて求めてください。公比0も認めます。

第2項で割ることはできません。かわりに第2項の条件を、初項と公比の積で表します。

a₂ = a₁r
0 = a₁r

実数の積が0なので、r = 0 または a₁ = 0 です。r = 0 なら初項を任意の実数 c として、第2項以降は0です。

a₁ = c
aₙ = 0  （n ≥ 2）

一方、a₁ = 0 なら、どの実数 r をかけても次の項は0なので、すべての自然数 n について aₙ = 0 です。これは上の形で c = 0 とした数列に含まれます。したがって答えは上の形で、c は任意の実数です。例えば c が0でない場合は公比0、c が0の場合はどの実数も公比として使えます。

実際に、答えの数列では第2項も第5項も0です。逆に、条件を満たす数列は a₁r = 0 から上のどちらかの場合に入るので、これ以外の数列はありません。条件へ戻す確認と、候補を取り尽くした理由の両方が必要です。

対照的に、第2項が0で第5項が非零なら不可能です。第2項から何回公比をかけても0のままだからです。第1項が非零で第2項が0なら公比0で実現しますが、第2項が非零で第5項が0という条件は実現しません。後者では公比0が必要なのに、その公比では第2項も0になるためです。

誤答を直す：正の平方根だけにしない

基本例題で r² = 9 から r = 3 として終える解答を考えます。2乗して9になる数には-3もあります。負の数を2回かけると符号が戻ることが、見落としの原因です。

図3のように、正と負の両方を枝として残し、それぞれの初項を決めます。片方の初項をもう片方にも使い回すと、第2項の符号が違ってしまいます。

図3の2本の枝はいずれも第2項6、第4項54に戻ります。r = -3 に対して初項を2とすると、第2項は-6です。この候補は条件に合わないため、負の公比を捨てるのではなく初項を-2に直します。

別の誤りは、0の項を分母にして公比を求めることです。0/0 は公比の値を表しません。前の項が0かどうかを先に見て、0なら aₙ₊₁ = r aₙ のかけ算に戻します。計算が止まったときは、割る前の式に戻して場合分けすることが修正の出発点です。

練習：条件を満たす数列を探す

いずれも項と公比は実数とし、公比0を認めます。一般項の答えは自然数 n の式で示してください。複数ある場合はすべて求め、存在しない場合はその理由を書いてください。

1. 第1項が5、公比が-2のとき、一般項を求めてください。
2. 第2項が4、第4項が100のとき、一般項を求めてください。
3. 第2項が-7、第5項が189のとき、一般項を求めてください。
4. 第1項が8、第3項が0のとき、一般項を求めてください。
5. 第3項が9、第5項が-36となる数列が存在するか調べてください。

解答と考え方

1. 第n項までは初項から n − 1回かけます。

aₙ = 5・(-2)ⁿ⁻¹

第1項は5、第2項は-10です。隣の項を作るとき常に-2をかけるので、初項と公比の両方が条件に戻ります。

2. 第2項は非零で、番号の差は2です。

100 = 4r²
r² = 25
r = 5 または r = -5

それぞれの初項と一般項を求めます。

r = 5 のとき a₁ = 4/5
aₙ = (4/5)・5ⁿ⁻¹
r = -5 のとき a₁ = -4/5
aₙ = (-4/5)・(-5)ⁿ⁻¹

それぞれ第2項は4、第4項は100です。負の候補では初項も負になり、2回目の項が正になることを確かめます。

3. 第2項は非零で、番号の差は3です。

189 = -7r³
r³ = -27
r = -3
-7 = -3a₁
a₁ = 7/3
aₙ = (7/3)・(-3)ⁿ⁻¹

第2項は(7/3)・(-3) = -7、第5項は(7/3)・81 = 189です。3乗の符号から負の公比が必要で、正の3は条件に合いません。

4. 第1項は8で非零です。第3項まで2回かけた関係を使います。

0 = 8r²
r² = 0
r = 0

よって a₁ = 8、aₙ = 0（n ≥ 2）です。第1項8に0をかけると第2項が0となり、さらに0をかけた第3項も0です。初項を0とする答えは、指定された8に戻らないため除きます。

5. 第3項は非零なので割れます。

-36 = 9r²
r² = -4

実数の2乗は負にならないため、該当する数列は存在しません。公比を正負どちらに選んでも、2回かけた後の第5項は第3項と逆符号にはなりません。公比0の場合も第5項は0で、-36にはなりません。

要点の整理

• 項番号の差が、公比をかける回数です。
• 偶数乗の正の値からは正負の候補が出ます。
• 0で割らず、かけ算に戻って場合を分けます。
• 各候補の初項を求め、元の条件へ戻します。

止まった場所を見分ける

式を作れないときは、二つの項の間に矢印を描いて、かける回数と番号の差を照らします。式は作れても候補が足りないときは、得られた乗数が偶数か奇数かを見ます。候補を代入しても条件に戻らないときは、公比ごとに初項を求め直します。

個別指導で確かめるなら、生徒が書いた最初の割り算に戻り、分母にした項が非零といえるかを尋ねます。0の場合には次の項を実際に作り、どこから先が決まるかを言葉にします。符号と0を先に調べれば、等比数列の一般項の候補を落とさずに選べます。