高校数学B 等比数列の有限和—公比が1の場合を分けて端の項まで式を整える｜武蔵野個別指導塾

等比数列の有限和を、ずらした2列の差から導きます。公比1と0を分け、負の公比の符号や末項の位置まで点検しましょう。

よくあるのは、高2の高校生が公比1を分母0の公式に代入して、和を計算できなくなる場面です。項を並べると同じ数の繰り返しなので、和そのものは決まります。式が使えないことと、答えが存在しないことは別です。有限個の項を足すとき、まず公比と項数を読み、どの式が使えるかを判断しましょう。

和が求められる場面を読む

等比数列の有限和には、初項と公比と項数から和を出す問いがあります。例えば初項から数えて何項まで足すかが決まっていれば、末項の指数は項数より1小さくなります。最後の指数をそのまま項数にしないよう、初項を第1項として数えます。

別の問いでは、初項、公比、末項が与えられ、まず項数を決めます。末項の値だけでなく、それが初項から何回公比をかけた位置にあるかを調べます。負の公比では符号が交互に変わるので、絶対値と符号の両方を照合します。公比1や0では同じ値が繰り返されることがあり、末項の値だけから項数が決まるとは限りません。

また、公比に文字が含まれる問いでは、公比が1となる値を先に分けます。分母が0になる値を式から除く操作は、その値が問題の条件から除外されるという意味ではありません。残った場合を別に計算し、答えを合わせて初めて範囲を尽くせます。

ずらした2列の端に注目する

初項をa、公比をrとし、自然数nについて第n項までを足した和をSₙとします。第k項はa r の k-1 乗で、第1項から第n項までは次のように並びます。ここで指数0の値は1とします。r=0のときも初項をaとし、第2項以降は0です。

Sₙ = a + ar + ar² + … + arⁿ⁻¹
rSₙ = ar + ar² + … + arⁿ⁻¹ + arⁿ

図1のように下の列は上の列を1項分ずらした形です。引き算では中央の対応する項が消え、最初のaと最後のarⁿが残ります。n=1でも中央に消す項はなく、a − arがそのまま残ります。

図1の両端を式にすると、(1 − r)Sₙ = a − arⁿです。rが1でなければ1 − rは0でないので、両辺を割って次の式を得ます。

Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r)　（r ≠ 1）

分子と分母の符号を同時に変えたa(rⁿ − 1)/(r − 1)も同じ値です。分子だけ符号を変えると答えの符号が逆になるので、選んだ形のまま代入すると安全です。これは有限個の項についての式です。nを自然数として固定し、最後の項まで足します。

r=1なら割る前の等式は0=0となり、和の値を決めません。しかし各項はaですから、直接足せばSₙ = naです。r=0なら項はa, 0, 0, …なのでSₙ = aです。こちらは1 − rが0でないため、上の式でも同じ結果になります。初項が0なら公比の値にかかわらず各項が0で、和も0です。

末項をlと書けば、l = arⁿ⁻¹です。したがって最後に残るarⁿはrlです。r ≠ 1のときSₙ = (a − rl)/(1 − r)とも書けます。ただしlが本当に第n項か、nが自然数かを先に確認します。この形は項数を明示しなくても計算できる場合がありますが、末項の位置が不明なまま使ってよいという意味ではありません。

基本例題：負の公比で端を残す

初項3、公比-2の等比数列の第1項から第5項までの和を整数で求めます。

公比は1ではなく、分母1 − (-2)は3で0ではありません。5項の最後は3(-2)⁴ = 48です。項を並べると3, -6, 12, -24, 48となり、図2の対応が見えます。公比をかけた列では、48の次に現れる-96まで書くことが必要です。

図2の上の列の和をS₅とし、下の列を引きます。

S₅ = 3 - 6 + 12 - 24 + 48
-2S₅ = -6 + 12 - 24 + 48 - 96
S₅ - (-2S₅) = 3 - (-96)
3S₅ = 99
S₅ = 33

公式を使う場合も、指数は5、分母は3です。

S₅ = 3(1 - (-2)⁵)/(1 - (-2))
S₅ = 3(1 + 32)/3
S₅ = 33

元の5項を直接足すと3 − 6 + 12 − 24 + 48 = 33です。末項48までの和に戻しても一致します。負の数の奇数乗は負、偶数乗は正という符号の確認が、分子の計算を支えます。

標準例題：末項から項数を決める

初項5、公比3の等比数列で、末項405までを初項から足します。項数と和をそれぞれ整数で求めます。

第n項が405であるとして、nを自然数の範囲で調べます。初項5は0でないので、両辺を5で割れます。

5・3ⁿ⁻¹ = 405
3ⁿ⁻¹ = 81
3ⁿ⁻¹ = 3⁴
n - 1 = 4
n = 5

実際の列は5, 15, 45, 135, 405です。5項目が指定の末項であることを確認できました。公比3は1と異なるので、分母1 − 3は0ではありません。

S₅ = 5(1 - 3⁵)/(1 - 3)
S₅ = 5(1 - 243)/(-2)
S₅ = 605

直接足しても5 + 15 + 45 + 135 + 405 = 605です。末項を用いる形なら(5 − 3・405)/(1 − 3) = 605となります。末項405そのものを分子の端に置くのではなく、もう1回公比をかけた1215を使う点が分かれ目です。

発展例題：公比の値で場合を分ける

初項2、公比rの等比数列について、第1項から第4項までの和が8となる実数rをすべて求めます。答えは整数で示します。

まずr=1なら4項はすべて2で、和は8です。したがってr=1は条件を満たします。この確認を済ませてからr ≠ 1を考えます。分母1 − rは0でないので、和の式を使えます。

2(1 - r⁴)/(1 - r) = 8
1 - r⁴ = 4(1 - r)
r⁴ - 4r + 3 = 0
(r - 1)²(r² + 2r + 3) = 0

r² + 2r + 3 = (r + 1)² + 2は実数rに対して正です。よって最後の等式からはr=1となりますが、今はr ≠ 1を考えているので該当する値はありません。先に確かめたr=1を戻し、答えはr=1です。

別の見方として、最初から4項を2, 2r, 2r², 2r³と並べると、和が8である条件はr³ + r² + r − 3 = 0です。左辺は(r − 1)(r² + 2r + 3)と因数分解できます。この方法は有限個の項を直接足すのでr=1でも使えます。公式を使う方法でr=1を除いたのは、問題から除くためではなく、0で割れないからです。最後にr=1を元の4項に戻し、2 + 2 + 2 + 2 = 8と確認します。

誤答を直す：最後の項と、その次の項

基本例題の5項の和を引き算で求める際、下の列の最後を48で止める誤りを考えます。上の最後の48に-2をかけた-96が抜けると、引き算の右端が正しく対応しません。図3のように、下の列にも元の5項それぞれに公比をかけた5項が必要です。

図3では上の48と下の48が同じ列で消え、その右に-96が残ります。したがって差は3 − (-96)です。48を「足す最後の項」と呼ぶことと、-96を「公比をかけた列の最後の項」と呼ぶことを区別します。公式のrⁿは後者から生まれます。

もう1つの誤りは、公比が1のときに公式の分子と分母がともに0になることから、和を0と決めることです。0を0で割る計算には値が決まりません。元の列に戻り、同じ初項を指定された項数だけ足します。負の公比でも、分子の符号だけを見て和が負と決めず、分母の符号まで含めて計算します。

末項が与える情報を確かめる

末項から項数を探すとき、初項と公比が決まっていても、末項の値だけで位置が一意になるとは限りません。例えば公比が1なら、どの項も初項と同じです。末項が初項と等しいという条件は、足す個数を指定していません。項数が別に与えられなければ、初項が0でない場合、和も1通りには定まりません。一方、初項が0なら、どの自然数の項数でも和は0です。

公比が0なら、第2項以降は0です。末項が0と指定されても、第2項以降のどこで止めたかは決まりません。それでも、初項から足した和は常に初項です。位置が決まらないことと、和が決まらないことも区別しましょう。公比が-1なら値は初項とその符号を変えた値との繰り返しです。末項の符号から項数の偶奇はわかっても、項数そのものは一般には決まりません。初項が0なら符号による区別もできません。

一般に項数を求める式を作る前には、初項で割ってよいかを調べます。初項が0なら全項が0なので、0以外の値を末項にすることはできません。0を末項とする場合は、項数を指定する別の条件が必要です。割る前にこの場合を扱えば、候補を失わずに済みます。

公比が負で絶対値が1と異なる場合は、隣の項で符号が変わり、絶対値は一定の倍率で変わります。候補の項数を見つけたら、指数が自然数の項番号に対応するかを確かめ、候補を第n項へ戻します。その後に和の式へ進むと、存在しない末項まで足してしまう誤りを防げます。式の結果が整数になったかどうかだけでは、項数の確認には代わりません。

練習問題

次の5問では、いずれも初項から指定された末項までの有限個の和を求めます。文字を含む答えでは指定した範囲を添えます。

1. 初項7、公比2の等比数列の第4項までの和を整数で求めてください。
2. 初項9、公比0の等比数列の第6項までの和を整数で求めてください。
3. 初項8、公比-1/2の等比数列の第4項までの和を分数または整数で求めてください。
4. 初項4、公比2の等比数列で末項128までを足します。項数と和を整数で求めてください。
5. 初項6、公比tの等比数列の第3項までの和を、実数tについて場合分けして求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. 公比2は1と異なり、分母1 − 2は0ではありません。

S₄ = 7(1 - 2⁴)/(1 - 2)
S₄ = 7(1 - 16)/(-1)
S₄ = 105

列は7, 14, 28, 56です。指定された4項を直接足しても105となります。

2. 公比0では初項の次から0です。指定の6項は9, 0, 0, 0, 0, 0なので、和は9です。公式の分母も1 − 0 = 1であり、9(1 − 0⁶)/1 = 9と一致します。末項まで6個を数えて確認します。

3. 公比-1/2は1と異なります。分母1 − (-1/2) = 3/2は0ではありません。

S₄ = 8(1 - (-1/2)⁴)/(1 + 1/2)
S₄ = 8・(15/16)/(3/2)
S₄ = 5

実際の4項は8, -4, 2, -1です。その和も5です。最後の項が負であることと、4乗が正であることは別々に確認します。

4. 末項を第n項として、初項4で割ります。nは自然数です。

4・2ⁿ⁻¹ = 128
2ⁿ⁻¹ = 32 = 2⁵
n - 1 = 5
n = 6
S₆ = 4(1 - 2⁶)/(1 - 2)
S₆ = 252

列は4, 8, 16, 32, 64, 128です。6項目が128で、直接加算も252となります。項数は6、和は252です。

5. t=1なら各項が6なので、和は18です。t ≠ 1なら分母1 − tは0でなく、和は6(1 − t³)/(1 − t)です。

S₃ = 6(1 - t³)/(1 - t)　（t ≠ 1）
S₃ = 18　（t = 1）

直接並べると6, 6t, 6t²で、和は6(1 + t + t²)です。1 − t³ = (1 − t)(1 + t + t²)なので、t ≠ 1の式と一致します。t=1を直接の和に戻すと18、t=0では6 + 0 + 0 = 6となり、それぞれ元の3項の和に合います。

覚えておきたいこと

初項a、公比rの第n項はarⁿ⁻¹です。 r ≠ 1なら有限和はa(1 − rⁿ)/(1 − r)です。 r=1なら和はna、r=0なら和はaです。 末項に公比をもう一度かけた項が、差の右端に残ります。

止まった行から確かめる

分母が0になった行で止まったら、公比が1かどうかを最初の条件へ戻って調べます。公比1なら項を並べ、同じ値を何個足すかを数えます。文字の公比なら、その値を先に分けてから残りの範囲で式を使います。

符号が合わないときは、負の公比を括弧で囲み、末項の指数と和の公式の指数を別々に書きます。個別指導で確認するなら、途中で消えた項よりも、最初と最後に残した項を指さして説明できるかを見ると、ずれの位置を追えます。有限和の端は、列を1段ずらすことで見えてきます。