高校数学II 対数の定義—底と真数の条件を指数の式へ戻して意味から整理する｜武蔵野個別指導塾

負の対数値と正の真数の関係を、指数の式への往復から読み解きます。鍵となるのは対数の定義です。

よくあるのは、高2が対数の値に負号を見つけ、真数も負だと考える場面です。指数が負なら、正の底の累乗は逆数になります。逆数は正ですから、負の対数値と正の真数は両立します。記号のどの場所が底で、どの場所が真数で、どれが指数に当たるのかを確かめながら、式を両方向に読み直しましょう。

何を指数として探すのか

対数の問いには、主に3つの形があります。底と真数から対数値を求める形、底と対数値から真数を求める形、文字を含む底や真数について式が意味を持つ条件を調べる形です。どの形でも、対数を指数の式に翻訳する前に、底が正で1ではなく、真数が正であることを確認します。

既習の指数では、正の数の零乗は1、負の整数乗は対応する正の整数乗の逆数です。また、正の数の分数乗は累乗根と結びつきます。たとえば4の1/2乗は2です。これらを使うと、対数の値を暗算で推測する場面でも、推測した指数を元の底に付けて確かめられます。

式を見たときは、まず3つの場所に印を付けるつもりで読みます。底と真数は対数の記号の側にあり、対数値は等号の反対側にあります。求めるものが変わっても場所の役割は変わりません。例えば真数を求める問いでは、底と指数から累乗を計算します。対数値を求める問いでは、与えられた真数になる指数を探します。

条件を飛ばすと、計算の形が整っても意味のない式を採用しかねません。とくに底が1のとき、1のどんな実数乗も1です。真数が1でも指数を1つに決められず、真数が1以外ならその指数はありません。底が1でないという条件は、単なる暗記項目ではありません。

学習範囲には、対数の意味と性質、および対数関数の変化とグラフが含まれます。ここでは定義から指数を読み取ることに焦点を当てます。

底・真数・指数の対応

正の数aが1でなく、Mが正であるとします。このとき、aの実数乗でMになる指数をpとすると、その指数pを底aのMの対数といい、logₐ M = pと表します。つまり、次の2つの式は同じ関係を表します。

logₐ M = p
⇔ aのp乗 = M

左辺のaが底、Mが真数、右辺のpが対数の値です。指数の式では、底はそのまま、対数の値が指数へ、真数が累乗の結果へ移ります。図1のように対応をたどると、負号が付いている場所も見失いません。

図1では、対数の値pと真数Mを入れ替えているのではなく、それぞれが指数と累乗の結果に対応しています。a>0、a≠1、M>0のもとでは、このpは実数としてただ1つに定まります。底が1より大きいときも、0より大きく1より小さいときも、この定義は同じです。

真数が1なら、底の条件のもとでaの0乗が1なので、logₐ 1 = 0です。逆に、対数値が0なら指数の式から真数は1です。真数が底aならaの1乗がaなので、logₐ a = 1です。ここで、真数1と対数値1は別の場所の数字です。

底が1より大きい場合、指数が正なら累乗は1より大きく、指数が負なら0と1の間にあります。底が0と1の間の場合は向きが逆になり、指数が正なら累乗は0と1の間、指数が負なら1より大きくなります。いずれも累乗の結果は正です。したがって、対数値の符号は底と真数の両方から判断します。

例えば底が7なら、7の-1乗は1/7なので、log₇ (1/7) = -1です。一方、底が1/7なら、(1/7)の-1乗は7なので、底が1/7で真数が7の対数も-1です。対数値が同じ負数でも、真数が1より小さい場合と大きい場合があります。どちらも真数は正です。

底の逆数を使う場合は、もとの底の指数の符号が反対になることに注目します。a>0、a≠1なら1/aも正で1ではありません。(1/a)のp乗はaの-p乗ですから、同じ真数に対応する指数は符号が反対です。この関係は、底と真数の場所を交換する操作とは異なります。

基本例題：負の指数を真数へ戻す

底が5、真数が1/125の対数の値を整数で求めてください。また、その値を指数の式に戻して確かめてください。

まず底5は正で1ではなく、真数1/125は正です。したがって対数が定義されます。求める値をpとすると、定義から次の式です。

log₅ (1/125) = p
⇔ 5のp乗 = 1/125

右辺を底5の累乗に直します。125は5の3乗なので、逆数は5の-3乗です。

1/125 = 1/(5³)
        = 5の-3乗

同じ底5の累乗が等しいので、指数は等しくなります。よってp = -3です。図2のように、指数が負でも、累乗の結果は正の分数です。

元の問いへ戻すと、5の-3乗は1/(5・5・5) = 1/125です。求めた値は指定された真数を確かに与えます。答えは-3であり、真数は-125でも-1/125でもありません。負号は対数値、すなわち指数に付いています。

この問題を反対から読むこともできます。真数1/125を先に見て、5を何回掛けるかではなく、5の累乗の逆数を考えます。5の3乗が125なので、その逆数を作る指数は-3です。整数乗の意味と定義がつながると、記号のまま符号を操作する必要がなくなります。

標準例題：逆数の底を読み替える

底が1/3、真数が27の対数の値を整数で求めてください。続けて、底が3、真数が27の対数の値と比較してください。

底1/3は正で1ではなく、真数27は正です。求める値をqと置き、指数の式へ移します。

底が1/3で真数が27の対数 = q
⇔ (1/3)のq乗 = 27
⇔ 3の-q乗 = 3³
⇔ -q = 3
⇔ q = -3

一方、底3も正で1ではなく、真数27は正です。3³ = 27なので、log₃ 27 = 3です。底を3からその逆数1/3へ変え、真数を27のままにすると、対数値は3から-3へ変わりました。

検算では元の底を使います。(1/3)の-3乗は3³で、27です。底3の場合も3³ = 27です。符号が変わる理由は、逆数の底を累乗すると指数の符号が反転するからです。真数の符号が変わったわけではありません。

別の見方では、底1/3を3回掛けると1/27になるので、その逆数27を作るには指数を-3にします。底が1未満のとき、負の対数値が1より大きい真数に対応する具体例です。底が1より大きい場合の感覚をそのまま持ち込まず、指数に戻せば判断できます。

発展例題：定義される条件と値を同時に使う

実数xについて、底が(x-1)、真数が(x+3)の対数が2となるとします。この条件を満たすxをすべて求め、整数または根号を用いて表してください。

まず底と真数の条件をそれぞれ書きます。底についてx-1>0、x-1≠1、真数についてx+3>0です。これらを合わせるとx>1かつx≠2です。真数の条件も独立に調べたうえで、底の条件と重ねます。

この範囲では定義を使って指数の式に直せます。対数値2は底の2乗を意味します。

(x-1)² = x+3
x²-2x+1 = x+3
x²-3x-2 = 0
x = (3+√17)/2 または (3-√17)/2

2つの候補を条件に戻します。√17>4なので、(3-√17)/2は負であり、x>1を満たしません。もう一方は(3+√17)/2 > 7/2 > 1で、2とも異なります。したがって条件を満たすのはx = (3+√17)/2です。

元の関係も確認します。この値は二次方程式を満たすため、底の2乗は真数x+3に等しくなります。さらに底x-1は正で1ではなく、真数x+3も正なので、その対数は確かに2です。条件を満たさない候補を捨てる段階と、残った候補を元の対数の意味へ戻す段階の両方が必要です。

先に平方して方程式だけを解くと、底が負の候補まで式の解として現れます。二次方程式では負の数の2乗も正になるためです。候補が計算上得られることと、元の対数が定義されることは別の検査です。

負号の位置を直す

「log₅ (1/125) = -3だから真数は負」と判断したとします。この誤答の原因は、対数値と真数を同じ数として読んだことです。対数値は底に付ける指数であり、真数はその累乗の結果です。

図3のように、-3を指数の位置に置けば、5の-3乗 = 1/125です。真数は正だと確認できます。もし真数を-1/125と置けば、正の底5の実数乗で負数を作る必要があり、定義の条件にも反します。

別の失敗は、底が1でも真数が正ならよいと考えることです。例えば底1、真数1では指数を0としても2としても累乗の結果は1です。値を一意に決められないので対数として扱えません。真数が正かどうかに加え、底が正で1でないかを別々に確認します。

また、底が負の場合に、たまたま整数乗で正の数が得られても、この定義の対数の底にはできません。整数の指数で成立する一例から、実数を指数とする対数の定義へ飛び移らないようにします。条件に合わなければ、計算を続ける前に「定義されない」と判断します。

練習：条件から読み直す5問

次の問いはそれぞれ独立です。対数が定義されるかを先に調べ、答えは指定の形で書いてください。

1. log₂ (1/16)の値を整数で求めてください。
2. 底が1/4、真数が64の対数の値を整数で求めてください。
3. 底が6、対数値が-2のとき、真数を分数で求めてください。
4. 底が(t+2)、真数が(t-1)の対数が定義される実数tの範囲を不等式で求めてください。
5. 底が(y+2)、真数が(y+8)の対数が2となる実数yをすべて求め、整数で表してください。

解答と考え方

1. 底2は正で1ではなく、真数1/16は正です。値をrとすると、定義から2のr乗 = 1/16です。

1/16 = 1/(2⁴)
     = 2の-4乗
r = -4

2の-4乗 = 1/16と元の真数へ戻るので、答えは-4です。-4は指数であって真数ではありません。

2. 底1/4は正で1ではなく、真数64は正です。値をsとして底を4に直します。

(1/4)のs乗 = 64
4の-s乗 = 4³
-s = 3
s = -3

(1/4)の-3乗 = 4³ = 64です。元の底を使った検算でも真数が一致します。答えは-3です。

3. 底6は正で1ではありません。真数をNとすると、定義より次のようになります。

N = 6の-2乗
  = 1/(6²)
  = 1/36

1/36は正なので真数の条件にも合います。6の-2乗がこの分数になるため、対数値は確かに-2です。

4. 底と真数について、定義の条件を別々に書きます。

t+2 > 0
t+2 ≠ 1
t-1 > 0

それぞれt>-2、t≠-1、t>1です。共通範囲はt>1で、この範囲には除外する-1が含まれません。例えばt=2では底4、真数1で定義されます。境界t=1では真数が0なので含めません。答えはt>1です。

5. 底の条件はy+2>0かつy+2≠1、真数の条件はy+8>0です。共通範囲はy>-2かつy≠-1です。この範囲で定義を用います。

(y+2)² = y+8
y²+4y+4 = y+8
y²+3y-4 = 0
(y+4)(y-1) = 0
y = -4 または 1

-4は底が負となるため除きます。1では底3、真数9となり、3² = 9ですから対数値は2です。答えはy = 1です。方程式の候補を列挙した後に元の条件と照合することで、定義されない候補を残さずに済みます。

覚えておくこと

• 底は正で1ではなく、真数は正です。
• logₐ M = pは、aのp乗 = Mを意味します。
• 負の対数値は負の指数を意味し、真数は正です。
• 文字の候補は底と真数の条件へ戻して選びます。

説明を聞いて確かめたいこと

対数値が負の例で、指数の位置に負号を移し、その累乗が正になる理由まで言えるかを確かめます。底を逆数に変えたときには、真数を固定したまま指数の符号がどう変わるかを尋ねます。文字を含む場合には、底と真数の条件を別々に書き、方程式の候補を元の式に戻す順番を見ます。

個別指導では、式の正誤だけでなく、例えば底が1のときに指数が決まらない理由を本人の言葉で説明してもらいます。負号の場所を指しながら指数の式に戻せれば、対数の記号を意味のある式として読めます。