高校数学II 指数方程式の基本—共通の底に直して指数どうしを等しく置く理由を学ぶ｜武蔵野個別指導塾

底をそろえる一次式と二次式の例から、解なしの場合や指数の比較が成立する理由までたどる題材は指数方程式です。

高2が指数の違う式を見て、底の数字だけを等しく置いてしまう場面があります。たとえば左辺と右辺で指数の形が違うとき、底の数字を比べるだけでは、何乗した結果が等しいのかが残ります。指数方程式では、まず両辺を同じ底の累乗に直し、次に指数を比べます。その順序と根拠を、解がない場合も含めて確かめましょう。

何をそろえ、何を求めるか

指数方程式は、未知数が指数の部分に現れる方程式です。ここでは実数 x を求めます。数学IIでは指数関数の変化とグラフを学び、その増減を使って等式を読み取れます。必要なのは正の底についての指数法則と、一次方程式・二次方程式の解き方です。

出方の1つは、異なる数に見える底を同じ数の累乗に直す型です。たとえば 4 と 8 はともに 2 の累乗です。もう1つは、負の指数や逆数を使って底をそろえる型です。さらに、指数に二次式があると、指数どうしを等しく置いた後に二次方程式を解く型になります。

どの型でも、変形は等式を保つように行います。底が同じになったことは出発点であり、答えではありません。指数の方程式を解いてから、元の等式に代入し、両辺が実際に一致するかを確認します。逆に、底が同じでない段階で指数だけを等しく置いても、一般には正しい結論になりません。

単調性が指数の比較を支える

a > 0 かつ a ≠ 1 のとき、指数関数 y = aˣ は実数全体で定義され、値は常に正です。a > 1 なら x が増えると値は増加し、0 < a < 1 なら x が増えると値は減少します。どちらの場合も、異なる2つの指数は異なる値に対応します。したがって実数 A、B について、次の同値関係が成り立ちます。

aのA乗 = aのB乗  ⇔  A = B

右から左は同じ数を同じ指数で累乗することによります。左から右は、指数関数が単調に増加または減少するためです。増加と減少は向きが逆でも、異なる指数に同じ値を割り当てない点は共通です。ここでの等式では不等号の向きを変える作業はありません。

図1のように、底が正で1ではないことを確認してから、同じ底の両辺の指数を比較します。底が1なら指数が異なっても値は常に1で、比較の結論は使えません。たとえば 1² = 1³ ですが、2 = 3 ではありません。底が負の場合も、実数の指数を自由に使うこの議論の対象にはしません。

底をそろえるときは、底だけでなく指数全体に累乗の法則を適用します。a > 0 なら、aのm乗をさらにn乗した式は aの(mn)乗です。指数が和なら、括弧を外す際に全項へ掛けます。逆数は負の指数で表し、たとえば aの(-u)乗は aのu乗の逆数です。正の数の累乗は0にも負の数にもならないので、片側が0以下の式では、同じ正の底に直す前に解の有無を判断できることがあります。

基本例題：異なる底を2に直す

次の方程式を解き、実数 x を整数または分数で答えます。

4の(x+1)乗 = 8の(x-1)乗

4 = 2²、8 = 2³ です。共通の底 2 は正で1ではありません。累乗の指数法則を使うと、左辺の指数は 2(x+1)、右辺の指数は 3(x-1) です。

(2²)の(x+1)乗 = (2³)の(x-1)乗
2の[2(x+1)]乗 = 2の[3(x-1)]乗
2(x+1) = 3(x-1)
2x + 2 = 3x - 3
x = 5

3行目では、底2の指数関数が増加することを使いました。2行目からいきなり底の2を消したと考えるより、両辺が同じ値になる指数は同じだと考えると条件が残ります。方程式を解く途中で同値な変形を行ったので、候補は x = 5 に限られます。

図2のように、元の底を直す操作と指数を比べる操作を分けます。元の式へ x = 5 を戻すと左辺は 4⁶ = 4096、右辺は 8⁴ = 4096 です。両辺が一致し、求めた値は確かに解です。検算では、指数を比較した後の一次式だけでなく、最初に与えられた2つの累乗を計算します。

基本例題の別の確認として、指数の値そのものを見比べることもできます。x = 5 のとき、底2に直した指数は左辺が 2(5+1) = 12、右辺が 3(5-1) = 12 です。元の4と8の指数はそれぞれ6と4で異なりますが、底2に直した後はどちらも12です。元の指数が等しい必要はないことが、この対応から見えます。

反対に x = 0 を試すと、左辺は4、右辺は1/8で一致しません。1つの値が解でないことは代入で示せますが、代入を繰り返すだけでは他の値をすべて調べたことにはなりません。共通の底による同値変形と一次方程式を使えば、候補が5以外にないことまで説明できます。

標準例題：逆数を使って指数をそろえる

次の方程式を解き、実数 x を整数または分数で答えます。

(1/9)の(x-2)乗 = 27の(x+1)乗

1/9 = 3⁻²、27 = 3³ です。底3は正で1ではないので、指数を比較できます。左辺の負号は括弧内の両方の項に掛かります。

(3⁻²)の(x-2)乗 = (3³)の(x+1)乗
3の[-2(x-2)]乗 = 3の[3(x+1)]乗
-2(x-2) = 3(x+1)
-2x + 4 = 3x + 3
1 = 5x
x = 1/5

元の式では x − 2 = -9/5、x + 1 = 6/5 です。左辺は (3⁻²)の(-9/5)乗であり、3の(18/5)乗です。右辺も (3³)の(6/5)乗、つまり3の(18/5)乗になります。両辺が一致し、分数の候補も解です。

別の見方では、両辺を底1/3に直せます。その場合は左辺が (1/3)の[2(x-2)]乗、右辺が (1/3)の[-3(x+1)]乗です。底は1より小さいものの正で1ではないため、指数を等しく置けます。得られる式は先ほどの指数の式を両辺とも -1 倍したものです。選ぶ共通の底が違っても、元の等式を保てば同じ解になります。

負号を1項にしか掛けなければ、別の方程式を解いてしまいます。また 1/9 を 3⁻¹ とするのも誤りです。3⁻² = 1/3² = 1/9 と一度書けば、逆数と指数の両方を点検できます。

発展例題：二次の指数と解の個数

次の方程式を解き、実数解をすべて整数または分数で答えます。

16の(x²-1)乗 = 8の(2x+2)乗

16 = 2⁴、8 = 2³ なので、正で1ではない底2に統一します。指数法則の後に指数どうしを等しく置きます。

(2⁴)の(x²-1)乗 = (2³)の(2x+2)乗
2の[4(x²-1)]乗 = 2の[3(2x+2)]乗
4(x²-1) = 3(2x+2)
4x² - 4 = 6x + 6
4x² - 6x - 10 = 0
2x² - 3x - 5 = 0
(2x - 5)(x + 1) = 0
x = 5/2 または x = -1

x = 5/2 のとき、元の左辺の指数は 21/4、右辺の指数は 7 です。左辺は (2⁴)の(21/4)乗 = 2²¹、右辺は (2³)⁷ = 2²¹ となります。x = -1 のときは両方の指数が0なので、元の両辺はともに1です。どちらも元の等式に合います。

指数関数の単調性による同値変形の後、二次方程式の因数を余さず調べたため、ほかの実数解はありません。指数が二次式なら解が必ず2個という意味ではありません。指数を等しく置いた後の二次方程式が重解を持つことも、実数解を持たないこともあります。

たとえば 5の(x²+2)乗 = 5の(2x)乗 なら、底5の条件を確認して x² + 2 = 2x と置きます。これは (x-1)² + 1 = 0 です。実数の平方は0以上なので左辺は1以上となり、実数解はありません。グラフの増減を使う前に、正しい共通の底になっていることを確認する点は、解がある場合と同じです。

誤答から、比較する対象を直す

基本例題で「4と8が違うので等しくならない」とする答えを考えます。底は違っても指数も違えば累乗の値は一致し得ます。実際、x = 5 では 4⁶ と 8⁴ がともに4096です。底の数字だけを比較したことが誤りの原因です。

別の誤りは、4の(x+1)乗を2の(x+1)乗と直すことです。4 = 2² ですから、指数全体を2倍しなければ元の値を保てません。たとえば x = 0 では元の左辺は4ですが、誤った式は2です。正しくは 2の[2(x+1)]乗としてから、もう一方の指数と比べます。

図3のように、底を同じ数に直す矢印には、外側の指数も掛けるという操作が必要です。元の底が異なるまま指数を等しく置くこともできません。4² = 8² は成り立たず、指数が同じという情報だけでは累乗の値の一致を保証しないからです。底と指数のどちらを比較しているかを、各行で声に出して区別すると修正しやすくなります。

練習問題

次の各方程式について、実数解をすべて整数または分数で答えてください。解がない場合はその旨を答えます。

1. 9の(x+1)乗 = 27の(x-1)乗
2. (1/4)の(x+1)乗 = 8の(x-2)乗
3. 25の(x²)乗 = 5の(x+10)乗
4. 7の(x²+4)乗 = 7の(4x)乗
5. 16の(x²+1)乗 = 4の(4x-3)乗

解く前にそれぞれ共通の底を決め、その底が正で1ではないことを書いてみましょう。二次式が現れたら、解の個数も因数分解や平方完成から判断します。

解答と解き方

1. 9 = 3²、27 = 3³ で、底3は正で1ではありません。

3の[2(x+1)]乗 = 3の[3(x-1)]乗
2(x+1) = 3(x-1)
2x + 2 = 3x - 3
x = 5

元の左辺は 9⁶ = 531441、右辺は 27⁴ = 531441 です。底が違っても等しくなり、解は x = 5 です。

2. 1/4 = 2⁻²、8 = 2³ で、底2は正で1ではありません。

2の[-2(x+1)]乗 = 2の[3(x-2)]乗
-2(x+1) = 3(x-2)
-2x - 2 = 3x - 6
4 = 5x
x = 4/5

元の左辺は (1/4)の(9/5)乗 = 2の(-18/5)乗、右辺は 8の(-6/5)乗 = 2の(-18/5)乗です。負の指数のまま正確に一致するので、解は x = 4/5 です。

3. 25 = 5² であり、底5は正で1ではありません。

5の(2x²)乗 = 5の(x+10)乗
2x² = x + 10
2x² - x - 10 = 0
(2x - 5)(x + 2) = 0
x = 5/2 または x = -2

x = 5/2 のとき、元の左辺は (5²)の(25/4)乗 = 5の(25/2)乗、右辺も 5の(25/2)乗です。x = -2 のとき、左辺は 25⁴ = 5⁸、右辺も 5⁸ です。2つの候補はいずれも元の等式を満たします。

4. 底7は正で1ではないので、指数を比べて平方完成します。

x² + 4 = 4x
x² - 4x + 4 = 0
(x - 2)² = 0
x = 2

元の左辺と右辺の指数はいずれも8で、両辺とも 7⁸ です。重解は同じ値を2回数えず、実数解は x = 2 です。

5. 16 = 4² で、底4は正で1ではありません。

4の[2(x²+1)]乗 = 4の(4x-3)乗
2(x²+1) = 4x - 3
2x² - 4x + 5 = 0
2(x - 1)² + 3 = 0

左辺は実数 x に対して3以上なので、この等式は成立しません。したがって実数解はありません。元の式でも左辺の底4の指数と右辺の指数の差が常に3以上ですから、同じ値にはならないと確認できます。

覚えておくこと

• 共通の底は正で1ではない数を選びます。
• 累乗の累乗では指数全体を掛けます。
• 同じ底の単調性から指数を等しく置きます。
• 二次方程式では重解や解なしも調べます。
• 得られた候補は元の等式へ戻します。

途中の説明で見えるつまずき

底をそろえた行を示してもらうと、逆数の負号と括弧の掛け算をどこで取り違えたかが見えます。指数を等しく置く理由を尋ね、底が1のときに同じ議論が通るかも比べると、単なる計算手順として覚えていないかを確かめられます。

個別指導では、解が2つある式と解がない式を並べ、指数の方程式から元の式へ戻す説明を確認します。候補がないときも平方が負になれない理由を言葉にできれば、途中で計算を止めたのではなく、解の不存在を示したと判断できます。指数の比較には、底の条件と単調性が根拠として残ります。