高校数学II 増減表の作り方—導関数の符号を区間ごとに調べて矢印を決める｜武蔵野個別指導塾

零点の前後の符号、重解、閉区間の端点を具体例で読み、矢印の根拠から増減表を描き直します。

よくあるのは、導関数が零になる x を求めて増減表の上段に並べたところで、矢印を記憶だけで書いてしまう場面です。零点の個数だけでは、各区間で元の関数が上がるか下がるかは決まりません。式の符号を区間ごとに確かめ、表の矢印と対応させると、計算の途中も読み返せるようになります。

最初に何を仕分けるか

増減表の問題には、全実数での増減を調べる型と、指定された閉区間の中で調べる型があります。前者では導関数の実数の零点を境に数直線を分けます。後者ではまず両端を記し、区間の内部にある零点を挟みます。区間外の零点は符号を考える材料にはなりますが、表の対象区間の内部に並べません。

もう一つの型は、導関数の零点が重なっている場合です。零点を通過しても導関数の符号が変わらないことがあります。零点の左右に必ず逆向きの矢印を書くという手順は使えません。零点の位置と、その間の符号を別々の情報として扱います。

答えに必要なのは、どの範囲で増加し、どの範囲で減少するかです。関数値を求めるよう指定された場合には、零点や端点に元の関数を代入します。導関数に代入した値と混同しないように、表の行を分けて書きます。

符号から矢印への橋渡し

関数 f がある区間で連続で、その内部で微分可能だとします。その内部で常に f′(x) > 0 なら f はその区間で増加し、常に f′(x) < 0 なら減少します。多項式は実数全体で連続かつ微分可能なので、ここで扱う多項式にはこの判定を適用できます。区間の端で導関数が零でも、内部の符号から閉じた端を含む区間の増減を読み取れます。

図1のように、導関数の正は右上がり、負は右下がりの矢印に対応します。矢印は x を左から右へ動かしたときの関数値の変化を表し、導関数そのものの値が増える方向ではありません。導関数が零の列には 0 を書き、元の関数の行には必要に応じてその点の値を書きます。

図1の対応を使う前に、区間の中で符号が一定であることを確かめます。多項式の導関数を因数分解できれば、各因数の符号を掛け合わせられます。連続な導関数は、零点のない区間で符号を変えないため、その区間の適当な1点を代入する方法も使えます。零点自体では値が 0 なので、区間の代表点として使いません。

例えば導関数が (x − a)(x − b)、a < b なら、a の左では両因数が負で積は正、a と b の間では負と正の積が負、b の右では両因数が正で積は正です。係数が負ならこの結果を反転します。一方、(x − a)² は a の両側で正です。零点を越えたという理由だけで符号を反転することはできません。

閉区間では、端点とその関数値を表に残します。端点の外側に矢印を延ばさず、端点が導関数の零点ならその列に 0 と記します。端点の外でどう変化するかは、指定された範囲の増減を答えるためには不要です。

符号を調べる順番を固定する

導関数を因数分解したら、まず零点を小さい順に書きます。因数の並び順が x の大小順とは限らないためです。そのうえで各区間について、係数と各因数が正か負かを別々に記録します。負の因数が2個なら積は正、1個なら積は負です。値を代入する方法と因数の符号を追う方法の両方が一致すれば、符号の取り違えを見つけやすくなります。

因数分解が難しいときも、零点が求まる二次式なら、二次関数のグラフと軸との位置関係から符号を調べられます。ただし導関数のグラフが上向きか下向きかは、二次の係数で確かめます。元の関数のグラフの向きと混ぜず、いま見ている式が f′(x) であることを表の行に明記します。

零点が区間の端と一致する場合は、その点を二重に並べる必要はありません。端点の列に零点としての 0 と関数値を記し、区間の内側に向かう矢印を1本書きます。端点が零点でない場合には、必要なら導関数の値を記しても構いませんが、矢印は隣接する内部の符号によって決まります。表を作る前に対象範囲を数直線に書けば、この違いを整理できます。

基本例題：2つの零点の間を調べる

関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 の実数全体での増減を調べ、零点での関数値を整数で示してください。

多項式なので連続かつ微分可能です。まず導関数を計算して因数分解します。

f′(x) = 3x² - 6x - 9
       = 3(x² - 2x - 3)
       = 3(x + 1)(x - 3)
f′(x) = 0 のとき x = -1, 3

x < -1 では2因数がともに負なので f′(x) > 0 です。-1 < x < 3 では前の因数が正、後の因数が負なので f′(x) < 0 です。3 < x では両方とも正なので f′(x) > 0 です。たとえば各区間の -2、0、4 を代入しても順に正、負、正と確かめられます。

元の関数に零点を代入します。

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + 2
      = -1 - 3 + 9 + 2
      = 7
f(3) = 3³ - 3・3² - 9・3 + 2
     = 27 - 27 - 27 + 2
     = -25

図2のように、上段の区切りと符号をそろえてから矢印を入れます。f は x ≤ -1 と x ≥ 3 のそれぞれで増加し、-1 ≤ x ≤ 3 で減少します。各端の等号はその点を増減区間に含める意味であり、端点で導関数が正または負という意味ではありません。

図2の 7 と -25 は元の式に戻して得た値です。f′(-1) = 0、f′(3) = 0 も因数から確認でき、区切りの位置と値の行は別々に検算できます。

標準例題：端点を含む表

g(x) = -x³ + 3x² + 9x − 1 について、閉区間 -2 ≤ x ≤ 2 での増減と両端・内部の零点での関数値を整数で示してください。

g′(x) = -3x² + 6x + 9
       = -3(x + 1)(x - 3)
g′(x) = 0 のとき x = -1, 3

g は多項式なので、対象区間で連続かつ内部で微分可能です。3 は右端 2 より外にあるため、区間内の区切りは -1 です。-2 < x < -1 では2因数はともに負で、負の係数を掛けると g′(x) < 0 です。-1 < x < 2 では因数の符号が正と負なので g′(x) > 0 です。

g(-2) = -(-2)³ + 3(-2)² + 9(-2) - 1
      = 8 + 12 - 18 - 1
      = 1
g(-1) = -(-1)³ + 3(-1)² + 9(-1) - 1
      = 1 + 3 - 9 - 1
      = -6
g(2) = -2³ + 3・2² + 9・2 - 1
     = -8 + 12 + 18 - 1
     = 21

表は次のようになります。空欄は区間を表す列です。

したがって -2 ≤ x ≤ -1 で減少し、-1 ≤ x ≤ 2 で増加します。端点を含む各区間で値の向きも 1 から -6、-6 から 21 と一致します。区間外の 3 を表に書き込むと、指定外の増減まで答えたように見えてしまいます。

発展例題：重なった零点を通る

h(x) = 2x³ − 12x² + 24x + 1 について、閉区間 0 ≤ x ≤ 4 の増減を調べ、端点と導関数の零点での関数値を整数で示してください。

h′(x) = 6x² - 24x + 24
       = 6(x² - 4x + 4)
       = 6(x - 2)²
h′(x) = 0 のとき x = 2

h は多項式なので連続かつ微分可能です。2 の左右では二乗が正なので、どちらでも h′(x) > 0 です。x = 2 で一瞬傾きが零になっても、左右で増加の方向は変わりません。

h(0) = 1
h(2) = 2・2³ - 12・2² + 24・2 + 1
     = 16 - 48 + 48 + 1
     = 17
h(4) = 2・4³ - 12・4² + 24・4 + 1
     = 128 - 192 + 96 + 1
     = 33

0 から 2、2 から 4 までそれぞれ増加し、境界の値も共通なので、閉区間全体で増加します。端点と中間の値も 1 < 17 < 33 です。この値の大小だけで途中の増加を証明したわけではなく、左右の導関数の符号が根拠です。実際、異なる2点が 2 をまたぐときも、それぞれの区間の増加をつなげると左の値が右の値より小さくなります。

間違えた表を直す

基本例題で、零点 -1 と 3 を見つけた後、右端の区間も負だと決めて矢印を下向きにする誤りを考えます。零点が2つあることだけでは、その先の符号は決まりません。図3のように、x > 3 では x + 1 と x − 3 の両方が正です。正の 3 を掛けても正なので、右側の矢印は上向きに直します。

図3の修正は、代表点 x = 4 の代入でも確認できます。f′(4) = 3・5・1 = 15 > 0 です。逆に x = 3 を入れると 0 しか出ず、右側の符号は判定できません。さらに、因数分解の先頭の係数を落としてしまうと、係数が負の問題では表全体の向きが逆になります。因数と係数の符号を最後まで掛け合わせてください。

重解を通常の零点と同じように扱う誤りにも注意します。発展例題の 6(x − 2)² は、2 の左右で正です。零点を通るたびに符号を反転する規則を機械的に適用せず、それぞれの区間で符号を調べ直します。矢印が同じ向きで続く表も正しい表です。

手を動かす5問

次の各問で増減区間を示し、指定された点の関数値を整数または分数で答えてください。いずれも多項式なので、対象範囲で連続かつ内部で微分可能です。問題を先に解いてから後の解答を見てください。

1. p(x) = x² − 8x + 5 の実数全体の増減と、導関数の零点での値を求めます。
2. q(x) = -x² − 6x + 2 の実数全体の増減と、導関数の零点での値を求めます。
3. r(x) = x³ − 12x + 4 の実数全体の増減と、導関数の零点での値を求めます。
4. s(x) = x³ − 6x² + 12x − 3 の閉区間 1 ≤ x ≤ 3 の増減と、端点および導関数の零点での値を求めます。
5. t(x) = x³ − 3x² の閉区間 0 ≤ x ≤ 1 の増減と両端の値を求めます。

答えとたどり方

1

p′(x) = 2x - 8
       = 2(x - 4)
p′(x) = 0 のとき x = 4
p(4) = 4² - 8・4 + 5
     = -11

4 の左で導関数は負、右で正です。よって x ≤ 4 で減少、x ≥ 4 で増加します。元の式への代入で値 -11 を確認でき、例えば p(3) = -10、p(5) = -10 は零点の両側での向きと整合します。

2

q′(x) = -2x - 6
       = -2(x + 3)
q′(x) = 0 のとき x = -3
q(-3) = -(-3)² - 6(-3) + 2
      = 11

-3 の左では導関数が正、右では負です。x ≤ -3 で増加、x ≥ -3 で減少します。q(-4) = 10、q(-2) = 10 となり、求めた値の前後の向きにも合います。

3

r′(x) = 3x² - 12
       = 3(x + 2)(x - 2)
r′(x) = 0 のとき x = -2, 2
r(-2) = (-2)³ - 12(-2) + 4
      = 20
r(2) = 2³ - 12・2 + 4
     = -12

左右の外側で正、2つの零点の間で負です。したがって x ≤ -2 と x ≥ 2 のそれぞれで増加し、-2 ≤ x ≤ 2 で減少します。r′(-2) = r′(2) = 0 であり、関数値も元の式から確かめられます。

4

s′(x) = 3x² - 12x + 12
       = 3(x - 2)²
s′(x) = 0 のとき x = 2
s(1) = 1 - 6 + 12 - 3
     = 4
s(2) = 8 - 24 + 24 - 3
     = 5
s(3) = 27 - 54 + 36 - 3
     = 6

2 の左右とも導関数は正です。1 ≤ x ≤ 2 と 2 ≤ x ≤ 3 で増加し、合わせて 1 ≤ x ≤ 3 で増加します。値 4、5、6 は元の式への代入で得られ、増加の向きとも合います。

5

t′(x) = 3x² - 6x
       = 3x(x - 2)
t′(x) = 0 のとき x = 0, 2
t(0) = 0
t(1) = 1 - 3
     = -2

零点 0 は左端、2 は区間外です。0 < x < 1 では x が正、x − 2 が負なので導関数は負です。したがって 0 ≤ x ≤ 1 で減少します。端点の値は 0 から -2 に下がり、式に戻した値とも一致します。端点で導関数が零でも、内部の符号を調べれば矢印を決められます。

持ち帰る手順

導関数の零点と対象区間の端点を並べます。
各区間で導関数の符号を調べます。
正なら上向き、負なら下向きの矢印を書きます。
必要な関数値は元の式へ代入します。

表が止まったときに確かめること

零点を出せても矢印が書けないときは、区間を1つ選び、その中の数を導関数に代入して符号を声に出して説明してみてください。代表点が境界そのものなら、区間の内側の別の数を選び直します。因数の符号を記号で並べると、負の係数を掛け忘れた場所も見つけやすくなります。

閉区間の問題で表が長くなりすぎたら、最初に端点を線で囲み、零点が内部か端点か外部かを分けます。個別に説明を確かめるときには、例えば「この範囲で両因数は何符号か」「端点の値はどの式に代入するか」と問い直せます。零点と符号を別々に書けば、増減表の矢印には理由が残ります。