高校数学II 二次式の最大最小—三角関数を置いた変数の範囲と放物線の軸を比べる｜武蔵野個別指導塾

sin θをtに置いた後、実際の変域と放物線の軸を比べます。頂点が範囲外の例や、同じ最小値を取る2つの角を確認できます。

よくあるのは、高2が三角関数を文字に置き換えた後、その文字を実数全体に広げてしまう場面です。平方完成は正しくても、放物線の頂点が実際に動ける範囲の外にあれば、その頂点の値は元の式では実現しません。角の範囲から置いた文字の範囲を作り、軸と端点を比べ、最後にその値を取る角へ戻す順序で考えます。

どこを比べる問題か

三角関数を含む二次式では、まず同じ三角関数の一次と二次にそろえます。ここでsin²θは(sin θ)²を表します。たとえばsin²θとsin θだけならt = sin θと置くと、tの二次関数になります。ただし、θの範囲が決まるとtの範囲も決まり、放物線全体を使えるとは限りません。

出方は主に3通りです。角が1周以上動き、sin θが-1から1まで取る場合は、その閉区間で軸と端点を比べます。角が短い区間に制限される場合は、単位円の高さや横座標を追って実際の変域を先に調べます。さらに軸が変域の外にある場合は、頂点の値を候補に入れず、両端のどちらに近いかを考えます。

最大値と最小値の数だけでは答えが完成しません。最適なtが元の角で実現することを示し、指定区間にあるθを過不足なく挙げます。同じtに複数の角が対応する場合もあります。端点を含まない条件では、その値に近づけても実際には取れないことがあるため、最大値や最小値が存在するかも調べます。

変域という制限を図に載せる

単位円上の点の縦座標がsin θ、横座標がcos θです。角が動くと座標も動きますが、どちらの座標も-1以上1以下です。角が区間の一部に限られる場合は、円周上の対応する弧をたどり、その間に座標がどこまで動くかを見ます。端点の値だけでなく、弧の途中で1や-1に達するかも確認します。

たとえば0 ≤ θ ≤ πなら、上半円を通るためsin θは0から1までの値をすべて取ります。両端で0、途中のπ/2で1です。一方、同じ区間のcos θは1から-1まで動きます。0 ≤ θ ≤ π/3ならsin θの変域は0 ≤ t ≤ √3/2です。この区間では高さが増えることを単位円から読めます。

図1のように、tの動く部分を横軸上の線分として描き、二次関数の軸を重ねます。軸が線分の内側なら頂点は候補です。軸が外側なら、線分に含まれない頂点の値は取れません。上に開く放物線では軸に近いほど値が小さく、遠いほど大きくなります。下に開く場合は大小が逆です。端点が軸から等距離なら、両端で同じ値を取ります。

平方完成でy = a(t-p)²+qと書ければ、軸はt = pです。aが正ならqは放物線全体の最小値ですが、制限された変域にpが入らなければ元の式の最小値ではありません。aが負のときも同じように、頂点が使えるかを調べます。a = 0なら二次関数ではなく一次式または定数なので、傾きと端点で判断します。

変域を作るとき、区間の端の値を計算するだけでは足りないことがあります。たとえば角が0から3π/2まで動くと、sin θは両端の0と-1の間だけでなく、途中のπ/2で1にも達します。円周を移動する道筋全体を見ることで、途中にある高さの最高点や最低点を拾えます。cos θなら左右の端に当たる角を同じように調べます。

また、放物線と線分の比較は、不等式でも確かめられます。上に開き、軸が変域の左側にあるとき、変域内のt − pは正です。tが増えるとその二乗も増えるので、左端で最小、右端で最大です。軸が右側なら距離の増減が逆になります。図を描きにくいときも、軸までの距離を数で比べれば判断できます。

基本例題：頂点が変域の中にある場合

0 ≤ θ ≤ πにおいて、y = sin²θ − sin θ + 2の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めます。値は分数、角はπを用いた厳密な形で答えます。

t = sin θと置きます。指定された半円では高さが0から1まで動くので、0 ≤ t ≤ 1です。両端も含まれ、途中の値もすべて実現します。式を平方完成すると、

y = t² - t + 2
  = (t - 1/2)² + 7/4

軸t = 1/2は変域の内部にあります。図2のように頂点で最小となり、その値は7/4です。最大値は軸から最も遠い端点で調べます。0と1は軸からともに1/2離れているので、どちらでもy = 2です。

最小値の条件はsin θ = 1/2です。指定された上半円ではθ = π/6、5π/6です。最大値の条件はsin θ = 0または1なので、θ = 0、π/2、πです。各角は指定区間に入っています。実際に高さを元の式へ戻すと、1/2では1/4 − 1/2 + 2 = 7/4、0と1では2となり、求めた値と一致します。

この例では両端が同じ値でしたが、常に両端が同じとは限りません。軸の位置がずれれば距離も変わります。平方完成した後に変域の両端を代入して比べれば、図の見た目に頼らず判断できます。

標準例題：軸が変域の外にある場合

0 ≤ θ ≤ π/6において、y = sin²θ − 2 sin θ + 3の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めます。値は分数、角はπを用いて答えます。

この区間の単位円の高さは0から1/2まで増えるため、t = sin θと置くと0 ≤ t ≤ 1/2です。平方完成すると、

y = t² - 2t + 3
  = (t - 1)² + 2

軸t = 1は変域の右外にあります。tが0から1/2へ動くと軸までの距離は1から1/2に減るので、yも減ります。端点を計算すると、

y(0) = 3
y(1/2) = 9/4

最大値は3でθ = 0、最小値は9/4でθ = π/6です。最小値は指定どおり分数で表しています。両角を原式に代入するとそれぞれsin θ = 0、1/2となり、値も一致します。頂点の2はt = 1を必要としますが、この角の範囲では高さが1/2を超えないため取れません。

発展例題：途中の角で変域の端に達する場合

π/3 ≤ θ ≤ 3π/2において、y = -2 cos²θ − 2 cos θ + 1の最大値と最小値、およびそれぞれを取るθを求めます。値は分数、角はπを用いた厳密な形で答えます。

両端のcosの値は1/2と0です。しかし円周をたどる途中のθ = πで横座標が-1になります。したがってt = cos θの実際の変域は-1 ≤ t ≤ 1/2です。端点の値だけから0 ≤ t ≤ 1/2とすることはできません。

y = -2t² - 2t + 1
  = -2(t + 1/2)² + 3/2

軸t = -1/2は変域内にあり、下に開くため最大値は3/2です。cos θ = -1/2を指定範囲で満たす角はθ = 2π/3、4π/3です。最小値は軸から遠い端点で取ります。-1までの距離は1/2、1/2までの距離は1なので、後者を選びます。

y(1/2) = -2・(1/2)² - 2・(1/2) + 1
       = -1/2

cos θ = 1/2を指定範囲で満たすのはθ = π/3です。したがって最小値は-1/2です。3つの角を元の式に戻すと、横座標がそれぞれ-1/2、-1/2、1/2であり、算出した値を実際に取ります。途中のπで得るt = -1も検討範囲に含めたことが、この比較の根拠です。

誤答をほどく：軸が使えないとき

標準例題で「平方完成すると(t − 1)² + 2だから最小値は2」と答える誤りを考えます。平方完成そのものは正しいのですが、t = 1を実現する角が指定区間にあるかを調べていません。元の角が0からπ/6までなら、sin θは1/2を超えません。

図3のように、使える線分の右端と軸には隔たりがあります。t = 1を候補から外し、使える区間で軸に最も近いt = 1/2を選びます。そこからθ = π/6へ戻して初めて、最小値9/4が実現することまで示せます。

別の失敗は、変域を正しく出した後で角への戻しを1つで打ち切ることです。たとえば基本例題のsin θ = 1/2には上半円で左右2点があります。元の区間を単位円に書き込み、同じ高さの交点を両方探します。端点が含まれない問題なら、交点が開いた端にあるかどうかも最後に判定します。

端点を比べる際には、それぞれを二次式に代入する方法も確実です。軸からの距離が等しい場合は値も等しくなりますが、距離が異なる場合にどちらが大きいかは放物線の開く向きで変わります。符号を見てから大小を決めます。

練習問題

各問で最大値と最小値が存在するかを調べ、存在するものの値とそれを取るθを求めてください。値は分数または根号を用いた厳密値、角はπを用いた厳密な形で答えます。

1. 0 ≤ θ ≤ 2πで、y = cos²θ + cos θ + 1。
2. 0 ≤ θ ≤ π/2で、y = -sin²θ + 2 sin θ + 1。
3. π/2 ≤ θ ≤ πで、y = cos²θ − 2 cos θ。
4. 0 ≤ θ ≤ 2π/3で、y = 2 cos²θ − 1。
5. 0 < θ < π/2で、y = sin²θ + 2 sin θ。

練習の解答と解き方

1

t = cos θとすると、1周するため-1 ≤ t ≤ 1です。

y = t² + t + 1
  = (t + 1/2)² + 3/4

軸は変域内なので最小値は3/4です。cos θ = -1/2よりθ = 2π/3、4π/3です。端点の値はy(-1) = 1、y(1) = 3なので、最大値は3です。cos θ = 1となるθ = 0、2πで取ります。どちらも指定区間に含まれ、対応する横座標を元の式へ戻すとこれらの値になります。

2

t = sin θは0 ≤ t ≤ 1を動きます。

y = -t² + 2t + 1
  = -(t - 1)² + 2

軸は右端にあるので、最大値は2でθ = π/2です。左端で最小値1を取り、θ = 0です。端点の高さ1と0を原式に代入して値を確認できます。軸が端点に重なる場合も、その端点を含むので頂点の値を取ります。

3

t = cos θと置くと、第2象限の弧では-1 ≤ t ≤ 0です。

y = t² - 2t
  = (t - 1)² - 1

軸1は変域の右外にあります。軸に近いt = 0で最小値0、遠いt = -1で最大値3です。それぞれθ = π/2、πに対応します。横座標0と-1を原式に戻せば0と3です。頂点の-1は指定された弧の横座標では実現しません。

4

t = cos θとすると、弧の横座標は1から-1/2まで動くので-1/2 ≤ t ≤ 1です。y = 2t² − 1の軸はt = 0で変域内です。最小値は-1で、cos θ = 0よりθ = π/2です。両端ではy(-1/2) = -1/2、y(1) = 1ですから最大値は1でθ = 0です。元の角を代入しても同じ値になり、指定区間の両端と内部を区別できます。

5

t = sin θは0 < t < 1を動きます。両端は含みません。

y = t² + 2t
  = (t + 1)² - 1

この範囲ではtが増えると正のt + 1も増えるので、yは増えます。0に近づけるとyは0に近づき、1に近づけると3に近づきますが、どちらも実際には取れません。よって最大値も最小値も存在しません。θ = 0やπ/2を代入すれば端の値は得られますが、どちらも問題の条件外です。内部のどの角を選んでも、さらに小さい角と大きい角を区間内に選べるので、候補を単に見落としたのではありません。

覚えておくこと

• 角の範囲から置換した文字の実際の変域を求めます。
• 軸が変域に入るかを調べ、両端との距離を比べます。
• 得られた文字の値を元の角に戻し、区間と端点を確かめます。
• 開いた端に近づくだけの値は最大値や最小値ではありません。

どの段階で止まっているか

途中式を見るときは、まず角の区間を単位円上に示し、高さまたは横座標の変化を言葉で説明できるかを見ます。次に、平方完成した軸が変域の中か外か、その位置によってどの点を比べるかを尋ねます。計算が合っていても変域の端を取り違えていれば、図に戻る必要があります。

個別指導で確かめる箇所は、候補の値から角へ戻す最後の段階にもあります。同じ高さの点が2つある場合、軸上の点、含まれない端点を区別し、答えた角を元の式へ代入してもらいます。変域と実現する角がつながれば、放物線の計算が元の問題の答えになります。