高校数学II 円の不等式と連立不等式の領域—内外と共通部分を境界の扱いまで描き分ける｜武蔵野個別指導塾

円板と半平面の共通部分で交点の所属を調べ、連立条件と積の不等式で塗る場所が変わる理由を整理できます。

よくあるのは、高2が二つの条件を満たす場所を求めるとき、それぞれの条件で塗った場所を合わせてしまう場面です。例えば円の内側で、さらに直線の上側という条件なら、両方に入る点が必要です。片方に入るだけの点を残すと、図は広すぎます。点を一つ選んで両方の式に戻す習慣をつけ、境界上の点も同じ方法で調べましょう。

どんな条件を重ねるか

円の不等式では、まず平方完成して中心と半径を読み、距離の大小から内側か外側かを決めます。等号があるかどうかは、円周を含むかどうかに対応します。円周の線を描いた後に考えるのではなく、不等号から先に決めます。

次に、円と直線、または二つの円の条件を連立する型があります。連立は「かつ」です。別々の図で塗った部分が重なる位置を取り、境界の各部分についても両方の条件を確認します。円周と直線の交点は、片方が等号を許さなければ入りません。

もう一つは二つの式の積の符号から領域を求める型です。積が正になるのは両方が正か両方が負の場合です。この二つの場合のどちらかを満たせばよく、連立条件を二組作って合わせます。積の不等式を見た瞬間に、二つの式がともに正だと決めることはできません。

距離と境界を式につなぐ

中心が (a, b)、半径が r の円を考えます。ただし r > 0 です。点 (x, y) から中心までの距離を d とすると、距離は負でなく、次の関係があります。

d² = (x - a)² + (y - b)²

したがって d < r と d² < r² は同値です。中心からの距離が半径より短い点は円の内部、等しい点は円周、長い点は外部にあります。図1のように、内部と外部の境目が円周です。等号付きなら境界を実線、等号なしなら破線で表すことにします。

図1の円では、中心からの距離が半径より小さい点が淡い部分にあります。例えば (x − a)² + (y − b)² ≤ r² は内部と円周を含み、同じ左辺が r² より大きい場合は円周を除く外部です。図の外側は紙の端で終わるわけではなく、座標平面のどこまでも続きます。

平方完成の結果が (x − a)² + (y − b)² ≤ 0 なら、二つの平方がともに0となる中心の一点です。右辺が負なら左辺は負になれず、≤ や < の条件を満たす点はありません。逆向きの不等号では、右辺が負なら全平面が条件を満たします。半径を負の数として描かず、まず平方和の最小値0と比べます。

二つの条件を同時に課すときは、一方の境界上でも他方が成り立つ場所だけを残します。境界を含む円板と、境界を含まない半平面の共通部分では、円周のうち半平面に入る部分は含みますが、直線上の点は含みません。交点も直線上なので含まれません。境界の線全体を一種類で描くとこの違いを見落とします。

基本例題：円板を直線で切る

問題：連立不等式 x² + y² ≤ 25、y > 3 の表す領域を図示してください。境界を含む部分と含まない部分、境界同士の交点の座標も示してください。

最初の式は、中心 (0, 0)、半径5の円の内部と円周を表します。次の式は直線 y = 3 より上の半平面で、直線自体は含みません。両方を満たす部分は図2の淡い部分です。図2の円周は実線、直線は破線です。

境界の交点は y = 3 を円の式へ戻して求めます。

x² + 3² = 25
x² + 9 = 25
x² = 16
x = 4 または x = -4

よって交点は (4, 3)、(-4, 3) です。どちらも y > 3 を満たさないので領域には入りません。一方、円周上で y > 3 の弧は円の等号を許し、直線の条件も満たすので含みます。線分 y = 3、-4 < x < 4 上の点は円の条件を満たしても直線の条件に失敗するため含みません。

内部の点 (0, 4) を試すと、0² + 4² = 16 ≤ 25、4 > 3 です。両方を満たすので塗った側と一致します。(0, 0) は円の条件を満たしますが、0 > 3 は成り立ちません。円板全体を塗る誤りは、この点を使うと見つけられます。反対に (0, 6) は直線の条件を満たしても円の外なので入りません。

交点を求めなくても上下の判定自体は可能ですが、正確な図には境目が必要です。交点を代入で求め、交点そのものを含むかを別に判定すると、実線と破線の切り替えが明確になります。

標準例題：二つの円の重なり

問題：x² + y² ≤ 25、(x − 6)² + y² ≤ 25 の表す共通部分を図示し、二つの円周の交点を座標で示してください。境界の包含も答えてください。

両方とも半径5で、中心はそれぞれ (0, 0)、(6, 0) です。中心間の距離は6で、半径の和10より小さく、半径の差0より大きいので円周は2点で交わります。共通部分は二つの円板が重なるレンズ形です。どちらの円周も等号を許しますが、共通部分の境界に使うのはもう一方の円板にも入る弧です。

交点では二つの等式が同時に成り立ちます。後の式から前の式を引きます。

(x - 6)² + y² - (x² + y²) = 0
x² - 12x + 36 + y² - x² - y² = 0
-12x + 36 = 0
x = 3

これを最初の円に代入します。

3² + y² = 25
y² = 16
y = 4 または y = -4

交点は (3, 4)、(3, -4) です。実際に各点を両方の式に戻すと、3² + 4² = 25、(3 − 6)² + 4² = 25 です。負の縦座標も二乗が同じなので両式を満たします。両方が等号を許すため交点も含みます。

差の式 x = 3 は交点を探すための条件であり、直線全体が二円の共通部分を表すわけではありません。例えば (3, 6) は差の式を満たしますが、最初の左辺が45となり25を超えます。図を描いたら、共通部分の点 (3, 0) が両方の円の内部であること、(0, 0) が後の円の外にあることも確かめます。

二円の境界が交わらない場合も、交点の計算を無理に続けず位置関係を考えます。離れた二つの円板の共通部分は空です。一方が他方に含まれる場合は小さい円板が共通部分です。接するときは等号の有無によって接点が入るかを個別に調べます。

発展例題：積の符号を場合分けする

問題：(x² + y² − 4)(x² + y² − 16) ≥ 0 の表す領域を図示し、円周を含むか答えてください。

二つの因数を A = x² + y² − 4、B = x² + y² − 16 とします。積が0以上になるのは、A ≥ 0 かつ B ≥ 0、または A ≤ 0 かつ B ≤ 0 の場合です。0を含めた両組を考えるので、どちらかの因数が0の場合も落ちません。

まず両方が0以上の場合を整理します。

x² + y² ≥ 4 かつ x² + y² ≥ 16
x² + y² ≥ 16

次に両方が0以下の場合を整理します。

x² + y² ≤ 4 かつ x² + y² ≤ 16
x² + y² ≤ 4

したがって答えは、原点を中心とする半径2の円の内部と円周、または半径4の円の外部と円周です。二つの円の間は含みません。原点では積が (-4)(-16) = 64 で正、(3, 0) では 5・(-7) = -35 で負、(5, 0) では 21・9 = 189 で正です。半径2と半径4の円周では、それぞれ一方の因数が0なので積も0です。

なお A ≥ 0 かつ B ≥ 0 は一組の連立です。それとは別に A ≤ 0 かつ B ≤ 0 があり、最後に二組を「または」で合わせます。積が負なら異符号の二組を考えます。等号がない積の不等式では、因数が0となる境界を除きます。

塗りすぎを直す

誤答：x² + y² ≤ 9、x ≥ 0 の領域として、円板全体と直線 x = 0 の右側全体を塗る。

この描き方は「円板に入る、または右側にある」という和集合です。図3の左では、円板の左半分や円の外の右側まで塗られています。例えば (-1, 0) は円板に入りますが x ≥ 0 に失敗し、(4, 0) は右側にありますが円の条件に失敗します。どちらも連立の答えには入りません。

修正は、二つの条件を別々に判定した後、重なった右半円板だけを残すことです。図3の右のように円周の右半分と、直径上の線分も含みます。(0, 3) と (0, -3) は両方の等号を満たし、(1, 0) は両方の条件を満たします。逆に境界上でも (0, 4) は円板の外なので入りません。

境界を判断するときに「等号があるから直線全部を含む」とするのも失敗です。等号はその条件単独で境界を許すという意味です。連立ではもう一方の条件を通過した部分だけが残ります。両条件に等号がある場合でも、境界の全体が答えになるわけではありません。

手を動かす5問

各問とも表す領域を図示し、境界のうち含む部分を示してください。交点を求める指示がある場合は座標で答えます。

1. (x − 2)² + (y + 1)² < 9 の領域を求めてください。
2. x² + y² ≤ 16、x < 0 の共通部分を求め、境界の交点を示してください。
3. x² + y² ≤ 16、(x − 8)² + y² ≤ 16 の共通部分を求めてください。
4. (x² + y² − 1)(x² + y² − 9) < 0 の領域を求めてください。
5. x² + y² − 4x + 2y + 6 ≤ 0 の領域を求めてください。

5問の解き方

1

中心 (2, -1)、半径3の円の内部です。不等号に等号がないので円周は含みません。中心を代入すると左辺は0で、0 < 9 を満たします。円周上の (5, -1) では左辺が9となり、条件を満たしません。図では円周を破線にし、その内側を塗ります。

2

円の中心は原点で半径4です。x < 0 は縦軸より左側で、縦軸は含みません。したがって左半円の内部と左側の円弧を取り、縦軸上を除きます。交点は x = 0 を円周の式に代入して求めます。

0² + y² = 16
y² = 16
y = 4 または y = -4

交点 (0, 4)、(0, -4) は x < 0 を満たさず、含みません。(-4, 0) は円周上で x が負なので含みます。(0, 0) は円の内部ですが x が0なので除きます。

3

二つの中心は (0, 0)、(8, 0)、半径はいずれも4です。中心間の距離8は半径の和と等しく、二つの円は (4, 0) で外接します。円板の共通部分はこの一点です。等号が両方にあるため接点を含みます。

実際、(4, 0) では両方の左辺が16です。さらに共通点では各中心からの距離が4以下なので、中心間距離8に達するには二つの距離がともに4で、点が二中心の間に並ぶ必要があります。その位置は (4, 0) です。円周を含まない条件なら接点も失われ、共通部分は空になります。

4

積が負なので、二つの因数は異符号です。x² + y² を t と置くと、t − 1 は t − 9 より常に8大きいため、前者が負で後者が正という組はありません。残る組を解きます。

t - 1 > 0 かつ t - 9 < 0
t > 1 かつ t < 9
1 < x² + y² < 9

答えは原点中心の半径1と半径3の円の間です。両方の円周で積が0になるため、どちらも含みません。(2, 0) では 3・(-5) = -15 となり条件を満たします。原点では積が9で正なので含みません。

5

平方完成して左辺を整理します。

x² - 4x + y² + 2y + 6 ≤ 0
(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 + 6 ≤ 0
(x - 2)² + (y + 1)² + 1 ≤ 0
(x - 2)² + (y + 1)² ≤ -1

平方の和は0以上なので、条件を満たす点はありません。中心に当たる (2, -1) に戻しても元の左辺は1です。右辺の負号を見落として半径1の円を描くと、存在しない点を答えに加えてしまいます。

覚えておくこと

円の不等式は中心からの距離で内外を決めます。
連立は各条件の共通部分を取ります。
積の符号は因数の符号を組に分けます。
境界と交点は元の各条件に戻して含むか判定します。

式に戻してつまずきを見つける

塗る場所に迷ったら「この点は最初の条件と次の条件を両方満たしますか」と問い、座標を代入します。図の中央にある点だけでなく、片方の条件に失敗する点も試すと、和集合に広げた誤りを発見できます。交点については等号の有無をそれぞれ確認し、線の見た目だけで所属を決めないようにします。

個別指導で確認するときは、平方完成後の右辺が正、0、負のそれぞれで何が残るかを言葉と式で説明してもらいます。積の問題なら符号の組を先に書き、各組の共通部分と最後の和集合を区別します。点を元の不等式に戻すことで、塗りと境界の両方を点検できます。