高校数学II 円周上の点での接線—半径との垂直条件から式を導いて接点を確かめる｜武蔵野個別指導塾

円周上かどうかの確認から、移動した円や縦の直線まで、半径との垂直関係で求める接線をたどります。

よくあるのは、高2が円の外の点を接点の公式に代入してしまう場面です。式らしいものは得られても、指定された点が円周上になければ、その点を接点とする直線は存在しません。まず点を円の式に戻し、その後に半径と直線の関係を使います。傾きが決まらない縦の直線も、同じ考え方で扱えます。

問いの形を見分ける

1つ目は、円と円周上の点が与えられ、その点での接線の方程式を求める型です。中心から接点への半径を描くと、接線の向きが決まります。点が円周上にあることを代入で確認してから式を作ります。

2つ目は、円の中心が原点から移っている型です。接点の座標そのものではなく、中心から接点までの横と縦の差を使います。中心の座標を引き忘れると、直線が指定された点を通っても半径に垂直とは限りません。

3つ目は、文字を含む点について、接点になれる条件を先に求める型です。文字の値によっては点が円の外や内にあり、接点として扱えません。円周上にある値を決め、それぞれについて接線を求めます。円外の点を通る接線を別途探す問題とは、与えられた点の役割が異なります。

接点と半径の関係を式にする

中心 C(a, b)、半径 r の円を考えます。r > 0 とし、円の式を

(x - a)² + (y - b)² = r²

とします。点 P(p, q) が円周上にある条件は (p − a)² + (q − b)² = r² です。この等式を確かめて初めて P を接点として扱えます。半径が正なので C と P は異なり、p − a と q − b が同時に 0 になることはありません。

図1のように、接点 P での接線は半径 CP に垂直です。逆に P を通り CP に垂直な直線を引けば、それは円と P のみを共有します。実際、直線上の P 以外の点を Q とすると、三角形 CPQ は P を直角とするので、三平方の定理から CQ² = CP² + PQ² > r² です。したがって Q は円の外にあり、共有点にはなりません。

図1の直角の印は、円の接点で半径と接線が交わる角を表します。式にするには、まず P を通る直線を次のように置きます。

(p - a)(x - p) + (q - b)(y - q) = 0

係数が同時に 0 でないため、これは直線です。p − a と q − b の両方が 0 でない場合、半径の傾きは (q − b)/(p − a)、この直線の傾きは -(p − a)/(q − b) なので積は -1 です。q − b = 0 なら直線は x = p で、水平な半径に垂直です。p − a = 0 なら直線は y = q で、縦の半径に垂直です。傾きで割る前に、この2つを確認します。

円周上の条件を使えば、同じ式を次の形にもできます。

(p - a)(x - a) + (q - b)(y - b) = r²

左辺の x − a を (x − p) + (p − a)、y − b を (y − q) + (q − b) と分けると、最初の式と半径の二乗の和に分かれます。原点中心なら a = b = 0 なので px + qy = r² です。ただしこの形は P が円周上にあるという条件と組にして使います。

基本例題：原点中心の円

円 x² + y² = 25 の点 P(3, 4) における接線を、方程式で求めてください。

まず半径は 5 で正です。指定された点を円に代入します。

3² + 4² = 9 + 16
              = 25

よって P は円周上です。中心 O(0, 0) から P への半径の横と縦の差は 3 と 4 です。図2のように P を通り、この半径に垂直な直線を立てます。

3(x - 3) + 4(y - 4) = 0
3x - 9 + 4y - 16 = 0
3x + 4y = 25

答えは 3x + 4y = 25 です。図2の接点を式へ戻すと 3・3 + 4・4 = 25 で、確かに P を通ります。半径の傾きは 4/3、直線の傾きは -3/4 で、その積は -1 です。したがって接点を通ることと垂直であることの両方が確認できます。円の式に P を代入した検査と、直線への代入は別々の役割を持ちます。

標準例題：中心を引いてから立式する

円 (x − 2)² + (y + 1)² = 25 の点 A(5, 3) における接線を、方程式で求めてください。

中心は C(2, -1)、半径は 5 です。A を円の式に代入すると、

(5 - 2)² + (3 + 1)² = 3² + 4²
                        = 25

となり、A は円周上にあります。中心から A までの差は (3, 4) です。A の座標 (5, 3) をそのまま係数にしないことに注意します。

3(x - 5) + 4(y - 3) = 0
3x - 15 + 4y - 12 = 0
3x + 4y = 27

答えは 3x + 4y = 27 です。A を戻すと 15 + 12 = 27 です。半径の傾きは 4/3、直線の傾きは -3/4 なので垂直です。移動した円の公式を使う場合も、3(x − 2) + 4(y + 1) = 25 から同じ式が得られます。点の座標と中心からの差を、それぞれどこに使うかを区別します。

発展例題：接点になれる値を選ぶ

円 (x − 1)² + (y + 2)² = 9 と点 B(t, -2) について、B が円周上にあるような実数 t をすべて求め、それぞれの B における接線を方程式で答えてください。

中心は (1, -2)、半径は 3 です。点 B の縦座標は中心と同じなので、円周上なら半径は水平です。まず所属条件を立てます。

(t - 1)² + (-2 + 2)² = 9
(t - 1)² = 9
t - 1 = 3 または t - 1 = -3
t = 4 または t = -2

t = 4 のとき B(4, -2) で、半径は水平です。それに垂直で B を通る接線は x = 4 です。t = -2 のとき B(-2, -2) なので、同様に接線は x = -2 です。両方の点で中心からの横の差の二乗は 9、縦の差は 0 ですから、円の条件に戻ります。それぞれの直線も対応する B を通り、水平な半径に垂直です。

ここで y = mx + n と置くだけでは、答えの縦の直線を表せません。半径が水平とわかった時点で、接線を x = 定数 と表します。また、例えば t = 1 なら B は中心です。円の内部にある点を接点として公式に代入しても、接点の条件を満たさないため答えにはなりません。

誤答を直す：代入の前に所属を調べる

円 x² + y² = 25 の点 Q(4, 4) における接線を求めようとして、4x + 4y = 25 とする誤答を考えます。図3のように Q は円の外にあります。Q を円の左辺に入れると 4² + 4² = 32 であり、25 ではありません。したがって Q は接点になれず、指定された点における接線は存在しません。

この誤答の式に Q を入れても左辺は 32 で、Q 自身を通りません。接線の形を覚えていても、適用条件を欠いた代入では、求めたい点での接線を得られないことがわかります。修正の順序は、まず円への代入、次に中心との差、最後に接線への代入です。Q を通る接線を求める別の問いなら接点自体を未知数として探す必要がありますが、Q を接点とする問いには存在しないと答えます。

同様に、円の内部の点でも円周上の条件は成り立ちません。中心を接点とみなすと半径の方向そのものが決まらず、上の直線の係数が同時に 0 になることもあります。計算が途中で止まったら、分母を無理に払う前に、点の所属と半径の正しさに戻ってください。

立てた式を別の方法で点検する

接線の式が得られた後、円の中心から直線までの距離を使って調べる方法もあります。基本例題の直線 3x + 4y − 25 = 0 について、中心 O(0, 0) からの距離は次のとおりです。分母の 3² + 4² は正なので、平方根で割れます。

|3・0 + 4・0 - 25| / √(3² + 4²)
= 25 / 5
= 5

これは半径と一致します。直線は円に接し、さらに P(3, 4) は円と直線の両方にあるので、P がその接点です。距離が半径と等しいという確認だけでは、指定点がその接点であることまで示したとは限りません。点の代入も組み合わせることで、求めた直線が問題の条件を満たすと判断できます。

一方、点が直線上にあることだけでも接線とは決まりません。P を通る直線は何本もあり、その多くは円を横切ります。接点を通る条件に加えて、半径と直線の垂直関係を確かめる必要があります。中心からの距離を使う検査でも、直線の係数が同時に 0 でないことを先に見ます。

中心から接点までの差の符号にも意味があります。接点が中心の左側にあれば横の差は負です。差の両方の符号を同時に反転しても直線の両辺を -1 倍した同じ式ですが、一方だけ反転すると一般には別の直線です。式を整理した結果が見慣れない形になっても、接点を通るか、半径に垂直かをそれぞれ調べて判定します。

練習：接点の条件から出発する

次の5問は、すべて方程式または指定された値を正確に答えてください。各問の点を円に戻してから、接線を決めます。

1. 円 x² + y² = 13 の点 (2, 3) における接線の方程式を求めてください。
2. 円 (x + 1)² + (y − 2)² = 25 の点 (3, 5) における接線の方程式を求めてください。
3. 円 (x − 3)² + (y − 1)² = 16 の点 (7, 1) における接線の方程式を求めてください。
4. 円 x² + y² = 10 の点 (1, 2) における接線が存在するか判定し、理由を述べてください。
5. 円 (x + 2)² + (y − 1)² = 4 の点 (s, 1) が円周上にある実数 s をすべて求め、それぞれの点での接線の方程式を求めてください。

練習の解答と検査

1

2² + 3² = 13 なので点は円周上です。中心は原点で、半径は正です。

2(x - 2) + 3(y - 3) = 0
2x - 4 + 3y - 9 = 0
2x + 3y = 13

答えは 2x + 3y = 13 です。点を直線に戻すと 4 + 9 = 13 です。半径の傾きは 3/2、直線の傾きは -2/3 で、積は -1 です。

2

中心は (-1, 2)、半径は 5 です。点から中心を引くと横が 4、縦が 3 で、4² + 3² = 25 です。よって円周上にあります。

4(x - 3) + 3(y - 5) = 0
4x - 12 + 3y - 15 = 0
4x + 3y = 27

答えは 4x + 3y = 27 です。点を直線に戻すと 12 + 15 = 27 です。半径と直線の傾きはそれぞれ 3/4、-4/3 なので垂直です。

3

中心は (3, 1)、半径は 4 です。点との差は (4, 0) で、その二乗の和は 16 です。点は円周上にあり、半径は水平です。

4(x - 7) + 0(y - 1) = 0
4(x - 7) = 0
x = 7

答えは x = 7 です。指定点を通る縦の直線であり、水平な半径と垂直です。傾きが定義できない直線も、式に係数 0 を残せば落とさずに済みます。

4

1² + 2² = 5
5 ≠ 10

点は円周上にないので、その点を接点とする接線は存在しません。中心からの距離の二乗が半径の二乗より小さく、点は円の内部です。公式に座標を代入して直線を作る前に、問いの条件が成立しないと判定します。

5

中心は (-2, 1)、半径は 2 です。円周上の条件は次のとおりです。

(s + 2)² + (1 - 1)² = 4
(s + 2)² = 4
s + 2 = 2 または s + 2 = -2
s = 0 または s = -4

s = 0 なら接点は (0, 1)、接線は x = 0 です。s = -4 なら接点は (-4, 1)、接線は x = -4 です。いずれも中心からの横の差の二乗が 4、縦の差が 0 なので、元の円の条件を満たします。それぞれの直線は対応する点を通り、水平な半径に垂直です。

要点を持ち帰る

接点を円の式に代入し、円周上にあることを先に確かめます。 中心から接点までの座標の差を使い、接点を通る垂線を立てます。 水平な半径には縦の接線、縦の半径には水平な接線が対応します。 最後に接点が直線を通ることと、半径との垂直を確かめます。

どこで止まったかを見つける

式を書き始める前に「指定点は円の式を満たしますか」と問い直します。満たさない場合は、点を接点とする問いが成立しない理由を説明できるかを確認します。満たす場合は、中心と接点の座標を並べ、引き算の向きを確かめます。

個別指導では、接線の式に接点を代入することと、半径に垂直であることを別々に説明してもらいます。縦や横の半径では傾きの積を使えないので、図と x = 定数、y = 定数 の対応を確認します。接点の所属から直線の向きまで順にたどると、公式の使える場面が明確になります。