高校数学II 三点を通る円の方程式—式の差と垂直二等分線で中心を求め比べる｜武蔵野個別指導塾

三点の座標から係数を消去し、一直線上や点の重なりも含めて円の個数を判定する道筋をたどります。

よくあるのは、高2が一直線上の三点にも円ができると考える場面です。三つの座標を円の式に代入すれば、いつでも係数が決まるように見えるかもしれません。しかし、同じ直線上の異なる三点から等距離にある中心は存在しません。計算を始める前に点の位置を調べ、最後に求めた式を元の三点に戻すところまでを一続きにします。

三点の条件はどう現れるか

三点が具体的な座標で与えられたら、一般形に代入して係数を求める型があります。二次の部分が共通なので、二つの式の差を取ると一次の連立方程式になります。定数項を先に消せば、中心に対応する二つの係数を絞れます。

別の型は、二組の点の垂直二等分線から中心を求めるものです。水平や垂直に並ぶ二点があると、中心の座標を見つけやすくなります。どちらも、三点までの距離が等しいという同じ条件を使っています。

文字を含む点がある場合には、座標を求める途中で文字の式による割り算が現れます。その式が零になる場合を先に分けてください。零で割れないだけでなく、そのとき点が重なるのか、異なる三点が一直線上にあるのかによって答えの個数が変わります。

中心が満たす二つの等距離

半径が正の円は、ある点からの距離が一定の点の集まりです。中心を O(a, b)、半径を r とすると、円の方程式は (x − a)² + (y − b)² = r²、ただし r > 0 です。展開すれば x² + y² + Dx + Ey + F = 0 と書け、D = -2a、E = -2b です。一般形を得た後は平方完成して半径の二乗が正か調べます。

異なる二点 A、B から等距離の点は、線分 AB の垂直二等分線上にあります。逆にその直線上の点も A、B から等距離です。座標で見ると、点 P(x, y) について PA² = PB² と置けば二次項が消え、直線の式が得られます。両距離は負でないため、二乗の等しさから距離の等しさへ戻れます。

図1のように、異なる三点 A、B、C が一直線上にないとき、AB と AC の垂直二等分線は平行でなく、1点 O で交わります。O は A と B から等距離で、A と C からも等距離です。したがって三点までの距離が等しく、A と B が異なるのでその距離は正です。この O を中心とする円が存在します。また円の中心は両直線の交点に限られるため、円は1つに定まります。

図1では線分 AB と AC の中点を通る2本の直線が中心で交わります。一方、異なる三点が一直線上なら、直線と円は高々2点でしか交わらないため、その三点を通る円はありません。この事実は、直線を円の式に代入すると高々2つの実数解を持つ二次方程式になることからも確かめられます。縦の直線でも x を定数として代入すれば同様です。

点が重なる場合は、異なる点の数を数え直します。異なる点が2つなら、その垂直二等分線上のどの点も中心に選べるので円は無数にあります。異なる点が1つなら、その点と異なる任意の中心を選べ、やはり円は無数にあります。重なりを共線の場合に含めて一律に不存在とすることはできません。

基本例題：差を取って定数項を消す

点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(0, 2) を通る円の方程式を求め、平方完成した形で答えてください。A と B は異なり、AB は x 軸上にあります。C は x 軸上にないので、三点は一直線上にありません。

求める円を x² + y² + Dx + Ey + F = 0 と置き、各点を代入します。A、B、C に対応する式は順に次のようになります。

F = 0
16 + 4D + F = 0
4 + 2E + F = 0

第2式から第1式を引き、第3式から第1式を引きます。得られた式を順に解きます。

4D + 16 = 0
D = -4
2E + 4 = 0
E = -2
F = 0

したがって一般形は x² + y² − 4x − 2y = 0 です。平方完成して答えを得ます。

(x - 2)² - 4 + (y - 1)² - 1 = 0
(x - 2)² + (y - 1)² = 5

中心は (2, 1)、半径は √5 で正です。図2のように、AB の垂直二等分線は x = 2、AC の垂直二等分線は y = 1 です。その交点は一般形から得た中心と一致します。A、B、C から中心までの距離の二乗は順に 4 + 1、4 + 1、4 + 1 で、いずれも 5 です。よって元の三点を通ります。

また、2本の垂直二等分線を使う際は、それぞれがどの線分の中点を通るかを書き添えます。中点を円の中心と取り違えず、2本の交点として中心を決めるためです。

式の差を取る方法では、元の3式を勝手に2式へ減らしたままにしないことが必要です。差から D、E が定まっても F は残ります。ここでは A の式 F = 0 に戻したことで、円の位置まで確定しています。

標準例題：軸に平行でない二組を使う

点 A(1, 1)、B(5, 1)、C(3, 5) を通る円の方程式を、平方完成した形で求めてください。AB は水平で、C の縦座標は異なるため三点は非共線です。中心を (a, b) とします。

A と B から等距離という条件から、まず a を求めます。

(a - 1)² + (b - 1)² = (a - 5)² + (b - 1)²
-2a + 1 = -10a + 25
8a = 24
a = 3

次に A と C から等距離という条件に a = 3 を代入します。

(3 - 1)² + (b - 1)² = (3 - 3)² + (b - 5)²
4 + b² - 2b + 1 = b² - 10b + 25
8b = 20
b = 5/2

半径の二乗は A までの距離の二乗です。

r² = (3 - 1)² + (5/2 - 1)²
r² = 4 + 9/4
r² = 25/4

よって (x − 3)² + (y − 5/2)² = 25/4 です。B でも距離の二乗は 4 + 9/4、C でも 0 + 25/4 となり、与えられた三点を通ります。一般形を用いても同じ円に至りますが、この配置では AB の中点の横座標から a が先に得られるため、中心を直接置く方法が短くなります。

発展例題：文字が零になる場合を残す

実数 t に対し、A(0, 0)、B(2, 0)、C(t, t) を通る円の個数を t の値で分類してください。円が1つのときは、その方程式を一般形で求めてください。

A と B は異なります。t ≠ 0 なら C の縦座標は零でないので三点は非共線です。一般形に A、B を代入すると、順に次の式を得ます。

F = 0
4 + 2D + F = 0
D = -2

C を代入し、t ≠ 0 を使って E を決めます。

2t² - 2t + Et = 0
t(2t - 2 + E) = 0
2t - 2 + E = 0
E = 2 - 2t

よって円は x² + y² − 2x + (2 − 2t)y = 0 です。中心は (1, t − 1)、半径の二乗は 1 + (t − 1)² で正です。A と B までの距離の二乗はともにこの値です。C までの距離の二乗も (t − 1)² + 1 となるので、元の条件を満たします。

一方 t = 0 なら C は A と重なります。このとき必要なのは異なる2点 A、B を通る条件です。中心を (1, b) とすると、任意の実数 b に対して半径の二乗は 1 + b² で正なので、円は無数にあります。t で割る前にこの場合を取り分けたことで、無数にある場合を落とさずに済みます。

一直線上で存在しない場合も別に見ておきます。たとえば A(0, 0)、B(2, 0)、C(3, 0) は相異なる3点です。A、B から等距離の中心の横座標は 1、A、C から等距離の中心の横座標は 3/2 です。両方を満たす点はないので円もありません。連立式の矛盾は計算の失敗ではなく、条件を満たす中心がないことを示しています。

誤答を直す：重なりと共線を区別する

「三点が一直線上にあれば、必ず円は存在しない」という答えは不十分です。図3の左では異なる3点が同一直線上にあり、円はありません。しかし右では A と C が重なり、実際の条件は異なる2点を通ることです。図3の右に描いた2つの円は、その2点を通る異なる円の例です。

誤りの理由は、3つの名前を3つの異なる位置と取り違えたことです。修正するときは、まず一致する点をまとめます。異なる点が3つなら共線か非共線かを判定し、2つ以下なら中心を動かせることを確認します。係数の連立で同じ式が重複した場合も、ただちに解なしとせず、残りの条件を満たす係数があるか調べます。

練習：位置の判定から円の式まで

次の5問は、それぞれ独立した条件です。円の式は指定がなければ平方完成した形で答えてください。

1. P(0, 0)、Q(6, 0)、R(0, 4) を通る円の方程式を求めてください。
2. P(2, 0)、Q(4, 2)、R(2, 4) を通る円の方程式を求めてください。
3. P(-1, 2)、Q(1, 4)、R(3, 6) を通る円の個数を求めてください。
4. P(1, -1)、Q(5, -1)、R(1, -1) を通る円の個数を求め、そのような円の式を1つ示してください。
5. 実数 s に対し P(0, 0)、Q(4, 0)、R(2, s) を通る円の個数を分類し、1つの場合はその方程式を一般形で求めてください。

練習の解答と確かめ

1

中心を (a, b) とすると、PQ の垂直二等分線は x = 3、PR の垂直二等分線は y = 2 です。交点は (3, 2) で、半径の二乗を P から計算します。

r² = (3 - 0)² + (2 - 0)²
r² = 9 + 4
r² = 13

したがって (x − 3)² + (y − 2)² = 13 です。Q、R までの距離の二乗もそれぞれ 9 + 4、9 + 4 なので、3点に戻して成立します。

2

PQ と PR について中心 (a, b) からの距離を等しくします。P、R は同じ横座標なので、まず b = 2 です。次に P と Q を比較します。

(a - 2)² + 4 = (a - 4)²
-4a + 8 = -8a + 16
4a = 8
a = 2
r² = (2 - 2)² + (2 - 0)²
r² = 4

答えは (x − 2)² + (y − 2)² = 4 です。P、Q、R から中心までの距離の二乗はすべて 4 です。3点は異なり、P と R を結ぶ縦の直線上に Q はないため、円は1つです。

3

3点は相異なり、いずれも y = x + 3 を満たします。したがって一直線上にあり、円は0個です。実際、PQ の中点は (0, 3)、PR の中点は (1, 4) で、二つの垂直二等分線は異なる平行線です。中心を同時に置けないことでも確認できます。

4

P と R が一致し、Q は P と異なります。中心は PQ の垂直二等分線 x = 3 上を自由に動けます。よって円は無数にあります。例えば中心を (3, -1) とすれば半径は 2 なので、式の1つは (x − 3)² + (y + 1)² = 4 です。P、Q、R を代入すると左辺はいずれも 4 です。

5

s = 0 なら、3点は異なり x 軸上にあるので円は0個です。s ≠ 0 なら R は x 軸上にないので円は1つです。一般形に P と Q を代入し、F = 0、D = -4 を得ます。R を代入して E を決めます。

4 + s² - 8 + Es = 0
Es = 4 - s²
E = (4 - s²)/s

よって x² + y² − 4x + ((4 − s²)/s)y = 0 です。割り算は s ≠ 0 の場合に限って行いました。P と Q を代入すると 0、R でも 4 + s² − 8 + 4 − s² = 0 です。平方完成した半径の二乗は 4 + E²/4 で正ですから、得られた式は実際に円を表します。

覚えておくこと

• 異なる非共線の三点を通る円は1つです。
• 一般形の代入式の差で、二次項と定数項を消せます。
• 異なる共線三点では円はなく、重なりがあれば点の数を数え直します。
• 文字で割る前に零の場合を分け、最後に三点と半径を確かめます。

どこで考えが止まったか

「三点が一直線上なら、どの2組の垂直二等分線を比べますか」と問い、図と式を対応させます。2本の直線が交わらない理由を言葉にできれば、不存在を係数の矛盾としても読み取れます。点が一致する場合は同じ問いをそのまま使わず、異なる点が何個あるかから確認します。

個別指導では、代入した3式のどの2式を引いたかを指で追い、消えた定数項を最後にどの式へ戻すかを確かめます。文字で割る解答なら、その文字が零のときの座標も書き出します。中心と半径が出た後に各点までの距離の二乗を比べれば、符号のずれを元の図形の条件から見つけられます。三点の配置を確かめてから、円の方程式を決めます。