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高校数学II 条件つき等式—代入と比の置き換えで仮定を使い切る｜武蔵野個別指導塾
分数の共通値に0を含める理由と、文字で割る前に必要な条件を、代入した式から見直せます。
よくあるのは、高2の高校生が連比を文字で置き換えた後、その文字は0になれないと思い込む場面です。たとえば、3つの数を同じ倍率で表したとき、倍率が0でも3つの数がすべて0になることはあります。ただし、もとの条件が分数を含むなら、分母が0にならないことも別に確かめなければなりません。どの条件が置き換えを許し、どの条件が割り算を許すのかを分けて考えます。
数学IIの等式の論証を扱い、与えられた条件の下で成り立つ式を証明します。条件のない文字について、勝手に0でないと決めないことが出発点です。
どの仮定を使う問いか
出方の1つは、和や一次式の条件から1文字を消去するものです。たとえば x + y = 0 なら y = -x と表し、結論の両辺に代入できます。仮定を式の中に持ち込むと、見た目の異なる両辺が同じ形になります。代入後に残る文字は、元の条件を満たす限り自由です。
もう1つは、連比を共通の文字で表すものです。a : b : c = 2 : 3 : 4 のように書かれた条件は、ある実数 t を用いて a = 2t、b = 3t、c = 4t と表します。比の定義上、左の組が同時に0となる場合を除く約束であれば t ≠ 0 です。一方、等式 a/2 = b/3 = c/4 が与えられた場合は、その共通値を t として t = 0 も含めます。問題文の条件がどちらかを読み取ることが必要です。
さらに、分数を含む結論では、計算前に分母が0でないことを示す必要があります。比に置いた後で共通因子を消したくなっても、その因子が0になる可能性が残っていれば割れません。割らずに差を因数分解する方法なら、0の場合もまとめて扱えることがあります。
条件を式へ運ぶ
条件つき等式は、仮定を満たす文字の組について結論が成り立つことを示す問題です。結論を先に正しいと決めて変形するのではなく、仮定から出発して結論へ進みます。文字は以下、特に断らない限り実数とします。
図1のように、仮定を使って文字を減らし、結論の両辺または差を調べます。分母や、消去に使う係数が0でないことは別の関門です。等式の両辺を同じ数で割るとき、その数が0でないことが必要だからです。
図1の左側にある条件を途中式から消し去るのではなく、代入後の式として引き継ぎます。例えば 2x + y = 5 なら、係数1の y を選ぶと y = 5 − 2x です。2x + y = 5 の全解がこの形で表せ、逆にこの形で定めた組も条件を満たします。係数が文字の場合は、その文字で割る前に0の場合を分けます。
連比の置き換えでは、共通値をそのまま使える分数の等式が便利です。a/2 = b/3 = c/4 = t なら a = 2t、b = 3t、c = 4t です。逆にこの3式から元の分数の等式へ戻れるので、候補を取り落としません。分母の2、3、4は0でない定数ですから、この操作に追加条件はいりません。
ただし a : b : c という記法で全成分が0の組を許すかは、用いる比の定義や問題の約束によります。以下の例では、0を含む範囲を明確にするため、分数の等式で条件を与えます。比の記法から出発する場合は、その定義に従って共通の文字の範囲を定めます。
基本例題：共通値を残して証明する
実数 a、b、c が a/2 = b/3 = c/5 を満たすとき、5a + 5b = 5c を証明してください。
図2のように、3つの分数の共通値を t と置きます。問題には共通値が0でないという条件がないので、t は0を含む実数です。
まず仮定から、次の3式が得られます。
a/2 = b/3 = c/5 = t
a = 2t
b = 3t
c = 5t結論の左辺に代入すると、
5a + 5b = 5・2t + 5・3t
= 10t + 15t
= 25t右辺にも代入します。
5c = 5・5t
= 25t両辺が同じ 25t になるので、求める等式が成り立ちます。図2の右側に並ぶ2つの 25t は、左右の辺をそれぞれ共通値 t で表した結果です。t = 0 のときも両辺は0となり、証明の中に含まれます。
この例は 5(a + b) = 5c、すなわち a + b = c を示してから5倍しても解けます。ただし、最初から証明したい式を使って a + b = c と言うことはできません。仮定から a + b = 2t + 3t = 5t = c と示す順序が必要です。共通値の置き換えが、仮定を使った根拠になります。
標準例題：和の条件から1文字を消す
実数 x、y、z が x + y + z = 0 を満たすとき、x² + y² − z² = -2xy を証明してください。
和の条件から z を選んで消します。z の係数は1なので、文字で割る必要はありません。
x + y + z = 0
z = -x - y結論の左辺に代入して展開します。
x² + y² - z² = x² + y² - (-x - y)²
= x² + y² - (x² + 2xy + y²)
= x² + y² - x² - 2xy - y²
= -2xy右辺と一致したので証明できました。最後の括弧を外すときは、中の各項の符号が変わります。例えば x = 2、y = -5 なら z = 3 で、左辺は 4 + 25 − 9 = 20、右辺は -2・2・(-5) = 20 です。この代入は計算の点検であり、任意の組を扱う上の証明の代わりではありません。
別の見方では、左辺と右辺の差を取ります。差は x² + 2xy + y² − z² = (x + y − z)(x + y + z) です。仮定により後ろの因子が0なので差は0です。この方法では仮定が因子として現れます。消去と差のどちらを選んでも、条件から結論へ進む向きは同じです。
発展例題：分母が消せる理由まで示す
実数 a、b、c が a/3 = b/4 = c/6 を満たし、a + b + c ≠ 0 であるとします。このとき (a + b)/(a + b + c) = 7/13 を証明してください。
共通値を t と置き、仮定を順に使います。
a/3 = b/4 = c/6 = t
a = 3t
b = 4t
c = 6t
a + b + c = 13t仮定 a + b + c ≠ 0 より 13t ≠ 0、したがって t ≠ 0 です。ここで初めて t で割ることが許されます。元の分母 a + b + c も仮定により0ではありません。
(a + b)/(a + b + c) = (3t + 4t)/(3t + 4t + 6t)
= 7t/(13t)
= 7/13これで等式が示せました。例えば t = -2 でも a = -6、b = -8、c = -12 となり、元の左辺は (-14)/(-26) = 7/13 です。負の値は除かれません。t = 0 は分数の等式自体を満たしますが、和が0となるので追加の仮定には合いません。
別の方法として、割る前に 13(a + b) = 7(a + b + c) を示すこともできます。共通値を代入すると両辺はともに 91t です。その後、分母が0でないという仮定を使えば、両辺を 13(a + b + c) で割れます。交差して掛けた等式だけでは、元の分数が定義されることまでは保証しません。
誤答をほどく：0を消したのはどこか
「a/2 = b/3 = c/5 = t と置くと、比だから t ≠ 0。よって a + b = c」という答案を考えます。結論自体は基本例題で示した通り正しいものの、この理由では仮定に含まれる t = 0 を根拠なく除いています。a = b = c = 0 は分数の等式を満たし、結論も満たします。
図3のように、分数の共通値という条件と、分母が0でないという条件を分けて見ます。共通値が0でも、定数2、3、5を分母に持つ元の式は定義されます。共通値で割らずに両辺を計算すれば、0の場合を含めて示せます。
逆に、分母が文字を含む問題で「0でも大丈夫」と無条件に進めるのも誤りです。例えば (a + b)/(a + b + c) では、和が0の組において左辺は定義されません。図3の「割るには t ≠ 0」の欄のように、割り算には零でないという根拠が必要です。証明の途中で消した文字についても、元の仮定からその条件が出るか確認してください。
文字を消す前に確かめたい分岐
文字を消去するときは、変形が元の条件のどの範囲を表しているかにも注意します。例えば、実数 A、B と文字定数 λ に対して λA = λB が与えられたとします。λ ≠ 0 なら両辺を λ で割って A = B と言えます。しかし λ = 0 なら元の等式は 0 = 0 となり、A と B に等しいという制約は生じません。λ = 0、A = 1、B = 2 はその反例です。文字の係数で割る操作を見つけたら、まずその係数が0かどうかを調べます。
分母についても、式の値を計算できるかを先に決めます。分数の分子と分母に同じ因子が現れても、その因子が0のときの元の式は定義されません。約分後の式に0を代入できることと、約分前の式がその値で定義されることは別です。分母が0でない条件を証明できない場合は、与えられた条件から結論の分数が常に定義されるとは言えません。その場合は0になる組を探して、問題の条件を読み直します。
一方、割り算を避ければよい場面もあります。積が0であることを示す証明では、0になり得る因子を消す必要はありません。仮定を表す因子を残したまま、その因子が0になると説明します。計算が短いかどうかだけでなく、0の可能性をそのまま扱えるかも解法を選ぶ基準です。
手を動かす5問
- 実数 p、q が p + q = 8 を満たすとき、p² − q² = 8(p − q) を証明してください。
- 実数 u、v、w が u/4 = v/7 = w/11 を満たすとき、u + v = w を証明してください。
- 実数 x、y が 3x − 2y = 0 を満たすとき、9x² = 4y² を証明してください。
- 実数 r、s、t が r/5 = s/2 = t/8、かつ r + s + t ≠ 0 を満たすとき、(r + s)/(r + s + t) = 7/15 を証明してください。
- 実数 m、n が mn = 0 を満たすとき、(m + n)² = m² + n² を証明してください。また、m と n の両方が0の場合も含むか答えてください。
5問の解答と確認
- 左辺を因数分解して仮定を使います。
p² - q² = (p + q)(p - q)
= 8(p - q)例えば p = 3、q = 5 では和は8、両辺はともに -16 です。p − q が0でも割っていないので証明に含まれます。
- 共通値を k とすると、u = 4k、v = 7k、w = 11k です。
u + v = 4k + 7k
= 11k
= wk = 0 なら元の分数はすべて0、結論の両辺も0です。共通値が負でも同じ式が成り立ちます。
- 仮定より 3x = 2y です。等しい両辺をそれぞれ2乗します。
(3x)² = (2y)²
9x² = 4y²x = 2、y = 3 は仮定を満たし、両辺は36です。2乗した式から元の仮定を逆に導く必要はありません。証明に必要なのは仮定から結論への向きです。
- 共通値を h とすると r = 5h、s = 2h、t = 8h です。和は 15h ですから、和が0でないという仮定より h ≠ 0 です。
(r + s)/(r + s + t) = (5h + 2h)/(5h + 2h + 8h)
= 7h/(15h)
= 7/15h = 1 では元の数は5、2、8で、分母は15、分子は7です。h = 0 は最初の分数の等式を満たしますが、和が0でないという条件に反します。
- 展開して積の条件を代入します。
(m + n)² = m² + 2mn + n²
= m² + 2・0 + n²
= m² + n²m = n = 0 も mn = 0 を満たし、両辺は0です。片方が0で他方が0でない場合も、この式変形に含まれます。積が0という条件から、両方が0でないと判断してはいけません。
手元に残す要点
- 条件から文字を消すか、共通値で置き換えます。
- 分数の共通値は、追加条件がなければ0を含みます。
- 割る式が0でない根拠を、割る前に示します。
- 結論の両辺または差を、仮定を使って調べます。
- 元の条件へ戻し、除いた場合がないか点検します。
つまずきを見分ける問い
個別指導で式を確認するときは、「共通値を0にした組は元の条件を満たすか」と尋ね、実際に各分数へ代入してみます。満たすのに答案から除いていれば、置き換えた文字の範囲を狭めています。分母が文字を含むなら、別に「この分母が0にならない根拠はどの条件か」と聞き、問題文の該当箇所と式を結びます。
また、「この行は仮定から出たのか、結論を先に使ったのか」と矢印の向きを確認します。両辺が同じ値になるところまで書ければ、条件を使った証明の筋道が見えます。0を含む組と除外される組を区別すると、置き換えの意味が明確になります。
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