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高校数学II 不等式の証明—差を平方に直し非負性と等号条件を示す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 式と証明・複素数と方程式単元別

左右の差を平方の和に直し、複数の平方が同時に零となる条件から、等号が成立する値まで絞ります。

よくあるのは、高2の高校生が不等式の差を平方に直し、零以上だと示したところで答案を閉じる場面です。計算は合っていても、問題が等号の成り立つ条件を求めていれば、あと一歩残っています。平方が零になる文字の値を求め、それがもとの仮定にも合うか確かめましょう。平方が複数あるときは、それぞれが同時に零になる必要があります。

ここで扱うのは、実数の平方の非負性を使う不等式の論証です。差を調べる方法と平方の和を中心に考え、相加相乗平均の公式による解法には立ち入りません。

どこに平方を探すか

出方は主に3つあります。まず、左右に別々の式があり、左辺が右辺以上であることを証明する型です。この場合は左辺から右辺を引き、その差が零以上と示します。逆に左辺が右辺以下なら、右辺から左辺を引くと同じ見方が使えます。どちらから引いたかを明記すると、不等号の向きを取り違えにくくなります。

次に、ある式が定数以上であることと、等号を与える値を求める型です。式からその定数を引き、平方にまとめます。平方が零になる値が問題の条件を満たせば、その定数は実際にとれる最小値です。零にできないときは、下から押さえられたことと最小値が存在することを分けて考えます。

もう1つは、複数の文字を含む式で平方の和を作る型です。各平方は零以上なので和も零以上ですが、和が零になるには各項が同時に零にならなければなりません。連立して得た条件を、和が一定などの元の仮定に戻すまでが答案です。

差と等号を結ぶ道筋

実数 t について t² は零以上です。t が正でも負でも二乗は負にならず、t² = 0 となるのは t = 0 のときに限ります。文字が実数であることを最初に確かめるのは、この性質を根拠として使うためです。複素数には一般に大小の順序をそのまま使えません。

A と B が実数であるとき、A − B ≥ 0 と A ≥ B は同じことです。したがって、差を変形して平方や正の数倍の平方にできれば、差の符号が決まります。等号 A = B は差が零であることと同じなので、できあがった平方が零になる条件を調べます。

図1のように、実数の条件から始めて差の符号と等号を別々に確認します。差の変形は等式でつなぎ、最後に非負性を使って不等式へ進むと、論理のつながりが見えます。

図1の「平方が零」は、単に平方を含む式が零という意味ではありません。たとえば正の数を係数に持つ2つの平方の和なら、一方が正のまま他方と打ち消し合うことはありません。係数が負の場合はこの判断をそのまま使えないため、まず係数の符号を点検します。

平方完成の手がかりは、二次の項と一次の項の係数です。x² − 6x なら、x の係数の半分である -3 を使い、(x − 3)² − 9 と直せます。足した9を引き戻しているので値は変わりません。展開して元に戻ることも、符号を確かめる方法です。

基本例題：2つの数の差を使う

問題。a、b を実数とします。a² + b² ≥ 2ab を証明し、等号が成り立つ条件を求めてください。

左辺が右辺以上なので、左辺から右辺を引きます。a と b は実数ですから、差 a − b も実数です。

a² + b² - 2ab
= (a - b)²
≥ 0

最後の行は実数の平方が零以上であることによります。よって、a² + b² ≥ 2ab が成り立ちます。ここまでは大小の証明であり、次に等号を調べます。

(a - b)² = 0
 a - b = 0
 a = b

したがって等号が成り立つのは a = b のときです。逆に a = b を元の両辺に入れると、どちらも 2a² となるので、等号が実際に成り立ちます。a = b = -2 のような負の値も許されます。a と b が正であるという条件は使っていません。

図2のように、差が1つの平方になったら、その中身を零にする条件へ進みます。図2の矢印の先にある a = b は、不等式が常に成り立つための条件ではなく、等号が成り立つための条件です。

実際に a = 3、b = -1 とすると、左辺は 10、右辺は -6 で、差は 16 です。(3 − (-1))² も 16 となります。この計算は変形の確認にはなりますが、すべての実数についての証明にはなりません。一般の a、b のまま平方の非負性を示したことが証明の根拠です。

標準例題：定数を引いて平方完成する

問題。x、y を実数とします。x² + 2y² − 2x − 4y + 7 ≥ 4 を証明し、等号が成り立つ x、y を求めてください。

目標の右辺は4ですから、左辺から4を引いて整理します。x の部分と y の部分をそれぞれ平方にまとめ、最後に展開して定数を確かめます。

(x² + 2y² - 2x - 4y + 7) - 4
= x² - 2x + 2y² - 4y + 3
= (x² - 2x + 1) + 2(y² - 2y + 1)
= (x - 1)² + 2(y - 1)²
≥ 0

x、y は実数で、係数2は正です。2つの項はいずれも零以上なので、和も零以上です。したがって、求める不等式が成り立ちます。

等号が成り立つには、零以上の2項がともに零である必要があります。片方が正であれば、もう片方が零以上なので和は正になってしまうからです。

(x - 1)² = 0 かつ 2(y - 1)² = 0
x - 1 = 0 かつ y - 1 = 0
x = 1 かつ y = 1

逆に x = 1、y = 1 を与えると2つの平方はともに零です。もとの左辺でも 1 + 2 − 2 − 4 + 7 = 4 となり、右辺と一致します。よって等号条件は x = 1、y = 1 です。

平方完成で定数を間違えたときは、最後の式を展開して戻します。たとえば (x − 1)² + 2(y − 1)² の定数部分は 1 + 2 = 3 です。差の定数3と一致することが、途中の変形の確認になります。もし式に残った定数が正なら、差は零にならず等号はありません。負なら、その形だけから差が非負とは結論できません。

発展例題：3つの差を同時に零にする

問題。a、b、c を実数とします。3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² を証明し、等号が成り立つ条件を求めてください。

差を展開すると、二乗の項と2文字の積が現れます。各文字が対等に現れているので、2文字ずつの差の平方を3つ集める形を試します。

3(a² + b² + c²) - (a + b + c)²
= 3a² + 3b² + 3c² - (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca)
= 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca
= (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²)
= (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
≥ 0

各差は実数なので、それぞれの平方は零以上です。よって左辺から右辺を引いた差が零以上となり、不等式が証明されました。

等号については、3つの平方が同時に零となる条件を調べます。

a - b = 0 かつ b - c = 0 かつ c - a = 0
a = b かつ b = c かつ c = a
a = b = c

逆に a = b = c なら3つの差はすべて零となります。元の式に a = b = c = t を代入しても、左辺は 3・3t² = 9t²、右辺は (3t)² = 9t² です。等号が成り立つ条件は a = b = c です。

3つの式のうち a = b と b = c がわかれば c = a も従います。ただし、平方の和が零になる説明では、3項すべてが零であることを一度押さえてから条件を整理しましょう。a = b だけでは c が異なる場合を除けません。

同じ不等式を、平方完成で確かめる方法もあります。2つの平方にまとめられるため、こちらでも等号を同時に調べます。

3(a² + b² + c²) - (a + b + c)²
= (3/2)(a - b)² + (1/2)(a + b - 2c)²
≥ 0

係数はどちらも正です。等号には a = b と a + b = 2c が必要で、代入すると a = b = c になります。左右の展開が一致することを確認してから使うと、係数の取り違えを防げます。文字を対等に扱うなら3つの差の平方、項数を減らして連立を解くなら2つの平方が見やすい形です。

誤答をほどく：1項が零でも終わらない

標準例題で「x = 1 なら (x − 1)² = 0 だから等号」と書くのは誤りです。図3のように、x の平方が零でも y の平方が残ります。実際に x = 1、y = 2 とすると、差は 0 + 2 = 2 であり、左辺は6、右辺は4です。等号ではありません。

図3で残った項を零にするには y = 1 が必要です。誤りの原因は「和が零になる条件」と「和の一部が零になる条件」を混同したことにあります。正しくは2項とも零と置き、x = 1 と y = 1 を同時に満たすことを確認します。

別の注意として、平方が零になる候補が元の条件から外れる場合があります。たとえば x > 2 という仮定のもとで (x − 2)² > 0 です。零になる候補 x = 2 は仮定に含まれないからです。境界を含む x ≥ 2 の場合とは結論が変わります。まず候補を求め、次に許された範囲へ戻す順序を守ります。

また、積の形で差を表せても、各因子の符号が不明なら非負とは言えません。たとえば (a − b)(a + b) は、a = 0、b = 1 では負です。因数分解できたことと符号が決まることは別なので、平方の形か、与えられた条件で各因子の符号が決まるかを確かめます。

手を動かす5問

各問では左辺と右辺の差を調べ、平方の非負性や因子の符号を根拠に証明してください。指定された等号条件や値も求めます。問題を先に解き、差の向きと候補の代入を確認してから解答を読みましょう。

実数 p、q について、p² + 4q² ≥ 4pq を証明し、等号条件を求めてください。
実数 u について、u² + 8u + 19 ≥ 3 を証明し、等号条件を求めてください。
実数 s、t について、s² + t² − 6s + 2t + 15 ≥ 5 を証明し、等号条件を求めてください。
実数 m、n が m + n = 10 を満たすとき、m² + n² ≥ 50 を証明し、等号となる m、n を求めてください。
実数 z が z ≥ 5 を満たすとき、z² − 4z + 7 の最小値と、それをとる z を求めてください。答えは整数で表してください。

解答と確かめ

1の解答

左辺から右辺を引きます。p、q が実数なので、p − 2q も実数です。

p² + 4q² - 4pq
= (p - 2q)²
≥ 0

よって不等式は成り立ちます。等号は p − 2q = 0、すなわち p = 2q のときです。逆にこの条件を元の式に代入すると、左辺は 8q²、右辺も 8q² となります。q の値は実数の範囲で自由です。

2の解答

目標の3を引き、一次の係数の半分を使います。

(u² + 8u + 19) - 3
= u² + 8u + 16
= (u + 4)²
≥ 0

したがって不等式は成り立ち、等号は u = -4 のときです。元の左辺へ戻すと 16 − 32 + 19 = 3 で、指定された右辺に一致します。定数を引いてから平方完成すると、何を零以上と示すのかが明確になります。

3の解答

差を各文字の平方に分けます。どちらの文字も実数なので、各平方は零以上です。

(s² + t² - 6s + 2t + 15) - 5
= s² - 6s + t² + 2t + 10
= (s - 3)² + (t + 1)²
≥ 0

等号は s − 3 = 0 かつ t + 1 = 0、つまり s = 3、t = -1 のときです。元の左辺は 9 + 1 − 18 − 2 + 15 = 5 となります。一方だけの条件では、残った平方が正になる場合があります。

4の解答

条件 m + n = 10 を使い、求める差を2つの数の差に直します。

m² + n² - 50
= m² + n² - (m + n)²/2
= (m² - 2mn + n²)/2
= (m - n)²/2
≥ 0

等号には m = n が必要です。これと m + n = 10 を合わせると m = 5、n = 5 です。逆にこの値は和が10であり、二乗和も 25 + 25 = 50 なので、等号が実現します。条件を使わず m = n とだけ答えると、求める値は決まりません。

5の解答

平方完成すると、無条件では z = 2 が候補に見えますが、z ≥ 5 に入りません。そこで許される範囲の端である5との差を調べます。

(z² - 4z + 7) - 12
= z² - 4z - 5
= (z - 5)(z + 1)

z ≥ 5 より z − 5 ≥ 0、また z + 1 ≥ 6 > 0 です。したがって差は零以上となり、等号は z − 5 = 0、すなわち z = 5 のときに成り立ちます。元の式は 25 − 20 + 7 = 12 です。よって最小値は12、そのとき z = 5 です。平方の非負性から得る下限と、範囲内で実際に達する最小値が異なる例です。