高校数学II 等式の証明—片方の辺から出発し同じ式へ変形する｜武蔵野個別指導塾

片辺の展開と両辺の差を使い分け、分母が零になる値を除いた範囲で等式の証明を仕上げます。

よくあるのは、高2の高校生が証明したい式を最初に書き、その式が正しいものとして変形を始める場面です。計算の終わりに 0 = 0 が現れても、最初の等式が正しい理由を示したことになるでしょうか。式を眺めるときの見通しと、答案に書く証明の出発点は区別します。片側から反対側へ進む道と、差が零になることを示す道を、自分で選べるようにしましょう。

数学IIの式と証明には等式の論証が含まれます。ここでは式が定義される範囲で成り立つ等式を扱い、別に与えられた関係から結論を導く問題には立ち入りません。

どこから計算を始めるか

出方の1つは、形の異なる2つの整式が等しいことを示す問題です。積の形と和の形が並ぶなら、積を展開して同類項をまとめると、もう片側と照合しやすくなります。反対に、和の形に共通因数が見えれば、因数分解して積の形へ進む方法もあります。どちらの辺からでもよいのですが、実際に変形するのは等式を仮定した行ではなく、単独の式です。

2つ目は、両辺の構造が似ていて、差を取ると項が消える問題です。左辺を A、右辺を B とすると、A − B = 0 を示せば A = B と結論できます。差を取った後に展開するのか、共通因数をくくるのかを見ます。単に両辺を別々に計算するより、消える項を追いやすい場合があります。

3つ目は、分数式が含まれる問題です。通分や約分の前に、元の式にある分母が零でない範囲を確認します。変形後に分母が消えたとしても、元の式で使えなかった値が復活するわけではありません。扱う値の範囲を決めたうえで、通分した分子の整理に進みます。

成り立つ範囲と証明の向き

等式 A = B の証明では、対象となる文字の値について A と B がともに定義されることが出発点です。整式なら実数を代入して計算できます。分数式なら、それぞれの分母が零になる値を除きます。分母の条件は計算を簡単にするための飾りではなく、証明する文の範囲を決める条件です。

図1のように、左辺から右辺に到達する方法と、差を零にする方法があります。前者は左辺を独立した式として変形し、最後に右辺と一致させます。後者は両辺の差を独立した式として計算します。いずれも、示したい等式そのものを根拠にしていません。

図1の上の道では、途中の各等号が既知の計算法則から成立します。下の道では、差が零であることを示してから A = B と言います。両辺をそれぞれ同じ式 C に変形しても構いません。その場合は A = C と B = C を別々に示し、最後に A = B と結びます。

証明したい A = B を仮に置き、正しい操作で 0 = 0 にたどり着くことは、見通しを探すためには役立ちます。しかし一方向の推論だけでは、正しい結論から逆向きに元の主張を導けません。逆向きにも必ず戻れる操作ばかりなら同値として証明できますが、各段階の両方向を確認する必要があります。答案では、得られた見通しを使い、根拠のある式から結論に向かって書くと明快です。

例えば x = 1 なら x² = 1 ですが、x² = 1 から x = 1 とは限りません。x = -1 もあるからです。この例は等式の証明そのものではなく、変形の向きを無条件に逆にできないことを示しています。両辺を二乗する、文字を含む式を掛けるなどの操作では特に向きに注意します。

基本例題：積を展開して右辺へ

実数 a, b について、次の等式を証明してください。

(a + 2b)(a − 3b) = a² − ab − 6b²

左辺は2つの式の積です。右辺は整理された和なので、左辺を分配法則で展開します。図2のように、前の括弧の各項を後ろの括弧の各項に掛けます。符号は掛け算の時点で付けておきます。

左辺 = (a + 2b)(a - 3b)
     = a² - 3ab + 2ab - 6b²
     = a² - ab - 6b²
     = 右辺

したがって、求める等式が成り立ちます。最初の行は左辺という1つの式を取り出したもので、示すべき等式を前提にはしていません。2行目では a と -3b の積が -3ab、2b と a の積が 2ab です。同類項をまとめるとき、-3 と 2 の和が -1 なので、中央の項は -ab となります。

図2の4つの積をそれぞれ追うと、-6b² がどこから来たかも確認できます。途中で -3ab と 2ab を先にまとめても構いませんが、符号を間違えやすいときは4項を書き出してから整理します。最後に右辺と文字、係数、符号が一致しているか照合すると、何を示し終えたのかが明確です。

逆向きに考えれば、右辺を因数分解して左辺にする証明も可能です。ただし、因数を推測するより展開の方が見通しのよい形です。片辺から始めると決めた後も、式の形に合う操作を選びます。

標準例題：差を取って消える項を見る

実数 x, y について、次の等式を証明してください。

(x + y)³ − (x − y)³ = 2y(3x² + y²)

左辺と右辺の差を取り、零にします。立方の展開で符号を落とさないよう、引かれる側を括弧に残します。

左辺 - 右辺
= (x + y)³ - (x - y)³ - 2y(3x² + y²)
= (x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
  - (x³ - 3x²y + 3xy² - y³) - 2y(3x² + y²)
= 6x²y + 2y³ - 2y(3x² + y²)
= 2y(3x² + y²) - 2y(3x² + y²)
= 0

よって左辺と右辺は等しいので、等式が成り立ちます。第2行から次の行へ移るとき、後ろの括弧の前の負号を各項に配っています。特に -(-3x²y) は +3x²y になり、前の +3x²y と合わさります。一方、3xy² は差によって消えます。

この問題は左辺だけを変形しても解けます。2つの立方を展開すると 6x²y + 2y³ となり、共通因数 2y をくくれば右辺です。差を使う方法では、右辺の項が残りとちょうど打ち消し合うことを見ます。どちらの方法でも、途中で y で割っていないので y = 0 も含まれます。y = 0 の場合には元の両辺がともに零になることも確認できます。

もし途中で 2y で割ると、y = 0 の場合を別に扱う必要が生じます。掛け算や因数分解だけで進めば、その場合分けは不要です。証明では、成立する範囲を狭める操作をしていないかも点検します。

発展例題：分母の条件を残して通分する

実数 t について、両辺が定義される範囲を明示し、次の等式を証明してください。

1/(t − 2) − 1/(t + 2) = 4/(t² − 4)

元の左辺の分母から t ≠ 2 かつ t ≠ -2 が必要です。右辺の分母も t² − 4 = (t − 2)(t + 2) ですから、同じ2つの値で零になります。したがって証明する範囲は t ≠ 2, -2 です。この範囲では通分に使う積も零ではありません。

左辺 = 1/(t - 2) - 1/(t + 2)
     = (t + 2)/((t - 2)(t + 2)) - (t - 2)/((t - 2)(t + 2))
     = ((t + 2) - (t - 2))/((t - 2)(t + 2))
     = 4/((t - 2)(t + 2))
     = 4/(t² - 4)
     = 右辺

よって、示した範囲で等式が成り立ちます。分子の引き算は t + 2 − t + 2 = 4 です。後ろの括弧を外すときに -2 の符号も変わる点が要です。通分後の分母は元の2つの分母の積であり、範囲の確認によって零でないとわかっています。

範囲の確認を後回しにして t = 2 を代入すると、元の左辺には 1/0 が現れ、数として定義されません。計算結果がどのような形になっても、その値で等式が成立すると言うことはできません。例えば (t² − 4)/(t − 2) を t + 2 と約分する場合も、元の分母に由来する t ≠ 2 は残ります。約分後の式に代入できることと、元の式が定義されることは別です。

別の確認として、許された値 t = 3 を代入すると、左辺は 1 − 1/5 = 4/5、右辺も 4/5 です。ただし1つの値で一致しても、他の許された値で常に一致する証明にはなりません。上の文字式による変形が、範囲内の任意の t を対象にしています。

誤答を証明へ直す

次の等式を証明したいとします。

(p + q)² = p² + 2pq + q²

誤った答案の例は、「示す式より (p + q)² = p² + 2pq + q²。展開すると 0 = 0。よって成立」です。最後の式は正しいのですが、最初に示すべき等式を使ってしまっています。図3のように、結論を出発点に置いた矢印だけでは、その逆向きの証明が書かれたことになりません。

原因は、式を調べるための仮置きと、他人に示す証明とを混同したことです。図3の下段のように、左辺を分配法則で展開するところから書き直します。

左辺 = (p + q)²
     = (p + q)(p + q)
     = p² + pq + pq + q²
     = p² + 2pq + q²
     = 右辺

これで、実数 p, q について等式が成り立つと示せました。別の誤りとして、展開を p² + q² として交差する2項を落とす場合があります。各項同士の積を4つ並べると、pq が2つあることを確認できます。

また、両辺に同じ文字を掛けて正しい式に到達しても、その文字が零のときに情報を失うことがあります。元の等式を示すには、零の場合を確認し、零でない場合の逆向きも根拠を付けなければなりません。証明の途中で使った操作を逆にたどれるか、各行の根拠とともに点検してください。

練習：5つの式で道を選ぶ

次の各問を、指定した範囲で証明してください。途中の変形も書き、分数式では元の式の分母を確認します。

1. 実数 u, v について、(u + 4v)(u − v) = u² + 3uv − 4v²。
2. 実数 m, n について、(m + n)² − (m − n)² = 4mn。
3. 実数 x について、x ≠ 1, -1 のとき、1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 2x/(x² − 1)。
4. 実数 a, b について、(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³。
5. 実数 s について、s ≠ 0, 3 のとき、(s + 3)/(s(s − 3)) − 1/s = 6/(s(s − 3))。

解答と考え方

1. 左辺を展開します。

左辺 = (u + 4v)(u - v)
     = u² - uv + 4uv - 4v²
     = u² + 3uv - 4v²
     = 右辺

よって成立します。元の積を展開した4項を確かめると、中央の2項の和が 3uv です。u または v が零でも割り算をしていないため、そのまま含まれます。

2. 左辺の2つの平方を展開します。

左辺 = (m² + 2mn + n²) - (m² - 2mn + n²)
     = m² + 2mn + n² - m² + 2mn - n²
     = 4mn
     = 右辺

よって成立します。後ろの括弧の負号を各項に配ると、2mn が2つ残ります。元の2つの平方の差に戻しても同じ4項が得られます。

3. 元の分母 x − 1, x + 1, x² − 1 は指定範囲で零ではありません。左辺を通分します。

左辺 = (x + 1)/((x - 1)(x + 1)) + (x - 1)/((x - 1)(x + 1))
     = ((x + 1) + (x - 1))/((x - 1)(x + 1))
     = 2x/(x² - 1)
     = 右辺

よって指定範囲で成立します。右辺を同じ分母の2つの分子に戻すと x + 1 と x − 1 の和になるので、通分した元の左辺に戻ります。

4. 左辺の各項を掛けます。

左辺 = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³
     = a³ + b³
     = 右辺

よって成立します。-a²b と +a²b、+ab² と -ab² がそれぞれ消えます。右辺を因数分解して元の積に戻ることも照合できます。

5. 元の分母は s と s(s − 3) なので、s ≠ 0, 3 が必要です。この範囲で通分します。

左辺 = (s + 3)/(s(s - 3)) - (s - 3)/(s(s - 3))
     = ((s + 3) - (s - 3))/(s(s - 3))
     = 6/(s(s - 3))
     = 右辺

よって指定範囲で成立します。分子 6 を (s + 3) − (s − 3) に戻すと元の2つの分数が得られます。特に s = 3 では約分や通分の操作を実行できません。

手元に残す要点

• 片辺を既知の法則で変形し、反対側の式に到達します。
• 両辺の差を計算する場合は、差が零であることから等式を結論します。
• 分母があるときは、元の式の分母が零でない範囲を先に決めます。
• 文字を含む式で割るときは、零の場合を別に調べます。
• 数値の代入は点検に使い、任意の値についての証明は文字式で示します。

つまずきを見分ける問い

答案の最初が証明したい等式なら、「今の行は何を根拠に書いたか」と問い直します。左辺を独立に取り出し、どの法則で次の行へ進んだかを声に出して説明できれば、結論までの向きが見えます。差を取る方法なら、「零になった後、なぜ両辺が等しいか」まで言葉にします。

分数式で答えの形だけを見ている場合は、変形前の分母を指し、「この値を入れると何が起きるか」を確認します。個別に式を見直すときは、禁止される値を元の分母に戻し、零になる場所を本人の言葉で説明してみてください。途中の等号の根拠と式が定義される範囲をそろえると、証明の筋道が読み取れます。