高校数学III 区分求積法の立式—短冊の幅と標本点を対応させて和を作る｜武蔵野個別指導塾

一般区間の左端・右端・中点を式で表し、有限和に戻して標本点と幅の掛け忘れを見つける手掛かりを得られます。

よくあるのは、短冊の高さを端から順に足し、幅を掛けないまま極限を取ろうとする場面です。高さの並びが合っていても、分割数が増えると項の数も増えます。区間を細かくしたときに何を足しているのかを、1つの小区間に戻して考えましょう。ここでは等分割による和の立式と定積分への移行を扱います。面積の応用問題には進まず、負の値も符号つきで扱います。

問題の姿を見分ける

最初の型は、区間と関数が与えられ、右端などを指定して和を作る問題です。区間の長さを分割数で割り、各小区間の端を番号で表します。高さにはその端の座標を代入し、最後に幅を掛けます。たとえば右端が指定されれば、最初の座標は左端そのものではなく、左端から幅1個分進んだ点です。

次の型は、同じ区間で左端と中点の式を比較する問題です。幅と小区間は共通ですが、高さを測る場所が異なります。有限の分割数では和が異なることがあり、その違いが残るかどうかを極限で調べます。標本点の指定を読み落とすと有限和が変わるため、極限だけが一致しても立式の正しさは保証されません。

もう1つは、和の式を作った後で、その極限を積分で表す問題です。和の項をただ足し合わせるのではなく、各項が「関数値と幅の積」であることを先に確かめます。関数が区間で連続かを調べたうえで定積分に移り、区間の始点と終点も戻して確認します。

小区間と標本点を結ぶ

実数a、bがa<bを満たすとし、正の整数nで閉区間[a, b]を等分します。幅をh=(b-a)/nとおき、分点をxₖ=a+khとします。kは0からnまでの整数です。x₀=a、xₙ=bなので、長さb-aを幅hの小区間n個に分けています。

k番目の小区間は[xₖ₋₁, xₖ]です。左端はa+(k-1)h、右端はa+kh、中点はa+(k-1/2)hです。図1のように、同じ小区間でも高さを読む点が3通りあります。中点は左右の座標の平均として導けるので、暗記が不安なら両端を足して2で割ります。

図1では幅hの区間に3つの標本点を置きました。標本点をcₖとすると、1項はf(cₖ)hです。f(cₖ)はその点での関数値、hは横の幅です。関数値が負なら項も負となり、正の長方形の大きさだけを足す計算とは区別します。

fが[a, b]で連続なら、左端、右端または中点を各小区間の標本点として選んだ和について、次が成り立ちます。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] f(cₖ)h = ∫[a→b] f(x) dx

この定理は連続な関数について使います。区間内に分母が0になる点などがあるときは、式をそのまま適用せず条件を調べ直します。また、定理はnを無限に大きくした極限の等式です。有限のnにおける和が定積分に等しいと主張しているわけではありません。

立式後は、k=1で最初の小区間の指定点、k=nで最後の小区間の指定点に戻るかを確かめます。さらにn個の幅の和nhがb-aになれば、分割の端と幅の検査がそろいます。左端の和をk=0からn-1で書く方法もありますが、その場合は標本点の番号と和の範囲を一緒に変えます。

基本例題：右端の高さに幅を添える

区間[1, 4]をn等分し、f(x)=x+1の各小区間の右端における値を使った和Sₙを作り、極限を分数で求めてください。n=3のときの和も整数で求めます。

幅は区間の長さをnで割るのでh=3/nです。k番目の右端はxₖ=1+3k/nとなり、対応する高さはf(xₖ)=2+3k/nです。幅を1項ごとに掛け、次のように立式します。

Sₙ = Σ[k=1..n] (2+3k/n)・3/n
   = (3/n) {2n+(3/n)Σ[k=1..n] k}
   = (3/n) {2n+3(n+1)/2}
   = 21/2+9/(2n)

2行目は共通の幅を外に出し、定数2をn回足しました。3行目ではΣ[k=1..n] k=n(n+1)/2を使っています。最後の項はnが大きくなると0に近づくため、極限は21/2です。

図2のようにn=3なら幅は1で、右端は2、3、4です。高さは順に3、4、5となり、幅1を掛けた和は12です。一般式にn=3を代入しても12となります。図2では各短冊の右上が直線上にあり、右端で高さを読んだことを示しています。

定理からも確認します。fは多項式なので[1, 4]で連続です。原始関数x²/2+xを使うと、∫[1→4] (x+1) dx=(8+4)-(1/2+1)=21/2です。有限和12と積分値21/2は違いますが、右端の和の余分な部分9/(2n)は極限で消えます。n=3で一致しないことは誤りの証拠ではなく、有限和と極限を分ける手掛かりです。

標準例題：負の端を含む区間の中点

区間[-2, 2]をn等分し、f(x)=x²+1の中点を標本点にした和Mₙとその極限を求めてください。答えはnを用いた式と分数で表します。

区間の長さは4なのでh=4/nです。k番目の左端は-2+4(k-1)/n、右端は-2+4k/nです。これらの平均を取れば中点は-2+4(k-1/2)/nとなります。n=1なら中点は0、k=nなら最後の中点は2-2/nで、区間の中にあります。

Mₙ = (4/n) Σ[k=1..n] {(-2+4(k-1/2)/n)²+1}
   = (4/n) {5n-(16/n)Σ[k=1..n] (k-1/2)
      +(16/n²)Σ[k=1..n] (k-1/2)²}

平方を展開し、定数項をn回足しました。ここで和を求めます。

Σ[k=1..n] (k-1/2) = n(n+1)/2-n/2
                         = n²/2
Σ[k=1..n] (k-1/2)² = Σ[k=1..n] k²-Σ[k=1..n] k+n/4
                          = n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n/4
                          = n(4n²-1)/12

平方和の公式を代入して整理しました。これらをMₙに戻すと、

Mₙ = (4/n) {5n-8n+4(4n²-1)/(3n)}
   = 28/3-16/(3n²)

となります。したがって極限は28/3です。fは全実数で連続で、積分でも[x³/3+x]の-2から2までの差は28/3です。n=1の和は中点0の値1に幅4を掛けた4です。一般式にもn=1を代入すると4となり、標本点と幅が元の条件に戻ります。

左端が-2であることを忘れ、標本点を4(k-1/2)/nとすると区間[0, 4]の中点になります。区間の長さが同じでも位置は異なります。式の中の「-2」は飾りではなく、分割全体を左へ動かす部分です。

発展例題：左右で有限和を比べる

区間[1, 3]をn等分し、f(x)=1/xについて左端の和Lₙと右端の和Rₙを作ってください。n=2のそれぞれの値を分数で求め、両方の極限を対数を使った正確な式で表します。

幅h=2/nなので、k番目の左端は1+2(k-1)/n、右端は1+2k/nです。したがって、

Lₙ = (2/n) Σ[k=1..n] 1/{1+2(k-1)/n}
Rₙ = (2/n) Σ[k=1..n] 1/{1+2k/n}

です。n=2では幅1で、左端は1と2、右端は2と3です。よってL₂=1+1/2=3/2、R₂=1/2+1/3=5/6です。高さを取る位置を先に並べれば、和の端の取り違えを見分けられます。

この関数は[1, 3]で連続ですから、左右どちらの和の極限も同じ定積分です。1/xの原始関数はこの正の区間でlog xなので、

lim[n→∞] Lₙ = ∫[1→3] (1/x) dx
               = log 3-log 1
               = log 3
lim[n→∞] Rₙ = log 3

となります。ここでlogは自然対数です。実際、同じ幅が共通なので、和の共通部分を消すとLₙ-Rₙ=(2/n)(1-1/3)=4/(3n)です。n=2では差2/3となり、3/2-5/6と一致します。この差が0に近づくことも左右の和のつながりを示しますが、極限がlog 3であることは連続性と積分値から求めています。

幅を落とした式の修理

基本例題で「右端の高さは2+3k/nだから、Σ[k=1..n] (2+3k/n)が答え」としたとします。標本点は正しいものの、図3の左側のように高さだけを並べており、幅3/nがありません。右側では各高さに同じ幅を掛け、和に直しています。

高さだけの和は2n+3(n+1)/2です。nを大きくすると増え続け、定積分の21/2には近づきません。修正は、この和全体に3/nを掛けることです。図3で表した1項の対応に戻せば、なぜ幅が必要かを式からも点検できます。

もう1つの誤りは、右端の指定なのにk番目の座標を1+3(k-1)/nとすることです。それは左端です。k=1なら1、k=nなら4-3/nになり、求めたかった最初と最後の右端に一致しません。右端の式1+3k/nに直し、k=1とk=nを再確認します。

中点では、左端に幅を1個足すと右端になります。幅の半分を足して初めて中点です。また、幅を各項に掛けた後に和全体へもう一度掛けると二重に数えます。各項に含めるか、共通因数として和の外に置くかを決めてから式を整理してください。

練習：指定した位置から式を作る

次の5問ではnは正の整数です。和をΣで表し、極限は指定した形で答えてください。途中で使う幅と標本点も書きます。

1. [2, 5]でf(x)=2x-1の左端の和Aₙを作り、nを用いた式と極限を求めてください。極限は整数で表します。
2. [-1, 2]でf(x)=x²の右端の和Bₙを作り、nを用いた式と極限を求めてください。極限は整数で表します。
3. [0, 2]でf(x)=3-xの中点の和Cₙを作り、n=4の値と極限を求めてください。どちらも整数で表します。
4. [1, 4]でf(x)=1/(x+1)の右端の和Dₙを作り、n=3の値を分数で、極限を自然対数で表してください。
5. [-3, 1]でf(x)=x+1の左端の和Eₙを作り、n=4の値と極限を整数で求めてください。負の関数値の符号も保ちます。

練習の解答と戻し方

1. 左端と一次関数

幅は3/n、左端は2+3(k-1)/nです。高さは3+6(k-1)/nとなります。

Aₙ = (3/n) Σ[k=1..n] {3+6(k-1)/n}
   = (3/n) {3n+(6/n)・n(n-1)/2}
   = 18-9/n
lim[n→∞] Aₙ = 18

左端の番号の和は0からn-1までなのでn(n-1)/2です。k=1では2、k=nでは5-3/nとなり、指定された左右の位置に戻ります。fは連続で、[x²-x]の2から5までの差も18です。n=1なら幅3と高さ3の積は9で、一般式の値と一致します。

2. 右端と平方

幅3/n、右端-1+3k/nを代入して展開します。

Bₙ = (3/n) Σ[k=1..n] (-1+3k/n)²
   = (3/n) {n-(6/n)Σ[k=1..n] k+(9/n²)Σ[k=1..n] k²}
   = (3/n) {n-3(n+1)+3(n+1)(2n+1)/(2n)}
   = 3+9/(2n)+9/(2n²)
lim[n→∞] Bₙ = 3

平方和と整数の和を代入しました。k=1は-1+3/n、k=nは2で、右端として正しい位置です。fは連続で、[x³/3]の-1から2までの差は3です。n=1では右端2の値4に幅3を掛けて12となり、一般式にも一致します。

3. 中点を4個並べる

幅は2/n、中点は(2k-1)/nです。高さを代入して和を整理します。

Cₙ = (2/n) Σ[k=1..n] {3-(2k-1)/n}
   = (2/n) {3n-(1/n)Σ[k=1..n] (2k-1)}
   = (2/n) (3n-n)
   = 4

奇数の和がn²なので、どのnでもCₙ=4です。n=4の幅は1/2、中点は1/4、3/4、5/4、7/4です。対応する高さは11/4、9/4、7/4、5/4であり、その合計8に幅1/2を掛けても4です。連続性を満たし、積分[3x-x²/2]の0から2までの差も4なので、極限は4です。有限和が毎回一致するのはこの一次関数の中点の配置による結果で、一般の関数に広げません。

4. 分母の点検から始める

幅は3/n、右端は1+3k/nです。区間内でx+1は2以上なので分母は0にならず、fは連続です。

Dₙ = (3/n) Σ[k=1..n] 1/(2+3k/n)
D₃ = 1/3+1/4+1/5
   = 47/60
lim[n→∞] Dₙ = ∫[1→4] 1/(x+1) dx
                = log 5-log 2
                = log(5/2)

n=3の幅は1、右端は2、3、4です。これらを元の関数に代入すると、それぞれ1/3、1/4、1/5に戻ります。積分では区間上でx+1が正なので原始関数log(x+1)を使えます。

5. 負の高さを残す

幅は4/n、左端は-3+4(k-1)/nです。関数値は-2+4(k-1)/nなので、

Eₙ = (4/n) Σ[k=1..n] {-2+4(k-1)/n}
   = (4/n) {-2n+(4/n)・n(n-1)/2}
   = -8/n
E₄ = -2
lim[n→∞] Eₙ = 0

n=4なら左端は-3、-2、-1、0、幅は1です。元の関数に入れた値-2、-1、0、1を足すと-2となります。負の項を正に変えないことが要点です。fは連続で、[x²/2+x]の-3から1までの差も0です。有限和が負でも、その極限が0となることに矛盾はありません。

手元に残す要点

• 幅は区間の長さをnで割り、n個の幅が元の長さに戻るかを確かめます。
• k番目の左端・右端・中点を区間の始点から書き、指定された点の関数値に幅を掛けます。
• 連続性を確認してから和の極限を定積分に移し、有限和とは区別します。

どこで止まったかを式から読む

最初の項が正しく、最後の項だけが区間の外に出る場合は、kの範囲と標本点の番号が食い違っている可能性があります。最初と最後の小区間を実際に書き、指定された点の位置と式を照合してください。項数がn個かどうかもここで確認できます。

一方、高さの座標は合うのに和が分割数とともに大きくなる場合は、幅の掛け忘れを疑います。個別指導では、答案の1項を指して「どの区間の、どの点の値に、どの幅を掛けたか」を本人の言葉で確かめます。両端が合い、幅と高さが対応した和なら、極限への移行も根拠を持って書けます。