高校数学II 直線の方程式と距離—傾きと垂直条件をそろえて位置関係を調べる｜武蔵野個別指導塾

縦の直線を含む位置関係の判定と垂線の足を通して、図から求めるのが点と直線の距離です。

よくあるのは、直線の式を y = mx + n と置いたまま、傾きが定義できない直線を候補から除いてしまう場面です。例えば、2点の x 座標が等しければ、それらを通る直線は縦に延びます。この直線にも方程式があり、水平な直線とは垂直に交わります。式を選ぶ前に図の向きを確かめると、見落としを防げます。

ここでは2点を通る直線、直線どうしの平行・垂直と交点、点と直線の距離を扱います。図を手がかりにしながら、式の条件が図のどの特徴を表すかを結びつけていきます。

問われる形を見分ける

定期テストでは、2点の座標から直線の方程式を求める形が考えられます。x 座標が異なるときは変化の割合から傾きを出し、片方の点を通る条件を使います。x 座標が等しいときは傾きの式で割ることができないため、共通の x 座標を使います。最初の分岐が、その後の計算を決めます。

もう1つは、2直線の平行や垂直を判定し、必要なら交点を求める形です。傾きが両方とも定義できる場合は、傾きの等しさや積を調べます。縦の直線がある場合は、傾きを無理に計算せず、縦と横という向きで考えます。平行な直線は交点を持たない場合と一致する場合に分かれます。

さらに、点から直線に引いた垂線の長さを求める形があります。公式に代入する場合も、分子の絶対値と分母の平方根を落とさないことが必要です。垂線の足を実際に求めて距離を出せば、公式に入れる値と図の位置の両方を確かめられます。

傾きがない直線も座標で表す

異なる2点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) を考えます。x₁ と x₂ が異なるなら、A から B への横の変化は x₂ − x₁、縦の変化は y₂ − y₁ です。傾き m は (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) で表されます。A を通り傾きが m の直線の式は y − y₁ = m(x − x₁) です。x = x₁ を代入すると y = y₁ となり、A を通ることも確かめられます。

一方、x₁ = x₂ のときは分母が 0 なので、この式で傾きを定義できません。2点が異なるという条件から y 座標は異なり、直線は x = x₁ です。これは y の値が変わっても x が固定される縦の直線です。対照的に y₁ = y₂ で x 座標が異なる場合は、傾き 0 の水平な直線 y = y₁ になります。

図1のように、水平な直線と縦の直線は直角に交わります。縦の直線には傾きがないので、傾きの積を使う前にこの組を別に扱います。なお、同じ点を2回与えただけでは通る直線を1本に定められません。2点が異なることも問題の条件として確認します。

図1では、横の線は y が一定、縦の線は x が一定です。傾きが存在する2直線 y = m₁x + n₁ と y = m₂x + n₂ は、m₁ = m₂ のとき平行または一致します。切片も等しければ一致し、異なれば交点はありません。m₁ と m₂ の積が -1 のときは垂直です。この積の条件は、傾きが存在する2直線に対して使います。

点 P(x₀, y₀) と直線 ax + by + c = 0 の距離は |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²) です。ただし a、b は同時に 0 ではありません。この条件で直線が定まり、分母も 0 になりません。分子は点を式の左辺に代入した値の絶対値です。符号は直線のどちら側に点があるかで変わりますが、距離は負にならないため絶対値を付けます。P が直線上なら分子は 0 で、距離も 0 です。

2点から直線と距離を出す

【基本例題】A(0, 1)、B(3, 3) を通る直線を求め、点 P(1, 4) とその直線との距離を求めてください。直線は整数係数の方程式で、距離は根号を用いた正確な形で答えます。座標の単位を1とします。

A と B の x 座標は異なります。したがって傾きは、縦の変化を横の変化で割って求められます。

m = (3 − 1)/(3 − 0)

m = 2/3

A(0, 1) を通ることから、点と傾きを使う式に入れます。

y − 1 = (2/3)(x − 0)

y = (2/3)x + 1

分母を払って整理すると、求める直線は 2x − 3y + 3 = 0 です。A を代入すると 0 − 3 + 3 = 0、B を代入すると 6 − 9 + 3 = 0 となります。指定された2点が確かに式を満たします。

図2のように、P から直線へ垂線を引いた足を H とします。元の直線の傾きは 2/3 ですから、垂線の傾きは -3/2 です。P を通る垂線の式は次のようになります。

y − 4 = (-3/2)(x − 1)

y = (-3/2)x + 11/2

H は2直線の交点なので、y の式を等しくして x を求めます。

(2/3)x + 1 = (-3/2)x + 11/2

4x + 6 = -9x + 33

13x = 27、x = 27/13

この値を y = (2/3)x + 1 に代入すると y = 31/13 です。したがって H(27/13, 31/13) です。P と H の座標の差から、距離 PH は次のように求まります。

PH = √｛(27/13 − 1)² + (31/13 − 4)²｝

= √｛(14/13)² + (-21/13)²｝

= √637/13 = 7√13/13

図2の直角の印は、P と H を結ぶ線が A と B を通る直線に垂直であることを示します。公式でも、|2 × 1 − 3 × 4 + 3|/√(2² + (-3)²) = 7/√13 = 7√13/13 です。H は両方の直線の式を満たし、2本の傾きの積も -1 なので、求めた線分は実際に垂線です。座標の差から得た長さと公式の値が一致しました。

縦の候補を残して条件を調べる

【発展例題】点 Q(2, -1) を通り、点 R(5, 3) との距離が 3 である直線をすべて求めてください。直線は整数係数の方程式で答えます。座標の単位を1とします。

傾きが定義できる直線だけを調べると、Q を通る縦の直線が漏れます。そこで先に x = 2 を調べます。R の x 座標は 5 なので、この縦の直線までの水平な距離は |5 − 2| = 3 です。したがって x = 2 は条件を満たします。

次に、縦でない直線を傾き m を用いて y + 1 = m(x − 2) と置きます。これは Q を通り、任意の実数 m に対して縦でない直線を表します。距離の公式へ入れるため、左辺を整理します。

y = mx − 2m − 1

mx − y − 2m − 1 = 0

R(5, 3) を代入し、距離が 3 であることを式にします。分母の √(m² + 1) は正です。

|5m − 3 − 2m − 1|/√(m² + 1) = 3

|3m − 4| = 3√(m² + 1)

両辺は 0 以上なので、両辺を2乗してもこの等式と同値です。展開して整理します。

(3m − 4)² = 9(m² + 1)

9m² − 24m + 16 = 9m² + 9

-24m = -7、m = 7/24

この傾きを直線の式に戻すと、y + 1 = (7/24)(x − 2) です。両辺を24倍して整理すれば 7x − 24y − 38 = 0 となります。答えは x = 2 と 7x − 24y − 38 = 0 の2直線です。

後者が Q を通ることは 14 + 24 − 38 = 0 から確かめられます。R からの距離も |35 − 72 − 38|/√(49 + 576) = 75/25 = 3 です。縦の直線とそれ以外に分け、後者の傾きについて同値な式を解いたため、条件を満たす直線の漏れはありません。

誤答から直す：縦線と垂直条件

発展例題で「Q を通る直線は y + 1 = m(x − 2) と書けるので、7x − 24y − 38 = 0 のみ」とする答えを考えます。計算で得た直線自体は正しいものの、答えとしては不足しています。傾き m を使った式には x = 2 が入っていないからです。

図3のように、Q を通る縦の直線と、傾きを持つ直線を別々に調べます。縦線への距離は横の座標の差です。R から左へ3進んだ点 (2, 3) は x = 2 上にあり、水平な線分は縦線に垂直です。これで縦線が条件に合うことが見えます。

図3の2つの直線はどちらも Q を通り、R からの距離が 3 です。直角の印は、それぞれの最短距離を示す線分の足に付けています。傾きの積が -1 という条件を縦線に当てはめることはできません。縦線に垂直な直線は水平線と判断し、横と縦の関係から足と距離を出します。

別の誤りとして、距離の公式の分子を 3m − 4 のままにする例があります。点が直線の片側にあると代入値が負にもなるため、それを距離として扱うと候補を落とします。絶対値を付けた式で立て、2乗するなら両辺が非負であることを書き、最後に元の距離へ戻してください。

練習問題

次の4問はそれぞれ独立しています。座標の単位を1とし、直線の方程式は整数係数、座標と距離は整数・分数または根号を用いた正確な形で答えてください。

1. C(-2, 4)、D(4, -2) を通る直線の方程式を求めてください。
2. E(3, -2)、F(3, 5) を通る直線と、点 G(-1, 1) を通り EF に垂直な直線の方程式を求め、2直線の交点を求めてください。
3. 直線 4x + 3y − 6 = 0 と点 S(3, 2) との距離を求めてください。
4. 点 T(1, 2) を通り、直線 3x − 4y + 7 = 0 に平行な直線と垂直な直線をそれぞれ求め、2直線が元の直線と交わるかを判定してください。

練習の答えと途中の判断

1. 傾きは (-2 − 4)/(4 − (-2)) = -6/6 = -1 です。C を通るので y − 4 = -(x + 2)、整理して x + y − 2 = 0 です。C では -2 + 4 − 2 = 0、D では 4 − 2 − 2 = 0 となります。2点の横の座標が違うため、傾きの分母は 0 ではありません。

2. E と F の x 座標はともに 3 なので、EF は x = 3 です。これに垂直な直線は水平で、G の y 座標を使って y = 1 となります。両方を同時に満たす交点は (3, 1) です。交点をそれぞれの式に代入すると x = 3、y = 1 となり、確かに両直線上にあります。傾きの積を計算する必要はありません。

3. 公式に a = 4、b = 3、c = -6、S の座標を入れます。分子は |4 × 3 + 3 × 2 − 6| = 12、分母は √(4² + 3²) = 5 です。距離は 12/5 です。点を元の直線へ代入すると左辺は 12 なので直線上にはなく、正の距離という結果とも合います。

さらに足を確かめると、垂線は傾き -3/4 で S を通るので y − 2 = (-3/4)(x − 3) です。元の直線との交点は (27/25, 14/25) になります。両直線に代入でき、S との差は (-48/25, -36/25) なので、距離は √(48² + 36²)/25 = 12/5 と元の場面でも一致します。

4. 元の直線を y について解くと y = (3/4)x + 7/4 です。平行な直線は同じ傾きを持つため、y − 2 = (3/4)(x − 1)、すなわち 3x − 4y + 5 = 0 です。T を元の式に代入すると 3 − 8 + 7 = 2 で、T は元の直線上にありません。よってこの平行な直線は元の直線と一致せず、交点もありません。

垂直な直線の傾きは -4/3 です。y − 2 = (-4/3)(x − 1) を整理すると 4x + 3y − 10 = 0 です。これと元の式を連立します。

3x − 4y = -7、4x + 3y = 10

前者を3倍、後者を4倍して足すと 25x = 19、x = 19/25 です。これを後者に戻せば y = 58/25 です。したがって垂直な直線は (19/25, 58/25) で元の直線と交わります。この点を両方の式に戻すと、それぞれ左辺は 0 です。両方の求めた直線は T を通り、傾きが条件に合うことまで確かめられます。

交点の計算では、平行な直線に対して無理に座標を求めないことも大切です。2本の式を引いて 0 = 0 となれば一致の可能性を調べ、0 = 2 のような等式になれば共通の点はありません。傾きが異なれば交点は1つに決まり、その点は2本の式を同時に満たします。符号を間違えて片方の式だけを満たす座標を答えないように、両方への代入を最後に残します。

距離の公式は、直線の式を定数倍しても同じ値になります。例えば係数を2倍すれば分子も分母も2倍されるからです。負の数を掛けても、分子の絶対値と分母の平方根によって長さは変わりません。式の並べ方が異なる答えを見たときは、係数の比と代入値を比べると同じ直線か判断できます。

答えを書く前に

2点の x 座標が等しいかを先に見る。 傾きの積が -1 という判定は両方の傾きがあるときに使う。 距離は絶対値を付け、垂線の足または元の式で確かめる。

どこで止まったかを言葉にする

2点を通る式が立たないときは、まず横の変化と縦の変化を別々に書いてみてください。横の変化が 0 なら縦線、縦の変化が 0 なら水平線です。その区別ができた後に、傾きと通る点を式に入れる順を説明できるかを見ます。

個別指導で確かめるなら、計算結果の数字だけでなく、縦の直線を調べる理由や、距離に絶対値が必要な理由を自分の図に沿って説明できるかが手がかりです。交点を求めた後には2本の式に戻し、距離を求めた後には垂直な線分と結びつけます。直線の向きと式の条件を往復できれば、初めて見る座標でも判断を進められます。