高校数学II 円の方程式—平方完成で中心と半径を読み条件から式を作る｜武蔵野個別指導塾

一般形を平方完成して中心と半径を読み、3点を代入して円の係数を決める過程を、条件への戻し方までたどります。

よくあるのは、高校生が一般形の定数をそのまま半径だと考え、図に合わない円を描いてしまう場面です。定数は平方完成の途中で変化するため、そのまま半径とは読めません。中心からの距離という円の定義に戻り、式と図を往復して確かめましょう。ここでは円の式の作成までを扱い、接線の求め方には立ち入りません。

円の問題で求められること

定期テストでは、まず式から中心と半径を読む型があります。括弧の中の符号を逆にして中心を読み、右辺の平方根を半径とします。一般形で与えられたら、先に平方完成して右辺が正かどうかまで判断します。

次に、中心と通る点などの条件から式を作る型があります。中心と通る点との距離の2乗を計算すれば、半径を直接求めなくても標準形を書けます。点を代入したときに等式が成立するかを最後に確認しましょう。

もう1つは、3点を通る円を求める型です。中心も半径も未知なので、一般形に各点を代入して係数を決めます。連立方程式が解けても、平方完成した右辺が正であり、指定された3点を通ることを確認して答えにします。3点が同一直線上にある場合は、円が作れると決めつけず条件を調べます。

中心からの距離を式にする

中心を C(a, b)、半径を r とし、r は正とします。円周上の点を P(x, y) とすると、距離の公式から CP は √[(x − a)² + (y − b)²] です。CP = r の両辺を2乗すると、円の標準形は次の式です。

(x − a)² + (y − b)² = r²

逆にこの等式を満たす点は、左辺が距離の2乗で右辺が正なので、中心からの距離が r です。したがって、この式は円周上の点を過不足なく表します。括弧の中は座標そのものではなく、点と中心の座標の差です。

図1のように、横の差と縦の差を直角三角形の2辺として見ると、2乗の和が半径の2乗に対応します。中心が負の座標を持つ場合も、引き算の形を保ってから符号を整理します。例えば中心の横座標が -2 なら、横の差は x − (-2) = x + 2 です。

一般形 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 では、x と y の係数をそれぞれ半分にして平方完成します。左辺を変形し、定数を右辺へ移すと次の形です。

(x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F

右辺が正なら、中心は (-D/2, -E/2)、半径は右辺の正の平方根です。右辺が 0 なら2つの平方がともに 0 の点1個を表し、半径が正の円ではありません。右辺が負なら、平方の和は負になれないので実数の点はありません。定数 F の符号や大きさだけでは、どの場合か決められません。

平方完成では、括弧を展開したときに加わる数を意識します。例えば x² + 6x は (x + 3)² − 9 です。9 を足したままにすると元の式と異なるため、左辺に生じた余分な数を引きます。x と y の部分を別々に処理してから定数をまとめると、右辺の符号まで追いやすくなります。

基本例題：一般形を中心と半径に戻す

問題　方程式 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 が表す円の中心と半径を求め、中心の座標は整数、半径は正の整数で答えなさい。

まず文字ごとに項を集めます。定数 -12 はそのまま残します。

x² − 4x + y² + 6y − 12 = 0

x の係数 -4 の半分は -2、y の係数 6 の半分は 3 です。それぞれ平方を作ると、元の式より増えた 4 と 9 を引く必要があります。

(x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0

定数を合わせて右辺に移します。

(x − 2)² + (y + 3)² − 25 = 0

(x − 2)² + (y + 3)² = 25

右辺 25 は正なので円です。標準形と照らすと中心は (2, -3)、半径は √25 = 5 です。元の定数 -12 を半径と読むことはできません。定数は中心の座標を作るための平方完成の結果と合わさって、右辺の 25 に変わります。

図2のように中心から右に 5 進んだ点は (7, -3) です。この点は (7 − 2)² + (-3 + 3)² = 25 を満たします。元の一般形にも代入すると 49 + 9 − 28 − 18 − 12 = 0 となり、確かに円周上です。なお、この1点の代入は計算の点検であり、式変形が正しい根拠は各行が等価であることです。

半径の読み取りにも段階があります。右辺 25 は半径ではなく半径の2乗です。右辺が正の数であることを見てから正の平方根を取れば、長さとしての半径を得られます。中心についても、括弧の符号を見てすぐ書く前に「x から何を引いているか」と読み直すと、y 座標の符号を取り違えにくくなります。

円の式を作る問題では、この流れを逆向きに使います。中心がわかっていれば、標準形の括弧に中心の座標を入れます。さらに円周上の点が1つわかれば、その点と中心の距離から右辺を決められます。式を展開して一般形にする必要がある場合も、先に標準形で中心と距離を確認しておくと、展開後の定数の誤りに気づけます。

一方、式に含まれる数が変化する問題では、中心を読み取ることと、円が存在することの判定を分けます。平方完成で得た右辺が文字を含んでいても、その文字の値によって正、0、負のいずれになるかを調べる手順は変わりません。正のときは円、0 のときは1点、負のときは実数の点がないという区別を、式から説明します。

3点を通る円：係数を条件で決める

問題　3点 A(1, 0)、B(5, 0)、C(1, 4) を通る円の方程式を求め、標準形で答えなさい。

3点を通るかは各座標を代入して調べられます。中心が未知なので、まず円の一般形を x² + y² + Dx + Ey + F = 0 と置きます。この形に置くと、未知数 D、E、F はいずれも1次で現れます。

A を代入すると、1 + D + F = 0 です。

B を代入すると、25 + 5D + F = 0 です。

C を代入すると、17 + D + 4E + F = 0 です。

B の式から A の式を引けば、共通の F が消えます。

24 + 4D = 0

D = -6

同様に C の式から A の式を引きます。

16 + 4E = 0

E = -4

A の式に D = -6 を戻すと、1 − 6 + F = 0 より F = 5 です。したがって、候補の一般形は x² + y² − 6x − 4y + 5 = 0 です。これを平方完成します。

(x − 3)² − 9 + (y − 2)² − 4 + 5 = 0

(x − 3)² + (y − 2)² = 8

右辺 8 は正なので、中心 (3, 2)、半径 √8 = 2√2 の円です。A、B、C について、中心からの横と縦の差の2乗の和はそれぞれ 4 + 4 = 8 です。3点が元の条件どおり円周上にあることも確かめられます。

この方法で得られた係数は、3本の条件式から順に一意に決まりました。したがって、この3点を通る円が別にあるとしても、その一般形の係数は同じです。実際に右辺が正の円になり3点を通ることも示したので、求めた式が答えです。3点の座標によっては条件式が両立せず、円が存在しない場合もあります。そのときは係数が決まらないまま半径を計算しようとせず、連立した式の関係を見直します。

3点から式を作る際、代入の後に2本の式の差を取る理由は、同じ定数 F を消すためです。どの式からどの式を引いたかを記せば、定数項と係数の符号を同じ向きにそろえられます。最後に残った式へ係数を戻すときも、代入した元の点を明示すると計算の位置を追いやすくなります。

また、円の一般形を置いた段階では、得られる係数が必ず円を表すとは限りません。3つの条件を満たす係数が求まった後に平方完成し、半径の2乗が正かを確かめることが必要です。条件式が両立することと、正の半径を持つことを別々に確かめて、答案の抜けを防ぎましょう。

誤答をほどく：符号と半径の2乗

たとえば x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 から、中心を (1, -4)、半径を 8 と読むのは誤りです。一般形の係数の半分は平方完成の括弧に入る数であり、中心はその符号を反転した値です。また定数 8 は半径ではありません。

平方完成を1項ずつ確かめます。

x² + 2x = (x + 1)² − 1

y² − 8y = (y − 4)² − 16

これらを元の式に戻します。

(x + 1)² − 1 + (y − 4)² − 16 + 8 = 0

(x + 1)² + (y − 4)² = 9

正しくは中心 (-1, 4)、半径 3 です。中心から右に 3 の点 (2, 4) を元の式に代入すると、4 + 16 + 4 − 32 + 8 = 0 です。図3のように、まず括弧と中心を対応させ、次に右辺から半径を取ります。

もう一つの間違いは、右辺の符号を見ずに平方根を取ることです。たとえば (x − 1)² + (y + 2)² = -4 では、左辺は 0 以上なので実数の点はありません。右辺が 0 の場合も円周があると考えず、2つの平方がどちらも 0 の点に限られることを説明します。どちらも「正の半径を持つ円」と区別してください。

手を動かす練習

次の4問はすべて自分で式を作るか、式を変形してから答えを見てください。座標と係数は整数または分数、半径は整数または根号を含む正確な形で答えます。

1. 中心 (4, -1) を持ち、点 (1, 3) を通る円の方程式を標準形で求めなさい。
2. x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0 が表す円の中心と半径を求めなさい。
3. x² + y² − 2x + 4y + k = 0 が正の半径を持つ円を表すための実数 k の範囲を、不等式で求めなさい。境界とその外で表す図形も答えなさい。
4. 3点 (0, 1)、(4, 1)、(0, 3) を通る円の方程式を標準形で求めなさい。

練習の答えと考え方

1. 中心と点の座標の差は横が 1 − 4 = -3、縦が 3 − (-1) = 4 です。距離の2乗は (-3)² + 4² = 25 なので、半径は 5、求める式は次のとおりです。

(x − 4)² + (y + 1)² = 25

指定された点を戻すと左辺は 9 + 16 = 25 です。括弧の中がそれぞれ中心との差であることから、中心も (4, -1) と確認できます。距離の2乗を用いるので、負の数を半径として採用する必要はありません。

2. x と y を分けて平方完成します。

(x + 4)² − 16 + (y − 1)² − 1 + 8 = 0

(x + 4)² + (y − 1)² = 9

右辺は正なので円であり、中心は (-4, 1)、半径は 3 です。中心から右に 3 の点 (-1, 1) を元の式に代入すると、1 + 1 − 8 − 2 + 8 = 0 です。展開しても元の一般形に戻るので、全体の式変形を確認できます。

3. 平方完成すると次のようになります。

(x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 + k = 0

(x − 1)² + (y + 2)² = 5 − k

正の半径を持つには右辺が正である必要があり、それで十分です。したがって 5 − k > 0、答えは k < 5 です。k = 5 では点 (1, -2) のみ、k > 5 では実数の点はありません。例えば境界では元の式に (1, -2) を代入すると 1 + 4 − 2 − 8 + 5 = 0 です。k < 5 のとき中心から右へ √(5 − k) 進んだ点を代入すれば、元の条件を満たす点も確かに存在します。

4. 一般形を x² + y² + Dx + Ey + F = 0 と置きます。与えられた3点を順に代入します。

1 + E + F = 0

17 + 4D + E + F = 0

9 + 3E + F = 0

2本目から1本目を引くと 16 + 4D = 0 より D = -4 です。3本目から1本目を引くと 8 + 2E = 0 より E = -4 です。1本目に戻すと F = 3 なので、一般形は x² + y² − 4x − 4y + 3 = 0 です。

(x − 2)² − 4 + (y − 2)² − 4 + 3 = 0

(x − 2)² + (y − 2)² = 5

右辺が正なので、これは中心 (2, 2)、半径 √5 の円です。指定された3点から中心までの距離の2乗は、順に 4 + 1、4 + 1、4 + 1 で、いずれも 5 です。係数は連立式から一意に決まるため、他の円はありません。

答案に残したい要点

• 標準形の括弧は中心との差、右辺は半径の2乗です。
• 一般形は平方完成し、右辺が正か判定します。
• 3点の座標を代入し、係数と円の成立を確かめます。
• 求めた式に元の点を戻し、条件との一致を点検します。

どこで止まったかを見分ける

中心の符号が逆になる人は、標準形の括弧を「x から中心の横座標を引く」と声に出して読んでみましょう。半径を誤る人は、右辺に「半径の2乗」と書き添え、平方根を取る行を省かずに残します。右辺が 0 や負のときの判断も、平方の和の性質へ戻ると説明できます。

3点の問題で手が止まる場合は、点の座標をそれぞれ同じ一般形へ代入できるかを先に確かめます。代入ができても引き算で符号が変わる場合は、2本の式を縦にそろえて定数が消える位置を確認します。個別指導では、どの行から次の行へ進めなくなったかを答案で示し、最後に元の3点が円周上にある理由まで自分の言葉で説明できるかを確かめます。中心と半径が条件へ戻るところまで書けば、円の方程式は図と結びつきます。