高校数学III 和の極限と定積分—nとkを整理して区分求積の形を見抜く｜武蔵野個別指導塾

添字の始点と終点から標本点を復元し、点の間隔に合わせて幅を補うことで、和を定積分へ移す根拠が定まります。

よくあるのは、分母にnがある和を見ると、積分区間を0から1までと決めてしまう場面です。分母がnでも、添字がどこからどこまで動くかによって、標本点の区間は変わります。例えばk/nが1付近から3付近まで動く和では、その動きを先に追います。式の形を整えた後で幅と端点を照合すれば、定積分への移行を根拠つきで書けます。

要点（結論から）

• 分母のnだけで区間を決めず、添字の両端を標本点に代入します。
• 点の間隔を幅と比べ、一致しない係数を外に残します。
• 連続性を確かめ、ずれた点の位置と元の1項を照合します。

和の姿を読む3つの入口

第1は、各項に1/nが現れ、残りがk/nの関数になっている型です。kが1からnまでなら、標本点は1/nから1まで動き、幅1/nの右端の和として読めます。ところが同じk/nでもkがn+1から3nまでなら、点は1+1/nから3まで動きます。分母だけでは端点を確定できません。

第2は、分母や根号の中からnを取り出して初めて幅が見える型です。例えば分母がn+kなら、n(1+k/n)と整理します。その結果として生まれる1/nを幅に対応させ、残った式を標本点の関数として読みます。幅が外に現れないうちは、定積分の記号へ飛び移らないことが安全です。

第3は、kに定数が足されたり、分割数と異なる係数が付いたりする型です。(k-1/2)/nは中点、2k/nは間隔2/nの点です。和の係数が1/nなら、幅2/nとの差を補う係数1/2も残ります。標本点の範囲と隣り合う点の差を別々に調べます。

標本点と幅を対応させる

連続関数fについて、a<bとし、区間をn等分した幅をΔx=(b-a)/nとします。各小区間の右端はxₖ=a+kΔxです。このとき区分求積の定理により、次の極限が成り立ちます。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] f(a+k(b-a)/n) (b-a)/n
= ∫[a→b] f(x) dx

左端や中点を使っても、各小区間から選んだ点であれば同じ定積分に収束します。連続性はこの移行の前提です。分母が0になる点が区間内にある式などに、連続関数の定理をそのまま使うことはできません。

図1のように、和の1項を「関数の値」と「幅」に分けます。標本点の最初と最後は有限のnでは必ずしも端点そのものではありませんが、その極限が区間の端に近づくことを確かめます。さらに、点の間隔と幅が一致するかを調べます。

図1では右端の例を示しています。左端や中点では点の位置は変わりますが、分割区間と幅は変わりません。なお、分母にnがあるという見かけは連続性の保証にもなりません。定積分が存在するかまで含めて点検します。

標本点が固定個数分ずれている場合もあります。例えば(k+c)/nでcがnによらない定数なら、k/nとの差はc/nです。連続関数を閉区間で考えると、この差による関数値のずれは一様に小さくなります。幅1/nの項をn個足しても、その差は0に近づきます。ただし標本点が元の小区間の外にあるとき、最初から同じ小区間の標本点だとは言えません。関数がずれた点を含む近傍でも定義され連続であることを確認し、右端の和との差を考えます。

基本例題：添字から端点を戻す

次の極限を対数を含む正確な式で求めます。

lim[n→∞] Σ[k=n+1..3n] 1/(n+k)

まず分母からnをくくります。nは正の整数なので割れます。

1/(n+k) = (1/n)・1/(1+k/n)

ここでf(x)=1/(1+x)とします。k/nは1+1/nから3まで1/nずつ増えます。図2のように、この点列は区間[1,3]を幅1/nで分けた右端です。小区間の数は3n-(n+1)+1=2n個で、幅との積は2です。

図2の右端の並びを元の項に戻すと、幅1/nと高さ1/(1+k/n)の積が確かに1/(n+k)です。fは[1,3]で連続なので、区分求積の定理を適用できます。

lim[n→∞] Σ[k=n+1..3n] 1/(n+k)
= ∫[1→3] 1/(1+x) dx
= [log(1+x)]（1から3まで）
= log 4 - log 2
= log 2

答えはlog 2です。端点の代入では1+xが2から4まで正で、対数が定義されます。また元の各項は正なので、正の結果と符号も合います。分母のnから区間を[0,1]とした場合、標本点の最初が1に近づくことを説明できません。

標準例題：点の間隔と外の係数

次の極限を分数で求めます。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (2+3k/n)²

標本点をxₖ=2+3k/nと読むと、隣り合う点の差は3/nです。最初の点は2+3/n、最後は5なので、[2,5]の右端の和になります。一方、元の係数は1/nですから、幅3/nの半分ではなく1/3倍です。

(1/n) Σ[k=1..n] (2+3k/n)²
= (1/3) Σ[k=1..n] (2+3k/n)²・(3/n)

x²は[2,5]で連続です。区分求積の定理を使い、最後に係数を残します。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (2+3k/n)²
= (1/3) ∫[2→5] x² dx
= (1/3) [x³/3]（2から5まで）
= (1/3)・(125-8)/3
= 13

別の読み方としてt=k/nを使えば、区間[0,1]の∫[0→1] (2+3t)² dtです。こちらは幅が最初から1/nで、同じ13になります。積分区間は選んだ変数と組になっています。式の中をx=2+3k/nと読みながら、区間だけを[0,1]にすることはできません。

元の和を展開しても確認できます。Σ[k=1..n] k=n(n+1)/2、Σ[k=1..n] k²=n(n+1)(2n+1)/6を使うと、有限のnでの和は13+21/(2n)+3/(2n²)です。したがって極限は13です。ここでも各標本点が2+3k/nであることと、元の係数が1/nであることに戻して照合しました。

発展例題：中点にずれた分母

次の極限を対数を含む正確な式で求めます。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] 1/(3n+2k-1)

分母からnを取り出し、(2k-1)/nを2(k-1/2)/nと直します。

1/(3n+2k-1)
= (1/n)・1/(3+2(k-1/2)/n)

xₖ=(k-1/2)/nは[0,1]をn等分した各小区間の中点です。f(x)=1/(3+2x)は[0,1]で分母が3以上なので連続です。よって幅1/nの中点の和として扱えます。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] 1/(3n+2k-1)
= ∫[0→1] 1/(3+2x) dx
= [(1/2) log(3+2x)]（0から1まで）
= (1/2)(log 5-log 3)
= (1/2) log(5/3)

原始関数を微分すると1/(3+2x)に戻ります。元の最初の分母は3n+1、最後は5n-1で、標本点を代入した分母と一致します。各項は正で、得られた対数も正です。

ここで中点を右端と誤認しても、この連続関数では極限値は一致します。しかし有限のnの和は一致しません。たまたま答えが同じでも、元の和を復元できなければ対応の説明としては不十分です。固定されたずれがnに比例する場合には、区間自体が変わることもあります。

誤答を区間から修理する

基本例題で、次のように変換したとします。

Σ[k=n+1..3n] 1/(n+k)
→ ∫[0→1] 1/(1+x) dx

これは誤りです。関数の形と係数1/nは正しく見えても、添字の範囲を区間に反映していません。図3のように、k/nは0付近からではなく1付近から始まり、3で終わります。項数もn個ではなく2n個です。

図3の下段に直すには、まず最初と最後のkを代入します。次に隣の点との差1/nを求め、2n個の幅が長さ2を埋めることを確かめます。その上で区間を[1,3]とします。もし標本点の式を別の変数に取り直すなら、関数の式と幅も同時に変える必要があります。

別の失敗は幅を二重に掛けることです。1/(n+k)を(1/n)/(1+k/n)にした時点で、幅1/nは既に現れています。さらに1/nを掛けると元の1項に戻りません。逆に1/nを捨てると、有限和の大きさが変わります。変換後の1項を掛け戻す確認は、どちらの失敗にも有効です。

練習：まず5問を自分で読む

それぞれ、指定した形で極限を求めてください。各和でnは正の整数とします。標本点、幅、積分区間も示します。

1. lim[n→∞] Σ[k=1..n] (n+2k)/n² を分数で求めます。
2. lim[n→∞] Σ[k=2n+1..4n] n/(n+k)² を分数で求めます。
3. lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (1+4k/n) を分数で求めます。
4. lim[n→∞] Σ[k=1..n] 1/(2n+k-1/2) を対数を含む正確な式で求めます。
5. lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (k/n)・eの(k/n)乗 をeを含む正確な式で求めます。

練習の解答と照合

1の解答

各項を幅と関数値に分けます。

(n+2k)/n² = (1/n)(1+2k/n)

xₖ=k/n、幅1/n、区間[0,1]の右端の和です。1+2xはこの区間で連続ですから、次のように計算できます。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] (n+2k)/n²
= ∫[0→1] (1+2x) dx
= [x+x²]（0から1まで）
= 2

元の式に戻すと幅と高さの積は(n+2k)/n²です。有限和を計算しても1+(n+1)/n=2+1/nとなり、極限は2です。

2の解答

分母のn²を取り出すと、次の形です。

n/(n+k)² = (1/n)・1/(1+k/n)²

k/nは2+1/nから4まで動きます。したがって幅1/n、区間[2,4]の右端の和です。1/(1+x)²は区間内で連続なので定理が使えます。

lim[n→∞] Σ[k=2n+1..4n] n/(n+k)²
= ∫[2→4] 1/(1+x)² dx
= [-1/(1+x)]（2から4まで）
= -1/5+1/3
= 2/15

原始関数の微分は被積分関数に戻ります。項数は2n個、幅との積は2であり、区間の長さと合います。

3の解答

xₖ=1+4k/nとおくと、区間[1,5]の右端で幅は4/nです。元の係数1/nはその1/4です。一次関数は連続ですから、次のようになります。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (1+4k/n)
= (1/4) ∫[1→5] x dx
= (1/4) [x²/2]（1から5まで）
= (1/4)・12
= 3

有限和は1+4(n+1)/(2n)=3+2/nです。元の係数を保ったまま極限が3になることも確認できます。

4の解答

分母をnでくくります。

1/(2n+k-1/2)
= (1/n)・1/(2+(k-1/2)/n)

xₖ=(k-1/2)/nは[0,1]の中点、幅は1/nです。分母は区間で正なので関数は連続です。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] 1/(2n+k-1/2)
= ∫[0→1] 1/(2+x) dx
= [log(2+x)]（0から1まで）
= log(3/2)

最初の分母2n+1/2と最後の分母3n-1/2を標本点から復元できます。微分すると1/(2+x)に戻り、各項と答えは正です。

5の解答

xₖ=k/n、幅1/n、区間[0,1]の右端です。x eˣは連続なので、和は定積分に移せます。積の微分から、(x-1)eˣの導関数はx eˣです。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (k/n)・eの(k/n)乗
= ∫[0→1] x eˣ dx
= [(x-1)eˣ]（0から1まで）
= 0-(-1)
= 1

1/nとk/nを元の項に戻せば、幅と関数値の組が一致します。被積分関数は区間で非負なので、正の答えとも矛盾しません。

要点を手元に残す

• 分母のnだけで区間を決めず、添字の両端を標本点に代入します。
• 点の間隔を幅と比べ、一致しない係数を外に残します。
• 連続性を確かめ、ずれた点の位置と元の1項を照合します。

どこで読み違えたか

積分の計算が合わないときは、原始関数からやり直す前に、変換後の1項を掛け戻します。戻らなければ幅や係数の整理が原因です。戻るのに区間が合わなければ、最初と最後の添字を代入した行を調べます。

個別指導では、本人が選んだ変数の隣に点の間隔と項数を書き、その積が区間の長さに一致するかを確かめます。中点や固定のずれを扱う際には、連続性を確認した範囲も尋ねます。和の極限は、点と幅を元の式へ戻せるときに定積分へつながります。