高校数学III 絶対値を含む定積分—零点と符号を調べて区間ごとに外す｜武蔵野個別指導塾

零点ごとの符号表で絶対値を外し、積分後に絶対値を取った値との違いを、各区間の寄与から捉え直します。

よくあるのは、絶対値のついた関数を積分するとき、先に絶対値を外して積分し、最後に答えを正にすれば同じだと思う場面です。区間の途中で中身の符号が変わると、負の部分を正に直す時点が結果を左右します。零点を境に式を分け、各部分の寄与を残して計算しましょう。

数学IIIの積分では、積分の基本性質や式の変形による積分方法を学びます。ここでは絶対値のある定積分の計算に絞り、面積の応用問題には進みません。

要点（結論から）

• 絶対値の中身の零点を積分区間に照らして並べます。
• 各区間で中身の符号を調べてから絶対値を外します。
• 区間の加法性で分け、原始関数の上端と下端の差を足します。

答えへ向かう3つの型

まず、一次式の絶対値では、その零点が積分区間の内側か外側かを見ます。外側なら区間内の符号は一定なので分割は不要です。内側なら零点で2つに分けて、それぞれ正しい符号を付けます。端点が零点の場合は、端点そのものの値が0であることを確かめたうえで、区間内部の符号を使えます。

次に、因数が複数ある式では、各零点を小さい順に並べます。因数ごとに符号を調べれば積の符号を決められます。零点があっても偶数回重なれば、そこを通過して符号が変わらないことがあります。零点を見つけることと、符号が変わることは別の確認です。

さらに、複数の絶対値がある式では、各中身の零点をまとめて分割します。各区間でそれぞれを外し、得られた式を積分します。片方の零点で分けただけでは、もう片方の符号が区間内で変わる場合があります。零点が端点と一致したり、複数の中身で共通だったりするときは、重複して区間を作る必要はありません。

絶対値と定積分の分割

実数uについて、uが0以上なら|u|=u、uが0以下なら|u|=-uです。u=0ではどちらも0です。したがって、関数fの符号が区間内で一定なら、その区間で|f(x)|をf(x)または-f(x)に置き換えられます。図1のように、零点を境にした各区間の符号が、外す際の符号を決めます。

図1では左側でf(x)が負、右側で正の場合を示しています。零点そのものではどちらの式も同じ0になるので、分割点として共通に使えます。ただし、零点があるたびに符号が変わるとは限りません。実際に各区間の符号を調べることが必要です。

連続なfに対して|f|も連続です。また、有限個の点で区切った各区間で連続な関数は、各区間での積分を足して定積分を考えられます。a<c<bのとき、積分可能なgについて、区間の加法性から次が成り立ちます。

∫[a→b] g(x) dx = ∫[a→c] g(x) dx + ∫[c→b] g(x) dx

この等式は途中で式を変える許可ではなく、同じ関数gを2つの区間に分ける性質です。絶対値を外す式が異なる場合は、分けた後に各区間で置き換えます。有限個の切れ目がある関数でも、各部分の積分の和を使えますが、本稿の例題は絶対値を含めて連続です。積分区間の外にある零点は分割点にはなりません。

絶対値を積分の外へ移す操作には注意が要ります。区間を小さい端から大きい端へ取ると、∫|f|は0以上ですが、|∫f|は正負の寄与を足し合わせた後の大きさです。正と負の寄与が両方あると打ち消しが生じます。たとえば部分ごとの積分が-3と5なら、内側で絶対値を取った合計は3+5=8、先に足した後の絶対値は|-3+5|=2です。これは計算順序の差であり、零点で分ける理由を表しています。

基本例題：一次式の零点を挟む

次の定積分を分数で求めてください。

I = ∫[0→4] |x-1| dx

中身x-1は連続で、0となるのはx=1です。1は0と4の間にあるので、区間をそこで分けます。図2のように、左ではx-1が0以下、右では0以上です。両端の値をそれぞれ代入しても符号表と一致します。

図2の2区間では、絶対値を次のように外せます。x=1ではどちらの式も0です。

0≦x≦1では |x-1| = 1-x
1≦x≦4では |x-1| = x-1

区間の加法性を使い、各区間の式を積分します。

I = ∫[0→1] (1-x) dx + ∫[1→4] (x-1) dx
  = [x-x²/2]₀¹ + [x²/2-x]₁⁴
  = (1-1/2) + ((8-4)-(1/2-1))
  = 1/2 + 9/2
  = 5

1行目は区間ごとの絶対値の定義、2行目は原始関数の差です。角括弧の下端の値を引くことを、3行目では括弧に残しました。微分すると1-xとx-1に戻るので原始関数も照合できます。求める値は5です。

元の問題へ戻すと、左右の被積分関数はともに0以上です。各部分の値1/2と9/2も0以上で、向きはともに左から右です。一方、絶対値を外してから全区間を積分すると4になり、それを最後に絶対値で囲んでも5にはなりません。左側の負の寄与を先に打ち消してしまうためです。

標準例題：2つの零点と符号表

次の定積分を分数で求めてください。

J = ∫[0→5] |(x-2)(x-3)| dx

中身は多項式なので連続です。零点は2と3で、どちらも区間の内部にあります。各因数の符号を掛け合わせると、0≦x≦2で正または0、2≦x≦3で負または0、3≦x≦5で正または0です。たとえば各内部の1、5/2、4を代入すると順に正、負、正です。因数の符号は零点の間で変わらないので、この点検は各区間全体の符号を表します。

中身を展開し、その原始関数をFとします。

(x-2)(x-3) = x²-5x+6
F(x) = x³/3-5x²/2+6x
F′(x) = x²-5x+6

微分が元の中身に戻るため、各部分でFの差を使えます。端点での値は次の通りです。

F(0) = 0
F(2) = 14/3
F(3) = 9/2
F(5) = 55/6

中央の区間だけ符号を反転し、下端を引いてから和を取ります。

J = (F(2)-F(0)) - (F(3)-F(2)) + (F(5)-F(3))
  = 14/3 - (9/2-14/3) + (55/6-9/2)
  = 28/6 + 1/6 + 28/6
  = 19/2

中央では中身の積分が-1/6なので、その負号を反転した寄与が1/6です。外側の2つは各14/3です。3つの寄与が非負で、区間の並びも元の0から5までを過不足なく覆っています。符号を反転する前の合計はF(5)-F(0)=55/6であり、中央の-1/6を+1/6に直すと1/3増えて19/2になります。この照合は元の区間と符号の両方を使っています。

発展例題：絶対値が2つあるとき

次の定積分を分数で求めてください。

K = ∫[0→6] |x-2| |x-5| dx

2つの中身は連続で、それぞれの零点は2と5です。どちらも積分区間にあるため、0、2、5、6の順に区切ります。0≦x≦2では両方が0以下、2≦x≦5では前者が0以上で後者が0以下、5≦x≦6では両方が0以上です。零点では該当する因数が0なので、隣り合う式は一致します。

0≦x≦2では |x-2| |x-5| = (2-x)(5-x)
2≦x≦5では |x-2| |x-5| = (x-2)(5-x)
5≦x≦6では |x-2| |x-5| = (x-2)(x-5)

外側の式をP(x)=x²-7x+10と置くと、中央は-P(x)です。原始関数G(x)=x³/3-7x²/2+10xを微分すればP(x)に戻ります。端点ごとの値を計算します。

G(0) = 0
G(2) = 26/3
G(5) = 25/6
G(6) = 6

よって、中央の差全体に負号を付けます。

K = (G(2)-G(0)) - (G(5)-G(2)) + (G(6)-G(5))
  = 26/3 - (25/6-26/3) + (6-25/6)
  = 52/6 + 27/6 + 11/6
  = 15

3つの部分の値はそれぞれ26/3、9/2、11/6で、いずれも負ではありません。元の被積分関数は各点で2つの非負の数の積なので、この符号は条件に合います。積の絶対値の性質を使い|(x-2)(x-5)|としてから同じ符号表を作っても構いません。ただし、式の和に対して|u+v|を|u|+|v|と置き換えることは一般にはできません。

誤答をほどく：最後の絶対値では戻らない

基本例題で「∫[0→4] |x-1| dx = |∫[0→4] (x-1) dx| = 4」とするのは誤りです。原始関数による右辺の計算自体は4ですが、最初の等号が成り立ちません。図3のように、左側の負の寄与と右側の正の寄与を先に合計すると、負の分が相殺されます。

図3の左は各区間で符号を直してから足す流れです。右は符号を残したまま足して最後に絶対値を取る流れで、値が異なります。修正するには、まずx=1を境として、左の積分には負号を付け、右には付けずに足します。この区間ではそれぞれ1/2と9/2になり、合計5です。

別の失敗は、零点を見つけながら区間の符号を推測で交互にすることです。たとえば(x-2)²は2を挟む両側で非負です。零点の前後で因数を調べれば、分割してもどちらも同じ式になります。さらに、零点が区間外なら符号は途中で変わらず、外にある点まで積分区間を延ばしてはいけません。区間内に零点がない場合も、内部の1点で符号を確認してから絶対値を外します。

計算が合わない場合は、原始関数を微分し、各区間の上端から下端を引いたかを確認します。中央の式が負になる場合は、差の片方だけでなく差全体に負号を付け直します。符号表、分割、端点代入のどこで条件が失われたかを順に探すと、結果だけを直すより原因を特定できます。

練習問題

次の5問は、答えを整数または既約分数で求めてください。各中身は連続です。先に各問の零点と区間内の符号を調べてから計算します。

1. ∫[0→3] |x-2| dx
2. ∫[1→4] |x+1| dx
3. ∫[-2→2] |x²-1| dx
4. ∫[0→4] |x-1| |x-3| dx
5. ∫[0→4] (|x-1| + |x-2|) dx

練習の解答と確かめ

1

零点2で分けます。0から2では中身が負または0、2から3では正または0です。原始関数を微分すると、それぞれ1行目の被積分関数に戻ります。

∫[0→3] |x-2| dx = ∫[0→2] (2-x) dx + ∫[2→3] (x-2) dx
= [2x-x²/2]₀² + [x²/2-2x]₂³
= 2 + ((9/2-6)-(2-4))
= 2 + 1/2
= 5/2

両部分は非負で、その区間を合わせると元の0から3です。下端を引く際に後半の-2を引いているか確かめます。

2

零点-1は区間の外です。1≦x≦4ではx+1>0なので、分割せずに外します。

∫[1→4] |x+1| dx = ∫[1→4] (x+1) dx
= [x²/2+x]₁⁴
= (8+4)-(1/2+1)
= 21/2

原始関数の導関数はx+1です。被積分関数が全区間で正であることと、答えが正であることも一致します。

3

零点は-1と1です。x²-1は外側の2区間で非負、中央で非正です。H(x)=x³/3-xと置くとH′(x)=x²-1です。

H(-2) = -2/3
H(-1) = 2/3
H(1) = -2/3
H(2) = 2/3
∫[-2→2] |x²-1| dx = (H(-1)-H(-2)) - (H(1)-H(-1)) + (H(2)-H(1))
= 4/3 + 4/3 + 4/3
= 4

3区間は元の区間を覆い、それぞれの寄与は4/3です。中央は負の積分値を反転したもので、端点を逆順にしたわけではありません。

4

零点は1と3です。積の中身は0から1で非負、1から3で非正、3から4で非負です。展開したx²-4x+3の原始関数をL(x)=x³/3-2x²+3xとします。

L(0) = 0
L(1) = 4/3
L(3) = 0
L(4) = 4/3
∫[0→4] |x-1| |x-3| dx = (L(1)-L(0)) - (L(3)-L(1)) + (L(4)-L(3))
= 4/3 + 4/3 + 4/3
= 4

L′(x)は元の2因子の積に戻ります。各区間で符号を直した後の寄与も非負で、零点を挟んだ外し方と一致します。

5

和の各項の零点1と2で分けます。区間ごとの和は、順に3-2x、1、2x-3です。各項の符号を別々に調べて得られる式です。

∫[0→4] (|x-1| + |x-2|) dx = ∫[0→1] (3-2x) dx + ∫[1→2] 1 dx + ∫[2→4] (2x-3) dx
= [3x-x²]₀¹ + [x]₁² + [x²-3x]₂⁴
= 2 + 1 + ((16-12)-(4-6))
= 9

3つの原始関数を微分すると各区間の和に戻ります。各部分の値は2、1、6で、元の被積分関数が非負であることに合います。零点では隣り合う式が同じ値を取り、区間のつなぎ目にも矛盾はありません。

要点

• 絶対値の中身の零点を積分区間に照らして並べます。
• 各区間で中身の符号を調べてから絶対値を外します。
• 区間の加法性で分け、原始関数の上端と下端の差を足します。
• 積分してから絶対値を取る操作とは、途中に符号変化があると値が異なります。

符号表が書けても答えがずれる場合は、分割後の式と端点代入を別々に見ます。個別指導では、本人が各区間の代表点を選んで符号を説明できるか、負号を差全体に付けたか、積分の向きを保ったかを確かめます。逆に、符号表で止まる場合は各因数の零点と正負を一段ずつ書き出します。零点で何が変わるかを追うことが、絶対値を含む定積分の判断につながります。