高校数学II 常用対数と桁数—整数部分と端点の条件から桁数と小数の位置を求める｜武蔵野個別指導塾

10の累乗ではさむ不等式から、小数の最初の非零桁と整数の桁数を、近似値の境界も含めて読み取ります。

よくあるのは、高校生が常用対数の整数部分に1を足す規則を覚え、小数でもそのまま桁数を出そうとする場面です。整数なら左から数えた桁数を答えますが、1より小さい正の数では小数点の右から最初に0でない数字が現れる位置を考えます。どちらも10の累乗ではさむことから始めれば、異なる数え方を区別できます。まず学校の授業で扱った表記と試験範囲を確かめ、対数の値から元の数の位置へ戻る練習をしましょう。

答える場所を先に決める

定期テストでは、大きな整数の累乗について、与えられた常用対数の値から何桁かを求める型があります。数そのものを計算しなくても、10の何乗以上、次の10の累乗未満かがわかれば答えられます。対数の計算結果を小数で終わらせず、桁数という整数に直すところまでが解答です。

もう1つは、1より小さい正の数について、小数第何位に最初の0でない数字が現れるかを問う型です。負の対数を見たら、負の整数部分をそのまま位置の番号にせず、不等式を元の数へ戻します。小数第1位は小数点のすぐ右です。小数第4位なら、その前の第1位から第3位までが0になります。

また、与えられた数が10の累乗に等しい場合や、対数の近似値が整数の近くになる場合は端点の確認が必要です。近似した結果が境界の近くにあると、丸め方で桁数が変わるように見えることがあります。以下では近似値の代わりに、対数の値をはさむ上下の範囲を問題文に与え、その範囲全体が同じ区間に収まるか調べます。

10の累乗と桁の対応

正の数 A の常用対数は、底を10とする対数です。ここでは log A と書きます。log A = x は A = 10のx乗という意味です。底10は正で1より大きく、真数 A は正でなければなりません。0や負の数の常用対数は、この範囲では考えません。

10の累乗は指数が大きくなると値も大きくなります。そのため、整数 n について、次の2つの不等式は同じ範囲を表します。

n ≦ log A < n + 1

10のn乗 ≦ A < 10の(n + 1)乗

左の等号は含み、右の等号は含みません。A がちょうど右端の10の(n + 1)乗なら、次の区間へ移るためです。図1のように、対数の区間と元の数の区間を対応させて考えます。指数と対数を往復できると、記号の並びを暗記するより端点の意味を確かめやすくなります。

A が1以上の整数なら、n が0以上のとき、10のn乗は1の後ろに0がn個並ぶ数です。この数は n + 1 桁で、次の10の累乗の直前まで桁数は変わりません。したがって n ≦ log A < n + 1 なら、A は n + 1 桁です。たとえば log A がちょうど2なら A は100で、3桁です。2を含む左端の条件がなければ、この場合を正しく分類できません。

一方、0 < A < 1 では log A は負です。正の整数 k に対し、

10の(-k)乗 ≦ A < 10の(-k + 1)乗

なら、最初の0でない数字は小数第 k 位に現れます。左端の10の(-k)乗は、小数第 k 位が1でそれより前が0です。右端に達すると、その1つ前の位が0でなくなるので、右端は含みません。小数の位の番号は正の整数であり、対数の整数部分に1を足した数をそのまま答えにはできません。

たとえば A = 0.001 なら log A = -3 です。-3 ≦ log A < -2 に対応し、小数第3位が最初の非零桁です。負の数の整数部分は、数直線でその値以下の最大の整数として取ります。-3.4の整数部分は-3ではなく-4です。この違いを見失うと、小数の位が1つずれます。

基本例題：累乗の整数は何桁か

問題：0.30102 < log 2 < 0.30104 とします。2の20乗は何桁の整数ですか。答えは整数の桁数で示してください。

2の20乗を A とおくと、A は正の整数です。まず対数の累乗の性質で、指数20を前に出します。与えられた範囲に正の数20を掛けるので、不等号の向きは変わりません。

log A = log (2の20乗)

log A = 20 log 2

20 × 0.30102 < log A < 20 × 0.30104

6.0204 < log A < 6.0208

この範囲は6より大きく7より小さいので、特に 6 ≦ log A < 7 です。図2のように、区間全体が6と7の間に入り、どちらの境界にも届かないことを確かめます。すると元の数について次が成り立ちます。

10の6乗 ≦ A < 10の7乗

1000000 ≦ A < 10000000

1000000は7桁で、10000000の直前まで7桁です。よって答えは7桁です。実際に2の20乗は1048576で、問題の数へ戻しても7桁と一致します。最後の計算は答えの確認であり、桁数を求める根拠は上の不等式です。

ここで6.0204や6.0208を四捨五入して6と書くだけでは、元の範囲の情報が消えます。たとえば上限が7を超えていれば、同じ丸め値に見えても7桁と8桁を分けられない場合があります。上下の値が整数6と7の間に収まったからこそ、整数部分を6と決められます。もし与えられた範囲が整数をまたぐなら、この範囲だけから桁数を決めず、より精密な範囲や別の根拠を求めます。

範囲の調べ方は、まず下限と上限をそれぞれ計算し、その両方を整数の境界と比べます。下限が6より大きくても、上限が7以上なら、7桁と結論するには情報が足りません。見かけ上の小数を1つ選んで計算するのではなく、与えられた値が取り得る範囲全体を追います。上限が7に等しい場合でも、元の不等号が「未満」であれば7を含まないことを使えます。等号の有無は計算途中から最後まで保ちます。

また、10の6乗と10の7乗を両方含むように書くと、右端の10000000まで7桁と数えてしまいます。右端は8桁の最初の整数です。等号をどちらにつけるかは、答えの桁数そのものに関わります。

少し難しい例題：逆数の小数の位置

問題：0.47711 < log 3 < 0.47713 とします。3の8乗の逆数は、小数第何位に最初の0でない数字が現れますか。位の番号を整数で示してください。

A を3の8乗の逆数とします。A は正で1より小さい数です。対数の性質から、

log A = log (1 / 3の8乗)

log A = -8 log 3

です。今度は負の数-8を掛けるため、大小関係を反転させます。左辺と右辺の順を小さい順に並べ直すと、

-8 × 0.47713 < log A < -8 × 0.47711

-3.81704 < log A < -3.81688

です。どちらの端も-4と-3の間にあるので、

-4 ≦ log A < -3

10の(-4)乗 ≦ A < 10の(-3)乗

0.0001 ≦ A < 0.001

となります。この範囲の数は小数第1位から第3位が0で、第4位が0ではありません。答えは小数第4位です。3の8乗は6561なので、元の A は1 / 6561です。1000 < 6561 < 10000 の逆数を比較しても 1 / 10000 < A < 1 / 1000 となり、上の位置と一致します。

負の数を掛ける段階では、上限に-8を掛けたものが新しい下限になります。数直線上で-3.81704が-3.81688より左にあることも確認してください。対数の値が負だからといって元の数が負になるわけではありません。A は正で、1より小さいために対数が負になります。

ずれた答えを直す

誤答の例として、先ほどの A について「log A の整数部分は-4だから、1を足して-3桁」と答えたとします。整数部分を-4と読んだところまではよいものの、正の整数の桁数の規則を、1より小さい数の小数の位に適用しています。小数第-3位という位置は、ここで求めたい数え方に対応しません。

直すには、-4 ≦ log A < -3 を 0.0001 ≦ A < 0.001 に戻します。小数点の右側を順に見れば、第1位、第2位、第3位は0で、第4位が初めて0でなくなります。図3は、誤った計算から位置を直接決めず、元の数の範囲を経由する道筋を示しています。対数の整数部分が負のときは、この書き戻しを途中式に残しましょう。

別の誤りは、-3.81688を見て整数部分を-3とすることです。小数部分を切り捨てる操作と、数直線で左側の整数を選ぶ操作は負の数では一致しません。-4 ≦ -3.81688 < -3 を書いてから整数部分を選べば、符号の見間違いを減らせます。

もう1つの境界の誤りは、0.001を 0.0001 ≦ A ≦ 0.001 に含めて第4位とすることです。0.001は第3位が1なので、第4位を初めての非零桁とする範囲の外です。右端の不等号が厳密に小さい向きになっている理由を、小数の表記から確かめてください。

手を動かす4問

問題1：0.30102 < log 2 < 0.30104 とします。5の13乗は何桁の整数ですか。答えは整数の桁数で示してください。

問題2：同じく 0.30102 < log 2 < 0.30104 とします。2の13乗の逆数では、小数第何位に最初の0でない数字が現れますか。位の番号を整数で示してください。

問題3：0.30102 < log 2 < 0.30104、0.47711 < log 3 < 0.47713 とします。6の7乗は何桁の整数ですか。答えは整数の桁数で示してください。

問題4：A = 1000、B = 0.001 とします。A の整数の桁数と、B の最初の0でない数字が現れる小数の位を、それぞれ整数で示してください。常用対数の不等式の端点にも注意してください。

答えと途中式

問題1：10 = 2 × 5 から log 5 = 1 − log 2 です。引き算では上下が入れ替わり、

0.69896 < log 5 < 0.69898

9.08648 < 13 log 5 < 9.08674

となります。したがって、5の13乗の常用対数は9以上10未満で、元の整数は10の9乗以上10の10乗未満です。答えは10桁です。5の13乗は1220703125で、元の数も10桁です。1を引くとき、上限の0.30104を使った値が下限になる点に注意します。

問題2：A を2の13乗の逆数とすると、log A = -13 log 2 です。負の数を掛けて不等号を反転し、

-3.91352 < log A < -3.91326

-4 ≦ log A < -3

0.0001 ≦ A < 0.001

を得ます。答えは小数第4位です。2の13乗は8192で、1000 < 8192 < 10000 ですから、元の数 1 / 8192 も0.0001と0.001の間に入ります。単に対数の小数を見て位を推測せず、元の範囲へ戻してください。

問題3：log 6 = log 2 + log 3 なので、与えられた下限同士、上限同士を足します。

0.77813 < log 6 < 0.77817

5.44691 < 7 log 6 < 5.44719

よって 5 ≦ log (6の7乗) < 6 です。元の整数は10の5乗以上10の6乗未満なので、答えは6桁です。6の7乗は279936であり、元の数の桁数も6です。近似範囲を使うとき、各端を正しく足し、最後に5と6をまたいでいないか確認します。

問題4：A = 10の3乗なので log A = 3 です。3 ≦ log A < 4 に入り、A は4桁です。B = 10の(-3)乗なので log B = -3 です。-3 ≦ log B < -2 に入り、最初の非零桁は小数第3位です。元の1000は4桁、0.001は第3位が1です。どちらも対数が整数そのものになる左端で、1つ前の区間の右端には入れません。

要点を短く整理

整数は 10のn乗以上、10の(n + 1)乗未満なら n + 1 桁です。 正の小数は 10の(-k)乗以上、10の(-k + 1)乗未満なら第 k 位が最初の非零桁です。 対数の範囲を求めたら、左端を含み右端を含まない区間へ戻します。 近似の上下が整数の境界をまたがないことを確かめます。

どこで止まったかを見分ける

対数の式は作れるのに答えがずれる場合、まず負の数を掛けたときに不等号を反転できるかを見ます。次に、-3と-4のどちらが-3.8より小さいかを数直線で説明できるか確かめます。ここで止まる場合は、対数の計算と負の数の大小を分けて練習すると、原因を見つけやすくなります。

式の区間は合っているのに小数の位を間違える場合は、0.0001と0.001を書き、小数点の右から位を数えます。個別指導では、例題の途中式を本人に説明してもらい、対数の区間から元の数への移し方、右端を含めない理由、数えた位の3点を確かめます。端点を含む場合も含まない場合も、元の数に戻ると答えの位置が明確になります。