高校数学II 三角関数の合成と最大最小—位相と角の範囲から取り得る値を調べる｜武蔵野個別指導塾

係数から位相を決め、移した角の区間と端点を比べながら三角関数を合成します。

よくあるのは、高校生が三角関数を合成した後、角の区間を見ずに係数をそのまま最大値にしてしまう場面です。合成後の正弦が1になる角に実際に届くとは限りません。元の角が動ける範囲を移し、その中で正弦がどこまで動くかを調べると、値とそれを取る角を対応させられます。

合成した先で問われること

定期テストでは、まず sin θ と cos θ の係数から、1つの三角関数にまとめる式を作る型があります。係数の二乗和から前の数を決め、加法定理で展開したときの係数を照合します。角の符号まで確認できるかが分かれ目です。

次に、合成した式の最大値と最小値を求め、そのときの θ を答える型があります。角が1周分動く場合は正弦の1と-1に届きますが、短い区間では端点が最大や最小を与えることもあります。最後に、定数を加えた式や負の係数を含む式を扱う型もあります。合成した後に定数を戻し、値だけでなく角も元の条件に戻します。

ここでは同じ角の sin と cos の一次結合を扱い、微分は使いません。式の変形と、変形後の角が動く区間の読み取りを別々に点検します。

係数を角に置き換える

実数 a、b が同時に0でないとき、R = √(a² + b²) とおきます。R は正なので、a/R と b/R はどちらも定義され、その二乗の和は1です。したがって cos α = a/R、sin α = b/R を満たす角 α を選べます。加法定理から

R sin(θ + α) = R sin θ cos α + R cos θ sin α

= a sin θ + b cos θ

となります。元の sin θ の係数が R cos α、cos θ の係数が R sin α に対応します。図1のように係数を対応させると、どちらに正弦を割り当てるかを確認できます。α は位相を表す角で、同じ正弦と余弦を持つ角なら2πの整数倍だけ違っていても同じ式です。

図1の対応で、α の象限は両方の符号で決めます。たとえば cos α が負、sin α が正なら第2象限です。正接だけで角を決めると、正弦と余弦が両方逆符号の角も同じ正接を持つため、係数に戻して確認する必要があります。

a と b がともに0なら R = 0 で割れません。この場合、元の式は常に0なので、合成の角を決めずに値を直接読みます。R が正のときも、公式に当てはめた後に展開して元の2つの係数に戻るかを確認すれば、符号の取り違えに気づけます。

区間が L ≦ θ ≦ U なら、t = θ + α と置いた範囲は L + α ≦ t ≦ U + α です。端点を両方移し、等号も引き継ぎます。sin t は常に-1以上1以下ですが、これは範囲の外の角まで含めた上限と下限です。指定区間に π/2 + 2nπ や 3π/2 + 2nπ があるかを調べ、なければ端点や途中の動きを比べます。n は整数です。

正弦の動きを区間で読む

単位円で角を増やすと、sin t は点の縦座標です。0 から π/2 では0から1へ増え、π/2 から 3π/2 では1から-1へ減り、3π/2 から 2π では-1から0へ増えます。2π を加えても同じ動きが繰り返されます。移した区間が複数の区切りをまたぐときは、範囲内の山と谷、それに両端を候補として比べられます。

端点が含まれるかどうかにも意味があります。たとえば右端を含まない区間では、右端に近づいて値がある数に近づいても、その数を取るとは限りません。最大値は実際に取る値です。以下の例題と練習は端点を含む区間なので、端点を候補にできます。角が同じ値を複数回取る広い区間では、指定された範囲に入る角をそれぞれ拾い、値だけでなく対応する θ も漏れなく記します。

基本例題：端点を移して比べる

0 ≦ θ ≦ π/2 のとき、f(θ) = sin θ + √3 cos θ の最大値と最小値、およびそれぞれを取る θ を、根号と π を用いた正確な形で求めます。

係数の二乗和から、合成後の前の数は

R = √(1² + (√3)²) = √4 = 2

です。α を cos α = 1/2、sin α = √3/2 と取るので、α = π/3 とできます。加法定理を1行ずつ使うと、

2 sin(θ + π/3)

= 2 sin θ cos(π/3) + 2 cos θ sin(π/3)

= 2 sin θ × 1/2 + 2 cos θ × √3/2

= sin θ + √3 cos θ = f(θ)

です。係数が元に戻りました。次に t = θ + π/3 とすると、元の区間の両端に π/3 を加えるので、

π/3 ≦ t ≦ 5π/6

です。図2のように、この区間には sin t = 1 となる π/2 が入ります。よって最大値は 2 で、そのとき θ = π/2 − π/3 = π/6 です。

図2の両端では sin(π/3) = √3/2、sin(5π/6) = 1/2 です。正弦は π/3 から π/2 まで増え、その後 5π/6 まで減るので、最小値は小さい方の端点の値を2倍した 1 です。そのとき t = 5π/6、したがって θ = π/2 です。最大を与える内側の角と、最小を与える端点を別々に追います。

元の式へ戻すと、θ = π/6 で 1/2 + √3 × √3/2 = 2、θ = π/2 で 1 + √3 × 0 = 1 です。これは値と角の対応の検算です。区間内の他の値がそれを越えないことは、移した区間での正弦の動きから判断しています。

少し難しい例題：負の係数と定数

0 ≦ θ ≦ π/2 のとき、g(θ) = -√3 sin θ + cos θ + 2 の最大値と最小値、およびそれぞれを取る θ を、根号と π を用いた正確な形で求めます。

まず定数を除いた部分を合成します。係数の二乗和は3 + 1なので R = 2 です。cos α = -√3/2、sin α = 1/2 を満たす α は第2象限にあり、α = 5π/6 と取れます。よって

g(θ) = 2 sin(θ + 5π/6) + 2

です。実際に展開すると、sin θ の係数は 2 × (-√3/2) = -√3、cos θ の係数は 2 × 1/2 = 1 です。負の符号が元の式と一致します。

t = θ + 5π/6 とおくと、5π/6 ≦ t ≦ 4π/3 です。この範囲は π を通りますが、正弦が1になる π/2 も、-1になる 3π/2 も含みません。正弦はこの区間で減るので、左端で最大、右端で最小です。sin(5π/6) = 1/2、sin(4π/3) = -√3/2 より、最大値は 2 × 1/2 + 2 = 3、最小値は 2 × (-√3/2) + 2 = 2 − √3 です。

左端は θ = 0、右端は θ = π/2 に対応します。元の式に戻しても g(0) = 3、g(π/2) = 2 − √3 です。定数2は値を上下に移しますが、どの θ で最大・最小になるかは変えません。区間の中に正弦の山や谷が入るかを先に確認することが、この問題の分かれ目です。

届かない山を最大にしない

次の誤答を考えます。0 ≦ θ ≦ π/6 で h(θ) = sin θ + cos θ の最大値を求めるとき、「h(θ) = √2 sin(θ + π/4) だから最大値は √2」としました。合成自体は正しいものの、その後の判定が足りません。

図3のように、t = θ + π/4 の範囲は π/4 ≦ t ≦ 5π/12 です。sin t = 1 となる π/2 は右端より大きく、この範囲に入りません。θ = π/4 なら山に届きますが、元の θ の上限 π/6 を越えています。

図3の範囲は π/2 の手前にあり、正弦は増加します。したがって最大は t = 5π/12、つまり θ = π/6 のときです。元の式で計算すると最大値は 1/2 + √3/2 = (1 + √3)/2 です。最小値も求めるなら左端 θ = 0 で 1 です。両端を元の式へ戻せるため、移した角と θ の対応も点検できます。

逆の失敗もあります。端点だけを比較し、区間の中にある山や谷を見落とす場合です。基本例題では両端だけを比べると最大値2を逃します。端点を計算する前に、1や-1を取る角が区間に入るかを調べ、それから必要な端点を比べます。

合成の形を選び直すとき

同じ式を余弦でまとめることもできます。R cos(θ − β) を展開すると R cos β cos θ + R sin β sin θ です。正弦でまとめる式とは係数の対応が入れ替わるため、途中で形を変えたら改めて展開します。どちらの形を選んでも元の式が等しければ、同じ θ で同じ値を取ります。

区間が1周より長ければ山や谷が複数回入ることもあります。その場合は角を1つ見つけて終えず、周期2πずつ移して指定範囲に残るものを確認します。端点に一致する場合も、等号があれば答えに含めます。

最大と最小を読み違えたときは、値の候補を元の式へ代入してみます。ただし候補の代入が合うことは、区間内でそれが最大である証明にはなりません。正弦の動きと区間の包含関係が、他に大きい値がない理由を支えます。定数が付くときは、正弦部分の範囲を確定してから両端に定数を加えると、途中で値を混ぜずに済みます。

練習：式と区間をそれぞれ確かめる

次の問題では値を整数、分数、根号と π を用いた正確な形で答えます。角は指定された範囲内で答えます。まず問題をまとめて解き、後の解答で展開と角の対応を確認してください。

1. 2 sin θ − 2 cos θ を R sin(θ + α) の形に合成します。ただし R > 0、0 ≦ α < 2π とします。
2. 0 ≦ θ ≦ 2π のとき、2 sin θ + 2 cos θ の最大値と最小値、およびそれぞれを取る θ を求めます。
3. 0 ≦ θ ≦ π/3 のとき、√3 sin θ + cos θ の最大値と最小値、およびそれぞれを取る θ を求めます。
4. 0 ≦ θ ≦ π/4 のとき、2 cos θ − 2 sin θ + 1 の最大値と最小値、およびそれぞれを取る θ を求めます。

答えと道筋

1. R = √(2² + (-2)²) = 2√2 です。cos α = 1/√2、sin α = -1/√2 なので、第4象限の α = 7π/4 です。答えは 2√2 sin(θ + 7π/4) です。展開すると sin θ の係数は2、cos θ の係数は-2に戻ります。α を -π/4 としても式は成立しますが、指定の 0 ≦ α < 2π には入らないため 7π/4 で答えます。

2. 2 sin θ + 2 cos θ = 2√2 sin(θ + π/4) です。t = θ + π/4 とすると π/4 ≦ t ≦ 9π/4 です。この範囲に π/2 と 3π/2 がそれぞれ入り、正弦の値は1から-1まで取ります。最大値は 2√2、そのとき θ = π/4 です。最小値は -2√2、そのとき θ = 5π/4 です。元の式に代入するとそれぞれ √2 + √2、-√2 − √2 となり、値が戻ります。範囲の両端は同じ正弦の値ですが、山や谷ではありません。

3. √3 sin θ + cos θ = 2 sin(θ + π/6) です。置き換えた角は π/6 ≦ t ≦ π/2 なので、正弦はこの区間で増えます。最小値は 2 × 1/2 = 1、そのとき θ = 0 です。最大値は 2、そのとき θ = π/3 です。元の式では θ = 0 で1、θ = π/3 で √3 × √3/2 + 1/2 = 2 です。最大を取る角が区間の端に一致する場合も、等号があるので採用できます。

4. 2 cos θ − 2 sin θ = 2√2 sin(θ + 3π/4) です。展開すると sin θ の係数は-2、cos θ の係数は2です。3π/4 ≦ t ≦ π では正弦が減るので、最大値は左端で 2√2 × √2/2 + 1 = 3、最小値は右端で1です。それぞれ θ = 0、π/4 です。元の式でも 2 × 1 − 2 × 0 + 1 = 3、2 × √2/2 − 2 × √2/2 + 1 = 1 となります。最後の1を両方の値へ加えることを忘れないようにします。

手元に残す要点

係数の二乗和の平方根を R とし、展開して位相の符号を確かめます。
合成後の角の両端を移し、1や-1に届くかを調べます。
山と谷が範囲外なら端点も含めて値を比較します。
求めた角を元の区間と式へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

合成式を展開して係数に戻せない場合は、加法定理のどちらの項に sin α が付くかを声に出して確認します。係数は合うのに最大値を誤る場合は、置き換えた角の両端を書き、その区間に π/2 が入るかを指でたどります。端点が答えでも θ を移し戻せない場合は、t = θ + α を θ = t − α に直してから代入します。

個別指導で確かめるなら、合成式を作る行と区間を移す行を生徒自身に説明してもらうと、符号の問題と範囲の問題を区別できます。答えの値が合ったときも、その値を取る角が元の条件を満たす理由まで言葉にできれば、次の問題でも使える判断になります。三角関数の合成は、式をまとめた後の角の範囲まで追って完成します。