高校数学II 一般角と弧度法—回転の向きと単位をそろえて弧と扇形を計算する｜武蔵野個別指導塾

度とラジアンの換算、負の回転、弧長と扇形の面積を例題でたどります。単位の混同を防ぐ弧度法です。

よくあるのは、高校生が中心角の度数を弧の長さの式へ直接代入するという場面です。半径に角の数値を掛ける式を覚えていても、その角が何の単位で表されているかを見落とすと、長さが円周を大きく超えることがあります。回転の向きと1周分の角を図に戻し、式へ入れる前に単位をそろえましょう。

ここで扱うのは、何回転したかも含む一般角と、弧度法による角の表現、弧の長さと扇形の面積です。三角関数の値の計算へ進む前に、同じ終辺を持つ角と同じ大きさの角を区別します。

要点（結論から）

• 反時計回りが正、時計回りが負で、終辺の重なる角は1周の整数倍だけ違います。
• 180° = πラジアンを基準に、角と単位を一緒に換算します。
• 0 ≦ θ ≦ 2πの扇形では、θがラジアンなら弧長はrθ、面積はr²θ/2です。

テストで見分けたい3つの型

1つ目は角の表し方を換える問題です。度からラジアンへ、またはその逆へ換算します。180°とπラジアンが同じ半回転を表すことを基準にし、掛ける比を選びます。符号も角の一部なので、負の角を換算するときには負号を残します。

2つ目は回転後の半直線が重なる角を求める問題です。始辺から終辺までの回転には向きがあり、1周多く回っても終辺は重なります。そこで360°または2πラジアンの整数倍を足し、問題で指定された範囲に入る角を選びます。端を含むかどうかによって、0と1周分のどちらを採用するかが変わります。

3つ目は扇形の弧長や面積を求める問題です。中心角が度ならラジアンに直すか、円周や円の面積に対する割合を使います。弧長から中心角を逆に求め、その角を使って面積を出す場合もあります。どの量に何の単位が付くかまで書くと、途中の間違いを見つけやすくなります。

回転の向きとラジアンの意味

始辺を固定して半直線を回したとき、反時計回りを正、時計回りを負の向きとします。回転後の半直線が終辺です。1周を超える回転や負の回転も含めて表した角を一般角といいます。終辺が重なっても、回転した向きや回数が異なれば角としては異なります。

図1のように、半径rの円で、半径と等しい長さrの弧に対する中心角を1ラジアンと定めます。これは弧と半径の長さの比を使う角の単位です。半円の弧はπrなので、その中心角はπラジアンです。全周は2πrなので、1周は2πラジアンに当たります。

図1では色を付けた弧の長さと半径がともにrです。半径を変えても円周と半径の比は一定なので、半回転はいつでも180° = πラジアンです。一般に角をa°、同じ角をθラジアンとすると、θ = aπ/180です。逆にθラジアンは180θ/π°です。

たとえば150°は150π/180 = 5π/6ラジアンです。逆に-3π/4ラジアンは-3π/4 × 180/π = -135°です。角度の式でπが消えることまで追うと、換算の向きを間違えにくくなります。ラジアンの記号は省くこともありますが、度との混同を避けたい途中では「ラジアン」と添えます。

半径r、中心角θラジアンの扇形で、0 ≦ θ ≦ 2πとします。全周に対する割合はθ/(2π)なので、弧長をl、面積をSとすれば、l = 2πr × θ/(2π) = rθ、S = πr² × θ/(2π) = r²θ/2です。これらはθをラジアンで表したときの式です。θ = 0なら弧長と面積は0、θ = 2πなら円周と円の面積に戻ります。

一般角が負や1周を超える場合には、回転の記録と、1つの扇形の中心角をそのまま同一視しません。どの弧を対象にするかを問題の条件や図で決め、その弧に対応する0から2πまでの角で長さや面積を求めます。時計回りにたどった道のりを尋ねる問題なら、回転の大きさを使いますが、たどり方が明示されないと対象の弧は一意に決まりません。

基本例題：度から換えて弧と面積を出す

半径6 cm、中心角120°の扇形があります。中心角をラジアンで、弧の長さをcmで、面積をcm²で求めてください。答えはπを含む正確な形で表します。

まず半回転との比から、中心角を換算します。途中の約分を残すと、度をそのまま式に入れたかどうかを後から確認できます。

120° = 120 × π/180 ラジアン

= 2π/3 ラジアン

図2のように、中心角120°は1周360°の3分の1です。したがって弧も円周の3分の1に当たります。ラジアンの式に入れる前に、この割合を見ておくと答えの大きさを判断できます。

図2の半径は6 cm、中心角は2π/3ラジアンなので、弧長lは次のように求まります。

l = rθ

= 6 × 2π/3

= 4π cm

面積Sも、半径とラジアンに直した中心角から計算します。半径を2乗してから角を掛け、最後に2で割ります。

S = r²θ/2

= 6² × (2π/3) ÷ 2

= 36 × 2π/3 ÷ 2

= 12π cm²

答えは、中心角が2π/3ラジアン、弧長が4π cm、面積が12π cm²です。円周は12π cm、円の面積は36π cm²ですから、どちらの答えも元の120°が示す3分の1になっています。たとえば弧長4π cmを半径6 cmで割ると2π/3ラジアンに戻り、問題の120°と一致します。

式を暗記していても、途中に120を直接代入すると、6 × 120という別の値が出ます。120は度の数値であり、ラジアンの数値ではありません。答えの単位がcmという形になっただけでは、角の単位が適切だったことにはならない点に注意します。

少し難しい例題：負の回転と扇形を結びつける

始辺から時計回りに420°回転した角を考えます。その終辺と重なる角のうち、0°以上360°未満の角を度とラジアンで求めてください。また、始辺からその角だけ反時計回りに回るときにできる扇形について、半径が3 cmなら弧長と面積をそれぞれcm、cm²で求めてください。答えはπを含む正確な形にします。

時計回りの420°は符号を付けると-420°です。終辺を変えない操作として360°を整数回足し、指定された範囲に収めます。まず1周分を加えると-60°で、まだ0°未満です。さらに1周分を加えます。

-420° + 360° = -60°

-60° + 360° = 300°

300°は指定された範囲にあります。一般には終辺の重なる角は-420° + 360°n、つまり300° + 360°nと書けます。ここでnは整数です。300°以外にこの形の角を取り、0°以上360°未満に入れようとしても、nが正なら360°以上、負なら0°未満になります。したがって範囲内の角は300°です。

ラジアンに換算すると、300 × π/180 = 5π/3です。対象の扇形はこの角だけ反時計回りに回った部分なので、中心角は5π/3ラジアンです。小さい方の60°を選ぶ問題ではないことに、条件の「その角だけ反時計回り」という言葉から気づけます。

l = 3 × 5π/3 = 5π cm

S = 3² × (5π/3) ÷ 2 = 15π/2 cm²

検算では、300°が1周の5/6であることに戻します。半径3 cmの円周6π cmの5/6は5π cm、円の面積9π cm²の5/6は15π/2 cm²です。さらに300°から720°を引くと元の-420°に戻るので、回転の条件も満たしています。

ここで、時計回りに実際に420°回る道のりを尋ねられたなら、1周と60°分の弧を通ります。上の扇形の弧とは尋ねられた量が異なります。終辺を決めるために余分な周回を取り除く操作と、移動距離から周回を捨てる操作は同じではありません。

度をそのまま掛けた誤答を直す

半径4 cm、中心角90°の扇形で、弧長を「4 × 90 = 360 cm」としたとします。誤答の原因は、l = rθのθに度の数値を入れたことです。半径4 cmの円周は8π cmであり、求める弧はその4分の1なので、360 cmという値は図の関係にも合いません。

図3は90°を半回転の半分としてπ/2ラジアンに換え、同じ式に入れる手順を示します。先に単位を整えることで、式のθと与えられた角の意味が一致します。

図3のように、90 × π/180 = π/2ラジアンです。よって弧長は4 × π/2 = 2π cmです。元の図に戻して、円周8π cmの4分の1が2π cmであることも確認します。円周より短いかという比較は誤りを見つける助けになりますが、それだけで正しい答えを証明することはできません。

もう1つの誤りは、一般角を指定範囲に直すとき、負の角に1周分を1回足したところで止めることです。結果がまだ範囲の外なら、終辺を保ってさらに1周分を加えます。逆に1周分ちょうどの角を0以上2π未満で答えるときは、上端の2πを含まないので0を選びます。式の形だけでなく、不等号に等号が付いている側を確認します。

面積の式で半径を2乗し忘れる誤りもあります。弧長は長さで、面積は長さを2つ掛けた単位です。cmとcm²の違いを途中に記すと、rθとr²θ/2のどちらを使っているかを点検できます。ただし単位が合っていても係数の誤りは残るので、元の円の何割かという確認も必要です。

練習問題

先に4問を解き、角の範囲と単位を答えに添えてから、下の解き方と比べてください。πを含む答えは近似せず、正確な形で表します。

1. -225°をラジアンで、7π/6ラジアンを度で表してください。
2. 780°と終辺が重なる角のうち、0°以上360°未満の角を度で求めてください。また、その終辺と重なる角を度の一般角で表してください。
3. 半径9 cm、中心角80°の扇形の弧長をcm、面積をcm²で求めてください。
4. 半径5 cmの扇形の弧長が5π/4 cmです。中心角は0ラジアン以上2πラジアン以下とします。中心角をラジアンと度で、面積をcm²で求めてください。

練習の答えと考え方

1. -225°にπ/180を掛けると、-225π/180 = -5π/4ラジアンです。一方、7π/6ラジアンに180/πを掛けると、7 × 180/6 = 210°です。戻して確かめると、-5π/4 × 180/π = -225°、210 × π/180 = 7π/6ラジアンとなり、それぞれ元の角に一致します。負号を落とすと回転の向きが逆になるため、途中にも残します。

2. 780°から1周分を2回引くと、780° − 720° = 60°です。これは0°以上360°未満を満たします。終辺が重なる角は、整数nを用いて60° + 360°nです。逆に60° + 360° × 2 = 780°なので、与えられた回転もこの形に含まれます。範囲内の60°に1周を足せば上端を超え、1周を引けば0°未満になるので、指定範囲では60°が求める角です。

3. 80° = 80π/180 = 4π/9ラジアンです。l = 9 × 4π/9 = 4π cm、S = 9² × (4π/9) ÷ 2 = 18π cm²です。元の条件に戻すと、80°は1周の2/9で、円周18π cmの2/9は4π cm、円の面積81π cm²の2/9は18π cm²です。どちらも指定された扇形の割合に一致します。

4. l = rθからθ = l/rです。半径は5 cmで零ではないため、この割り算ができます。θ = (5π/4) ÷ 5 = π/4ラジアンで、指定範囲にも入ります。度に直すとπ/4 × 180/π = 45°です。面積はS = 5² × (π/4) ÷ 2 = 25π/8 cm²です。逆に5 × π/4 = 5π/4 cmとなり、与えられた弧長に戻ります。さらに45°は1周の1/8なので、円の面積25π cm²の1/8も25π/8 cm²です。

要点を手元に残す

• 反時計回りが正、時計回りが負で、終辺の重なる角は1周の整数倍だけ違います。
• 180° = πラジアンを基準に、角と単位を一緒に換算します。
• 0 ≦ θ ≦ 2πの扇形では、θがラジアンなら弧長はrθ、面積はr²θ/2です。
• 回転の経路、終辺、対象の扇形を問題文で区別し、端点と単位を確かめます。

どこでつまずいたかを見分ける

換算式は書けるのに負号が消える場合は、始辺から時計回りに回す図を描き、回転方向を言葉で説明できるかを確かめます。終辺は合うのに範囲外の角を答える場合は、1周の加減の後で不等号を使って端点まで点検します。

個別指導では、まず180°とπラジアンが同じ回転を表す理由を、半円の弧と半径の比から説明できるかを確認します。続いて、度で与えられた角を換算してから弧長の式へ入れるところを、途中式を見ながらたどります。答えが出た後には、円周の何分のいくつに当たるかを元の図で確認し、どの段階で単位が混ざったかを一緒に探します。回転の向きと弧の割合を結びつけると、式を選ぶ理由まで自分の言葉で表せます。