高校数学II 軌跡と領域—点の条件を式に直し逆の確認と境界まで仕上げる｜武蔵野個別指導塾

距離の等しい点を式に直し、除外点と不等式の境界を確かめる手順を、例題と練習でたどるのは軌跡と領域です。

よくあるのは、高校生が動く点の条件から円の方程式を導き、その式を書いたところで軌跡が完成したとする場面です。計算が正しくても、元の条件で動けない点が円に含まれているかもしれません。反対に、条件を満たす点を途中で落とすこともあります。式を得る方向と、式上の点が元の条件を満たす方向を分けて調べると、図に残す部分を自分で判断できます。

点の動きと塗る範囲を問う形

軌跡の問題では、動点と固定点の距離が等しい、または一定の比になるという条件から、点の集合を求めます。まず動点を P(x, y) と置き、距離を座標で表します。求められるのは点が通り得る場所の全体です。点がどの順に動くかや速さを求める問題ではありません。

別の型は、動く点に加えられた制限を調べる問題です。例えば、ある固定点と一致しないという条件があれば、変形後の直線や円にその点が載っていても取り除きます。式を導いただけでは、余分な点がないと示したことにはなりません。元の条件に戻して逆向きも確かめることが、軌跡を仕上げる部分です。

領域の問題では、不等式を満たす点を平面上に示します。直線や円を境界としてどちら側を塗るかを決め、等号の有無で境界を実線または破線にします。連立不等式なら、それぞれの条件を同時に満たす共通部分が答えです。図に塗る作業も、座標を代入して条件を判定する作業と結びつけて考えます。

条件から集合へ、集合から条件へ

点 P(x, y) と固定点 A(a, b) の距離は √((x − a)² + (y − b)²) です。距離は負にならないので、2つの距離が等しい条件は両辺を2乗した等式と同値です。距離の比が正の数で与えられた場合も、両辺が負でないことを確認して2乗できます。距離が零になってはいけない条件が別にあれば、その制限は消さずに残します。

図1のように、条件を満たす点から式を導くのが必要性の確認です。続いて式上の任意の点を取り、元の条件を満たすことを示します。これが十分性の確認です。両方向が成立して初めて、式の表す集合と求める軌跡が一致します。式を変形する各段階が同値ならその旨を明記し、途中で加えた制限も最後まで持っていきます。

図1では、右へ進むだけでなく左へ戻る矢印もあります。制限を満たさない点が式上にあれば、その点を除いてから戻ります。例えば分母を払う際には分母が零でない条件が必要ですし、点が固定点と異なるという条件は式変形で自動的に残るとは限りません。

不等式ではまず等号に置き換え、境界の直線や円を描きます。直線なら境界上にない点を1つ選んで代入し、成立した側を塗れます。円については平方の和が半径の2乗以下なら内部と円周、未満なら内部です。大なりなら外部であり、円周を含むかは等号で決まります。境界の交点は両方の不等式に代入し、実際に含まれるかを個別に確認します。

境界線の片側を決める代入点は、計算しやすく境界上にない点を選びます。例えば x + y > 1 なら原点を代入すると 0 > 1 は成り立たないので、原点を含む側とは反対側です。原点が境界上にある式では原点から側を判定できません。そのときは別の点を選び、不等式に代入します。直線上の点は左右どちらの側にも属さないので、代入点として避けます。

連立の図では、先に一方の範囲を薄く塗り、次にもう一方を別の向きの線で示すと重なりを見分けやすくなります。最後の答えでは重なった場所をはっきり示します。境界が交わる場合、一方で許された境界でも、他方の不等式に反する部分は答えに残せません。図が複雑になったら、境界上の点を座標で置いて両条件を直接確かめます。

基本例題：2点から等しい距離

固定点 A(1, 0)、B(5, 0) からの距離が等しい点 P の軌跡を求め、方程式で答えてください。

P(x, y) と置くと、条件は PA = PB です。両辺は距離なので負ではなく、2乗しても同値です。距離の公式により、次のように計算します。

PA² = (x − 1)² + y²

PB² = (x − 5)² + y²

したがって

(x − 1)² + y² = (x − 5)² + y²

x² − 2x + 1 + y² = x² − 10x + 25 + y²

8x = 24

x = 3

条件を満たす点は直線 x = 3 上にあります。図2のように、この直線は A と B を結ぶ線分の中点を通り、線分に垂直です。図の直線が答えに見えても、ここでは逆向きの確認まで式で書きます。

逆に x = 3 上の任意の点を P(3, y) とすると、PA² = 4 + y²、PB² = 4 + y² です。距離はともに負でないので PA = PB となり、元の条件を満たします。y に制限はなく、直線上に除く点もありません。よって求める軌跡は直線 x = 3 です。

固定点を代入しても確かめられます。A では距離が 0 と 4 なので条件を満たさず、x = 3 にもありません。一方、(3, 0) は両点からの距離がともに 2 です。こうした点の確認は図の向きの検算になりますが、直線上の任意の点について示した逆向きの証明の代わりにはなりません。

別の点 (3, 2) でも、両距離の2乗は 8 です。縦に移動しても両固定点からの横方向の隔たりが同じなので、両距離は等しいままです。ただし例を何点試しても、直線全体を尽くしたことにはなりません。任意の y を用いた確認が必要な理由はそこにあります。

式の途中で y² が消えることは、y が零という意味ではありません。y がどんな実数でも等距離という条件が成立するため、答えは点ではなく直線です。また、2乗後の式を元に戻すときは、距離が負でないことを使いました。一般の数について2乗が等しいことから元の数が等しいとは限らないので、理由を省かないようにします。

条件付きの軌跡と共通部分

固定点 A(0, 0)、B(4, 0) に対し、P は A と異なり、PA = PB を満たします。さらに、P の y 座標は正とします。P の軌跡を、座標の条件で答えてください。

距離の等式を2乗して展開すると、

x² + y² = (x − 4)² + y²

x² = x² − 8x + 16

x = 2

です。ここまでで必要な条件は x = 2、y > 0 と得られます。元の A と異なるという条件も残しますが、x = 2 上の点は x = 0 の A と一致しないため、この場合は新たに点を除く必要がありません。

逆に x = 2、y > 0 を満たす点を取ると、A と異なり、PA² = PB² = 4 + y² です。距離の非負性から PA = PB となるので、元の条件を満たします。答えは x = 2、y > 0 です。直線全体ではなく、(2, 0) を含まない上向きの半直線になります。端点では y = 0 なので、距離の条件が成立しても正という条件に反します。

制限の効き方が違う場合もあります。例えば P が A と異なり PA = 2PB を満たすなら、2乗後の式は x² + y² = 4((x − 4)² + y²) です。この式に A の座標を代入すると 0 = 64 とはならず、A はもともと式上にありません。この場合も除外条件を調べた結果、除く点がないと判断します。除外点は機械的に付けるものでも、最初から無視するものでもありません。

領域の判定にも戻る考え方が役立ちます。例えば x² + y² ≤ 9 と y > x の共通部分は、原点中心、半径 3 の円の内部と円周のうち、直線 y = x より上の部分です。直線上は厳密な不等号なので含めません。円周上であっても y > x が成立する点は含みますが、直線との交点は y = x のため含みません。両方に等号が付いているかを一括で決めず、各境界の点ごとに両条件を照合します。

誤答を直す：消えた制限と境界

A(0, 0)、B(2, 0) を固定し、P は A と異なる点で、PA = PB を満たすとします。さらに P の y 座標が 0 以上という条件を付けます。軌跡を直線 x = 1 全体と答えるのは誤りです。等距離の式から x = 1 を得る計算は正しくても、y 座標の制限が抜けています。

図3のように、直線の下半分は距離の条件を満たしても y ≥ 0 を満たしません。例えば (1, -1) は A、B からともに √2 の距離ですが、元の条件に反します。除外条件 P ≠ A も点ごとに確認すると、A は x = 1 上にないため追加の除外はありません。

修正した答えは x = 1、y ≥ 0 です。端点 (1, 0) は A と異なり、両固定点からの距離がともに 1 で、等号も許されるため含みます。逆にこの条件を満たす任意の点では、両距離の2乗が 1 + y² で等しく、元の条件を満たします。図3の実線と端点は、この逆向きの確認に対応しています。

領域で同じように起きる失敗は、片方の条件を満たした領域をそのまま答えることです。たとえ円の内部にあっても、直線の条件を満たさなければ共通部分には入りません。境界を含むかも見た目で決めず、等号の有無ともう一方の条件に戻して判断します。

自分で確かめる4問

次の問題では、軌跡は方程式と必要な制限で、領域は境界を含むか明記して答えてください。

1. A(-2, 0)、B(4, 0) から等距離にある点 P の軌跡を求めてください。
2. A(0, 0)、B(0, 6) から等距離にあり、x < 0 を満たす点 P の軌跡を求めてください。
3. P は A(0, 0) と異なり、B(6, 0) について PA = 2PB を満たします。P の軌跡を円の方程式で求め、除外点も調べてください。
4. x² + y² < 16、y ≥ 0 を同時に満たす領域を説明してください。円周、直径上の部分、両端点を含むかも答えてください。

答えと戻し方

1. P(x, y) とすると、(x + 2)² + y² = (x − 4)² + y² です。展開して 4x + 4 = -8x + 16、したがって x = 1 です。逆に (1, y) の両点からの距離の2乗はともに 9 + y² なので、答えは直線 x = 1 です。例えば (1, 0) は両点から 3 の距離にあり、元の場面と一致します。

2. 距離の2乗を等しくすると x² + y² = x² + (y − 6)²、よって 12y = 36、y = 3 です。x < 0 を合わせ、答えは y = 3、x < 0 です。逆にこの条件の点の両距離の2乗は x² + 9 で等しく、x の制限も満たします。(0, 3) は等距離ですが x < 0 に反するため含みません。

3. 条件を2乗して x² + y² = 4((x − 6)² + y²) です。整理すると 3x² + 3y² − 48x + 144 = 0、さらに x² + y² − 16x + 48 = 0 です。平方完成して (x − 8)² + y² = 16 を得ます。A を代入すると左辺は 64 で 16 に等しくないため、円上から除く点はありません。逆に円上の点は2乗した距離の等式を満たし、距離の非負性から PA = 2PB です。また円上に A はないので P ≠ A も満たします。例えば (4, 0) では PA = 4、PB = 2 と元の比に戻ります。

4. 原点を中心とする半径 4 の円の内部のうち、x 軸より上と x 軸上の部分です。円周は厳密な不等号のため含みません。直径上では y = 0 を代入して x² < 16、つまり -4 < x < 4 の部分を含みます。両端点 (-4, 0)、(4, 0) は円周上なので含みません。(0, 0) は両条件を満たし、(0, -1) は後の条件を満たさないので含まれません。円の内部という条件と上側という条件を同時に調べると、境界の扱いまで決まります。

解答を見直すときは、答えに含む点だけでなく、境界上で含まない点も1つ選んで条件に戻してください。等号の違いを確かめられます。

手元に残す要点

• 動点を座標で置き、距離の条件を式にします。
• 式を導いたら、式上の任意の点を元の条件へ戻します。
• 一致しない点や座標の範囲を最後まで残します。
• 不等号の等号と、連立条件の共通部分を境界ごとに確かめます。

答えにたどり着くまでの見分け方

式が出ても図に迷うときは、まずその式上の具体的な点が元の条件を満たすかを試します。次に任意の点に対して同じ理由が通るかを説明します。具体例では気づけない除外点や端点は、元の制限に座標を代入して見つけます。

個別指導では、距離の2乗を等しくする根拠、直線上の任意の点を戻す手順、境界の交点に2つの不等式を適用する順を、書いた式に沿って確かめます。途中式が正しいのに図が広すぎる場合は、元の条件のどの部分が図に反映されていないかを言葉にします。点の条件と図の各部分を往復できれば、軌跡も領域も自分の根拠で描けます。