高校数学II 円と直線の位置関係—中心からの距離で共有点と接する条件を判断する｜武蔵野個別指導塾

垂直な接線の見落としや2円の共通弦を、距離と代入で整理して円の交点を捉えます。

よくあるのは、高校生が円に接する直線を求めるとき、傾きを使って判別式が零になる式を立て、垂直な接線を落とすという場面です。計算が合っていても、最初に置いた直線の形が候補を狭めていることがあります。図に描ける直線が、式の形でも表せているかを先に確かめましょう。円と直線の交点から接点、2円の共通弦まで、距離と連立方程式を行き来して考えます。

何を求める問題なのか

定期テストでは、円と直線の共有点の個数を判定する型があります。直線を円の式に代入して二次方程式を作る方法と、中心から直線への距離を半径と比較する方法があります。個数を聞かれたら距離が手早く、座標を聞かれたら連立して実際に解く必要があります。判定の答えと座標の答えは区別しましょう。

次の型は、円の外の点を通る接線を求める問題です。傾きを置いた式で接する条件を作れますが、縦の直線は傾きを持ちません。その直線が指定の点を通ることと、円に接することを別に調べます。接点が指定されるときは、その点が円上にあることと、接線がその半径に垂直であることを使えます。

もう1つは2円の位置関係や共通弦です。2つの円の式を引くと、共有点を通る直線が現れます。ただし、引いた式を満たす点がすべて共有点とは限りません。少なくとも片方の円の式も満たす点に絞ってから、座標や弦の長さを求めます。

距離が教える共有点の数

中心を O、半径を r とする円と直線を考え、O から直線へ下ろした垂線の足を H とします。距離 OH を d とすると、直線上の点 P について、三平方の定理から OP² = OH² + HP² です。P が円上にもある条件 OP = r は、HP² = r² − d² と同じです。

図1のように、d が r より小さければ H の両側に点が1つずつあり、共有点は2個です。d = r なら HP = 0 なので共有点は H の1個で、直線は円に接します。d が r より大きければ HP² が負になるため、共有点はありません。この議論は直線が縦でも横でも使えます。

図1は同じ半径の円に対し、距離によって直線の位置がどう変わるかを示します。接するとき、接点は垂線の足です。円の外の点からの接線でも、接点と中心を結ぶ半径は接線に垂直になります。

直線 ax + by + c = 0 と点 (p, q) の距離は、a と b が同時に零でないとき、|ap + bq + c| / √(a² + b²) です。分子の絶対値を落とすと距離が負になる場合があります。平方して比べるときも、元の距離と半径がともに非負であることを押さえます。

2円の中心間の距離を d、半径を R、r とすると、異なる中心について、|R − r| < d < R + r なら2点で交わります。d = R + r は外接、d = |R − r| は内接です。d > R + r なら外側で離れ、d < |R − r| なら一方が他方の内側にあって共有点はありません。中心が一致する場合は別に見ます。半径が等しければ同じ円で共有点は無数にあり、異なれば共有点はありません。

基本例題：交点と接線をつなぐ

円 C: x² + y² = 25 と直線 l: y = x + 1 の共有点を、座標の組で正確に求めます。また、この直線と円の位置関係を距離でも判定します。

まず y = x + 1 を円の式に代入します。直線上の点はこの関係を満たすので、円にも載る点の x 座標を調べる計算です。

x² + (x + 1)² = 25

2x² + 2x + 1 = 25

2x² + 2x − 24 = 0

x² + x − 12 = 0

(x + 4)(x − 3) = 0

したがって x = -4 または x = 3 です。それぞれ直線に戻すと y = -3 または y = 4 となります。共有点は (-4, -3)、(3, 4) です。順序を入れ替えて別々に組にすると直線の条件を壊します。

図2のように、中心から直線に垂線を下ろすと、2つの共有点はその足を挟みます。直線を x − y + 1 = 0 と書けば、原点からの距離は 1 / √2 です。半径 5 より小さいので共有点は2個となり、連立の結果と一致します。

元の条件にも戻します。(-4, -3) は 16 + 9 = 25、また -3 = -4 + 1 を満たします。(3, 4) も 9 + 16 = 25、4 = 3 + 1 を満たします。両方の式を確認することで、座標の組み違いも見つかります。

もし直線が接するかどうかだけの問いなら、距離と半径の比較で済みます。一方、距離が半径より小さいことから2点の座標までは決まりません。何を答えるかに応じて、連立の計算を最後まで進めるかを選びます。

2円の共通弦を求める

2円 C₁: x² + y² = 25、C₂: (x − 4)² + y² = 9 について、位置関係、共有点の座標、共通弦の長さを正確に求めます。共通弦とは、2つの共有点を端点とする線分です。

中心はそれぞれ (0, 0)、(4, 0)、半径は 5、3 です。中心間の距離は 4 で、半径の差 2 と和 8 の間にあります。よって2点で交わり、共通弦が存在します。等号が成り立つ接する場合には共有点は1個なので、2点を端点とする弦として扱いません。

C₂ を展開すると x² + y² − 8x + 16 = 9、すなわち x² + y² − 8x + 7 = 0 です。C₁ の式 x² + y² − 25 = 0 からこれを引くと、

8x − 32 = 0

x = 4

となります。共有点はともに直線 x = 4 上にあります。この直線は縦なので、傾きの形に無理に直す必要はありません。C₁ に代入すると、

4² + y² = 25

y² = 9

y = 3 または y = -3

よって共有点は (4, 3)、(4, -3)、共通弦の長さは 3 − (-3) = 6 です。2点は C₁ で 16 + 9 = 25、C₂ で (4 − 4)² + 9 = 9 を満たします。引いた式と C₁ をともに満たせば、引き算を戻して C₂ も満たすため、この方法で候補を漏らしません。

距離の判定と代入は役割が異なります。前者は交わり方を先に判断し、後者は具体的な座標を作ります。2円が同心なら引き算で共有点を通る1本の直線が得られるとは限らないので、中心と半径を最初に読み取ってください。

垂直な接線を落とした答案の直し方

円 x² + y² = 4 上の点 (2, 0) を通る接線を考えます。誤答は、通る直線を y = m(x − 2) と置き、接する条件を調べて答えがないとするものです。この形には傾き m が必要ですから、縦の直線 x = 2 が最初から含まれていません。

実際、円の中心は原点で、接点 (2, 0) への半径は横向きです。これに垂直な接線は x = 2 です。円との連立でも 4 + y² = 4 より y = 0 となり、共有点が指定の点1個であると確認できます。

図3のように、縦の直線は点を通っても y = m(x − 2) には入らないため、式を置く前に別枠で確認します。傾きのある直線についても代入すると、x² + m²(x − 2)² = 4 です。点 (2, 0) はすでに共有点なので、もう一方の交点が重なる条件を調べると、有限の m では接しません。図の接線が抜けた理由は計算の途中ではなく、候補の立て方にあります。

一般に接点が円上の点として与えられたら、中心と接点を結ぶ半径に垂直な直線を作ると、縦と横を同じ考えで扱えます。外部の点から接線を求める場合は接点が未定なので、縦の候補を調べたうえで傾きのある候補を求め、どちらも元の点を通り距離が半径に等しいか確認します。

自分で確かめる問題

答えは座標、整数、分数、根号を使って正確に表してください。円の半径は正とします。

1. 円 x² + y² = 13 と直線 y = x + 1 の共有点をすべて求めてください。
2. 円 (x − 1)² + (y + 2)² = 9 と直線 x = 4 の位置関係と接点を求めてください。
3. 点 (0, 5) を通り、円 x² + y² = 9 に接する直線をすべて求めてください。
4. 2円 x² + y² = 20 と (x − 2)² + y² = 8 の位置関係、共有点、共通弦の長さを求めてください。

解答と、元の条件への戻し方

1. 代入して x² + (x + 1)² = 13 から 2x² + 2x − 12 = 0、(x + 3)(x − 2) = 0 です。x = -3、2 に対して y = -2、3 なので、共有点は (-3, -2)、(2, 3) です。それぞれ座標の平方の和は 13 で、y は x より 1 大きく、円と直線の条件を両方満たします。二次方程式の解が2つなので、ほかの共有点はありません。

2. 中心 (1, -2) から x = 4 までの距離は 3 で、半径と等しいため接します。中心からの垂線は横向きなので、その足は (4, -2) です。実際に x = 4 を円へ代入すると 9 + (y + 2)² = 9 となり、y = -2 のみです。接点は直線と円の両方に載っています。

3. 傾きのある直線を y = mx + 5 とします。原点から mx − y + 5 = 0 までの距離が 3 となる条件は 5 / √(m² + 1) = 3 です。両辺は正なので平方して 25 = 9(m² + 1)、m² = 16 / 9、m = 4 / 3 または -4 / 3 です。縦の候補 x = 0 は中心を通り、距離が 0 なので接しません。答えは y = (4 / 3)x + 5、y = -(4 / 3)x + 5 です。どちらも (0, 5) を通り、中心からの距離は 5 / (5 / 3) = 3 です。平方による余分な候補も元の距離で除けています。

4. 中心間の距離は 2、半径はそれぞれ 2√5、2√2 です。差は 2√5 − 2√2 で、√5 < √2 + 1 より 2 未満です。また和は 2 より大きいので2点で交わります。第2の式を展開し、第1の式との差を取ると 4x − 16 = 0、x = 4 です。これを第1の式に戻すと y² = 4 なので、共有点は (4, 2)、(4, -2)、共通弦の長さは 4 です。両点について第1の円は 16 + 4 = 20、第2の円は (4 − 2)² + 4 = 8 となり、2円の条件へ戻ります。

判定式を使うときの注意

円に直線の式を代入して得られる二次方程式の判別式も、共有点の個数を調べる道具です。異なる2つの実数解なら2点、重解なら接し、実数解がなければ共有点はありません。ただし、その二次方程式の変数が、直線上の点を重複なく表していることを確認します。例えば y = mx + n なら x を1つ決めると y も1つ決まります。x = a という縦の直線では y を変数にして円へ代入できます。

円の外の点からの接線の本数も距離を通して考えられます。中心とその点の距離が半径より大きいときは、接点と中心を結ぶ半径が接線に垂直になる配置が2通りあります。点が円上にあれば接線はその点を通る1本、円の内側にあれば接線はありません。内側の点を通る直線では、中心からその直線への距離が、中心からその点への距離以下で半径より小さいからです。

式の引き算で得た直線についても、共有点の有無は元の円と連立して初めて決まります。例えば中心が異なる2円が離れていても、その差は直線を表します。その直線と円が交わらなければ共有点はありません。直線が書けたことと共通弦が存在することは別の条件です。接する場合は交点が重なって1点となり、2点を端点とする弦の長さをそのまま問う場面とは分けて考えます。

問題文に文字が含まれる場合は、距離の絶対値を外す前に符号を場合分けするか、両辺が非負であることを確認して平方します。たとえば距離が半径以下という条件では、等号が接する場合に対応します。交わることが「異なる2点で交わる」意味なら等号を含めず、共有点があるという意味なら接する場合も含めます。問題の言葉と不等号の端を対応させましょう。

覚えておきたいこと

距離と半径の大小で円と直線の共有点の数が決まります。 接点では半径と接線が垂直です。 傾きを置くときは縦の直線も別に調べます。 2円の差から得た直線と元の円を連立します。

答案のどこで止まるか

距離を計算できても、それが半径より大きいと共有点がない理由を説明できなければ、垂線の足と三平方の定理に戻ります。座標が出た後に2つの元の式へ代入できるかを見ると、組み合わせ違いも見つかります。接線の問題では、書いた直線の式に縦の直線が含まれるかを言葉にしてみましょう。

個別指導で確かめるなら、まず生徒自身に図へ中心、半径、垂線の足を記入してもらい、次に距離の比較から共有点の数を説明してもらいます。2円では式の差が表す条件と元の円に戻す理由を尋ねます。図と式の対応を言葉にできれば、円と直線の位置関係を別の配置でも判断できます。