高校数学II 不等式の証明—差と平方の形から成立条件と等号条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

差を平方に直す手順と相加相乗平均の適用条件を例題でたどり、不等式の成立から等号条件まで確かめます。

よくあるのは、高校生が相加相乗平均を負の数にもそのまま使い、見慣れた式を作ったところで証明を終えてしまう場面です。公式の形に似ていても、使う数の符号が違えば、そこから先の結論を支えることはできません。まず条件を読み、何を示せばよいかを差に直し、等号が成り立つ場合まで調べましょう。

どんな証明を求められるか

不等式の問題には、左右を比較する式がそのまま与えられる型があります。たとえば実数を含む2つの式について、左辺から右辺を引いた差が0以上であることを示す型です。差を計算して平方や平方の和にできれば、どの実数を代入しても負にならない理由を書けます。

もう1つは、正の数について和や積の条件が与えられ、ある式の下限を示す型です。相加相乗平均を使うと、和と積を結び付けられます。ただし、適用する2つの数がそれぞれ0以上であること、等号を実際に取れることを確認しなければ、最小値まで結論することはできません。

さらに、等号成立の条件を答えさせる型もあります。大小の証明と等号の確認はつながっています。差を非負の項に分けたら、差が0になるために各項がどうなるかを調べ、元の条件に戻してください。以下では実数の平方と2数の相加相乗平均を扱います。

差の符号と平均の条件

実数 A、B について、A ≧ B を示すことは、A − B ≧ 0 を示すことと同じです。逆向きの A ≦ B を示したいときは、B − A を取ると非負性に持ち込めます。どちらから引くかを先に決めておけば、計算の終わりに不等号の向きを取り違えにくくなります。

実数 t の平方 t² は0以上です。t が正でも負でも、2回掛けると負にはならず、t = 0 のときに限って t² = 0 です。したがって、差が平方の正の定数倍になれば、その差は0以上です。平方の和も同様に0以上で、和が0になるには、非負の各項がそれぞれ0でなければなりません。

図1のように、大小の主張を差に翻訳し、差を非負とわかる形に変えます。矢印の先で平方が0になる条件まで読むと、等号の候補が得られます。

図1の流れは、差の式が正しく変形できていることが前提です。平方らしい形を見つけても、展開して元の差に戻るか確かめましょう。平方から出発して差に等しいことを示す方法も、同じ関係を逆にたどっています。

一方、u ≧ 0、v ≧ 0 なら、相加相乗平均の関係 (u + v)/2 ≧ √(uv) が成り立ちます。左辺は相加平均、右辺は相乗平均です。これは (√u − √v)² ≧ 0 を展開すると u + v − 2√(uv) ≧ 0 となることから導けます。等号は √u = √v、つまり u = v のとき、かつそのときに限ります。

この関係は0を含む2数にも使えますが、分母に文字があるときは別途、分母が0でないことが必要です。たとえば正の文字 x に対して x と定数を x で割った式を使うなら、両方が正か確かめます。積が一定になるように分けると、相乗平均が定数になり、下限を読み取れます。

差が平方の和にならないときは、条件を式に使ったかを点検します。たとえば和が一定なら、その和を代入して文字を減らす方法があります。差が分数なら、通分する前に分母が0にならないことを確かめ、通分後も分母の符号を残します。分母が正とわからなければ、分子の符号だけから全体の符号は決まりません。

また、証明したい式を最初に真と仮定して変形し、明らかな式にたどり着くだけでは、変形が逆にたどれることを示さない限り証明が完成しません。差を直接計算すれば、与えられた式から出発して非負性へ進めます。等号の候補についても、必要性だけで終わらず、元の式で実際に等号となる十分性を確認します。

基本例題：差を平方にする

例題1：a、b を実数とします。a² + b² ≧ 2ab を証明し、等号が成り立つ a、b の条件を式で答えてください。

左辺と右辺を比較するため、左辺から右辺を引きます。分配法則と平方の展開を使うと、次のように変形できます。

(a² + b²) − 2ab = a² − 2ab + b² = (a − b)²

図2のように、もとの差は実数 a − b の平方です。実数の平方は0以上なので、(a − b)² ≧ 0 です。よって左辺から右辺を引いた差が0以上となり、a² + b² ≧ 2ab が成り立ちます。

等号が成り立つのは、左右の差が0になるときです。図2の最後の式から、(a − b)² = 0 と同値なのは a − b = 0、すなわち a = b です。逆に a = b なら、元の両辺はともに 2a² です。したがって等号成立条件は a = b です。

たとえば a = -2、b = 1 では左辺が5、右辺が-4で、差は9です。これは平方 (a − b)² の値とも一致します。ただし、1組の代入は計算の確認であり、任意の実数に対する証明にはなりません。任意の a、b に対して差が平方と等しいことと、平方が非負であることが証明の根拠です。

この問題では a、b の正負を限定していません。積 ab が負なら右辺は負ですが、平方の差による証明はその場合も含みます。値をいくつか試して傾向を探すことと、条件を満たす任意の数を扱うことを区別しましょう。

条件を生かして下限を作る

例題2：x > 0 とします。x + 9/x ≧ 6 を証明し、等号が成り立つ x を整数で答えてください。

x > 0 なので、x と 9/x はともに正です。したがって、この2数に相加相乗平均を適用できます。2数の積は x × 9/x = 9 で、x によらず一定です。

(x + 9/x)/2 ≧ √(x × 9/x) = √9 = 3

両辺を正の数2倍して、x + 9/x ≧ 6 を得ます。不等号を保てるのは、掛ける2が正だからです。この方法では、2数の和をそのまま見るのではなく、積が一定であることに注目しています。

等号成立には x = 9/x が必要かつ十分です。x は正なので x を掛けて x² = 9 となり、候補は x = 3 です。負の解 -3 は x > 0 に合いません。実際に x = 3 を元の式に戻すと 3 + 9/3 = 6 となり、等号を取れます。したがって下限6は実際に達する値です。

この例は差でも証明できます。x > 0 に注意して通分すると、

x + 9/x − 6 = (x² − 6x + 9)/x = (x − 3)²/x ≧ 0

となります。分子は平方で0以上、分母は正なので、商も0以上です。分子が0になる x = 3 は元の条件を満たすため、等号条件も一致します。分母の符号を確認せずに「分子が平方だから商は非負」とすることはできません。

誤答を条件から直す

次の主張を考えます。「x < 0 なら x と 9/x に相加相乗平均を使い、x + 9/x ≧ 6 となる」。式の形は例題2に似ていますが、これは誤りです。x < 0 では x も 9/x も負なので、先ほどの平均の不等式の適用条件を満たしません。

図3のように、負の2数をそのまま渡すのではなく、それぞれ符号を変えて正の2数にします。実際、x = -3 では左辺は -6 ですから、6以上という結論も成り立ちません。この代入は誤りを示す反例です。反例が1つあれば、条件を満たす任意の x についての主張は成立しません。

修正すると、-x > 0、-9/x > 0 です。この2数の積は9なので、相加相乗平均より (-x − 9/x)/2 ≧ 3 です。両辺を2倍した後、負の数 -1 を掛けると不等号の向きが反転し、x + 9/x ≦ -6 となります。等号は -x = -9/x、すなわち x² = 9 で、x < 0 に合う x = -3 のときです。元の式に戻しても -3 + 9/(-3) = -6 です。

別の失敗は、平方の和が0になる条件を片方だけ調べることです。非負の2項の和が0なら、どちらか一方ではなく両方が0です。さらに、等号条件を解いても問題の範囲外なら採用できません。適用条件、変形時の符号、元の条件という順に戻ると、誤りの位置を特定できます。

平均を使った下限と、実際に取れる最小値も区別しましょう。たとえば平均からある数以上とわかっても、等号を生む値が指定範囲の外にあれば、その数が最小値とは限りません。逆に、得られた下限と等しくなる許された値を1つ見つければ、それより小さい値はなく、その値を実際に取るので最小値といえます。等号条件は、最後に付け足す飾りではなく、境界に達するかを決める条件です。

差の形による証明でも、等号の候補を元の式に戻すと、因数分解や符号の扱いの取り違えに気づけます。ただし、候補を代入して一致した事実だけでは、他の値で不等式が成立することの証明にはなりません。任意の値を扱う非負性の説明と、候補を戻す確認の役割を分けて書きます。

練習問題

次の各問題では証明を書き、等号条件を指定された形で答えてください。答えを見る前に、どの量が非負かを1行書いてみましょう。

1. p、q を実数とします。p² + q² + 2 ≧ 2p + 2q を証明し、等号が成り立つ p、q を整数の組で答えてください。
2. t > 0 とします。2t + 8/t ≧ 8 を証明し、等号が成り立つ t を整数で答えてください。
3. m、n は正の実数で m + n = 10 とします。mn ≦ 25 を証明し、等号が成り立つ m、n を整数の組で答えてください。
4. y は 0 < y ≦ 1 の実数とします。y + 16/y ≧ 17 を証明し、等号が成り立つ y を整数で答えてください。

答えと考え方

1. 左辺から右辺を引き、平方を2つ作ります。

p² + q² + 2 − 2p − 2q = (p − 1)² + (q − 1)² ≧ 0

各平方が非負なので、求める不等式が成り立ちます。和が0になるのは両方の平方が0のときで、p = 1、q = 1 です。元の両辺に戻すと、それぞれ4となります。したがって等号条件は (p, q) = (1, 1) です。

2. t > 0 より 2t と 8/t は正です。積は16なので、相加相乗平均から、

(2t + 8/t)/2 ≧ √16 = 4

となります。両辺を2倍すると示す不等式です。等号は 2t = 8/t のときで、t² = 4 です。t > 0 より t = 2 となり、元の左辺は 4 + 4 = 8 です。負の候補は条件に合わないので除きます。

3. m、n は正なので相加相乗平均を使えます。(m + n)/2 ≧ √(mn) に和の条件を入れると、5 ≧ √(mn) です。両辺は0以上なので平方して 25 ≧ mn を得ます。等号は m = n のときで、和が10だから m = n = 5 です。元の条件に戻すと和は10、積は25となり、等号を取れます。

4. 平均をそのまま使うと下限8は得られますが、等号に必要な y = 4 は指定範囲に入りません。そこで範囲を使って、目標との差を因数分解します。

y + 16/y − 17 = (y² − 17y + 16)/y = (y − 1)(y − 16)/y

0 < y ≦ 1 より y − 1 ≦ 0、y − 16 < 0、y > 0 です。分子は0以上、分母は正なので差は0以上です。等号は y − 1 = 0 の y = 1 で成立します。元の式に代入すると 1 + 16 = 17 で、範囲にも入っています。範囲外の等号候補を見落とさず、別の根拠で目標の下限を示すことが必要です。

練習4で y = 1 は範囲の端です。端を含む条件なので代入できますが、もし y < 1 という条件なら、この等号は取れません。条件の不等号に等号が付いているかは、境界を含むかどうかを決めます。範囲が変われば、同じ式でも等号成立の答えは変わります。式の変形で見つけた値と問題の範囲を最後に照らす習慣を付けましょう。

要点を短く

左右の差を取り、平方や平方の和の非負性につなげます。
相加相乗平均を使う2数が0以上か、先に調べます。
分母の符号と、負の数を掛けるときの不等号に注意します。
等号の候補を元の条件と式に戻します。

途中式でつまずきを見分ける

差を取った後に手が止まるなら、平方を展開したときの中間項と定数項を照らしてください。平方の形は正しくても不等号が逆なら、どちらから引いた差なのかを言葉で説明します。平均を使う場面で詰まるなら、選んだ2数をそれぞれ書き、正負と積が一定かを別々に確かめます。

個別指導で確認するときは、答えの数値だけでなく、等号を生む式を自分で立てられるか、候補が元の範囲に入るかまで見ます。練習4のように平均の等号が範囲外にある場合も、別の差の形を探せると判断の幅が広がります。条件と差を結び付ければ、等号まで筋道を持って示せます。