高校数学II 整式の割り算—商と余りの関係を等式に戻して計算を確かめる｜武蔵野個別指導塾

欠けた次数を0で埋めて筆算し、商と余りを等式へ戻すのが整式の割り算です。

よくあるのは、高校生が欠けた次数の空欄を詰めて筆算するという場面です。ノートの割られる式は x³ + 6x − 1 で、x² の項がありません。空欄を詰め、x³ の右へ 6x を置くと、6x が二次の列に乗ります。商を x² + 6 と書いたあと、残りがまだ二次式でも、筆算は終わったように見えます。列が一つずれたまま次の段へ進むと、引く項の次数までずれて、余りだけが長く残ります。

定期テストに出る三つの形

定期テストの整式の割り算は、計算の見た目が三つに分かれます。式の形で見分けます。

一つ目は、三次式を一次式で割る筆算です。欠けた次数を0で補う必要がある式では、商は二次式になり、余りは定数です。係数によっては分数の余りも生じます。列を作る前に、書いていない次数へ 0 を置けるかが分岐です。0 を置いたあとの手順は、先頭の項どうしを割り、その項を割る式に掛け、引いて、次の次数へ下りる、の繰り返しです。

二つ目は、割る式が二次式の筆算です。余りは一次以下、つまり一次式か定数か 0 で止めます。途中の残りに x² が残っているなら、商はまだ足りていません。割る式の側にも x の項が無いことがあり、その 0x を書かないと、掛ける段の列がずれます。三次を二次で割るだけなら商は一次ですが、四次を二次で割ると商は二次になり、筆算は三段になります。

三つ目は、商と余りが先に渡され、割られる式の係数を等式から決める問題です。筆算を一から行うのではなく、割る式と商の積へ余りを足し、各次数の係数を読みます。x に一つの数を入れて余りだけを見る手順には進みません。商も余りの式も、筆算か、等式の展開で出します。

どの形でも、最後の仕事は同じです。出した商と余りを、割る式との積と和に戻し、問題の整式の係数が全部再現するかを見ます。一つの数を代入して一致しても、他の次数がずれていることがあるので、代入は整式の一致の代わりになりません。

商と余りを結ぶ等式

割られる整式を A、割る整式を B、商を Q、余りを R と書きます。B は、すべての係数が 0 の式ではありません。割り算が終わった状態は、次の二つが同時に成り立つことです。

A = BQ + R であり、しかも R は 0 か、R の次数が B の次数より低い。

等式だけを見ると、余りにまだ割る式の倍数が混ざっていても形は作れます。たとえば余りに B そのものを足し、商から 1 を引けば、和は同じ A のままです。それでは割り算は終わっていません。次数の条件が、商と余りを一通りに固定します。

図1のように、A は除式と商の積へ余りを足した形に分かれます。割る式が一次なら、余りは定数か 0 です。割る式が二次なら、余りは一次式、定数、0 のどれかです。書いていない次数の係数は 0 で、筆算の列からは消しません。

この等式は、筆算の各段で壊れません。始める前は、商を 0 とみれば A = B × 0 + A です。商に項 t を足すとき、いまの残りから t と B の積を引きます。新しい商を Q + t、新しい残りを R − tB と書くと、(Q + t)B + (R − tB) = QB + R で、和は元の A のままです。残りが 0 になるか、次数が B より低くなった段で止めれば、そのときの商と残りが求める Q と R です。

一通りであることも、次数の比較でわかります。A = BQ₁ + R₁ = BQ₂ + R₂ で、R₁ も R₂ も 0 か、次数が B より低いとします。辺々を引くと B(Q₁ − Q₂) = R₂ − R₁ です。右辺が 0 なら、B が零ではないので Q₁ − Q₂ = 0 です。右辺が 0 でないなら、その次数は B より低く、左辺は Q₁ と Q₂ が違う限り B の次数以上になります。次数が両立しないので、商も余りも一つに決まります。数値を一つ入れて一致するだけでは、商と余りが一通りだとは言えません。

0を置いて割る筆算

x³ − 5x + 7 を x − 2 で割り、商と余りを求めます。商は二次の整式、余りは整数で答えます。x² の項が書いていないので、割られる式は x³ + 0x² − 5x + 7 と四つの列にします。割る式 x − 2 は一次なので、余りは定数か 0 です。商は三次から一次を引いて二次になり、形は (x² の項) + (x の項) + (定数) です。

1段目。x³ を x で割り、商の先頭を x² とします。x² と (x − 2) の積は x³ − 2x² です。x³ + 0x² からこれを引くと、0 − (-2) = 2 で 2x² が残ります。-5x を下ろすと、この段の残りは 2x² − 5x です。

2段目。2x² を x で割り、商に 2x を足します。2x と (x − 2) の積は 2x² − 4x です。2x² − 5x から引くと -x です。定数 7 を下ろすと、-x + 7 になります。

3段目。-x を x で割り、商に -1 を足します。-1 と (x − 2) の積は -x + 2 です。-x + 7 から引くと 5 です。残りは定数なので、一次の割る式に対してここで止めます。

商は x² + 2x − 1、余りは 5 です。図2のように、商の x² は三次の列の上、2x は二次の列の上、-1 は一次の列の上にあります。それぞれの積が、その列から引き算を始めるためです。0x² を消して三列にすると、-2x² の置き場が -5x の列へずれます。

等式へ戻します。(x − 2)(x² + 2x − 1) + 5 を展開すると、x(x² + 2x − 1) − 2(x² + 2x − 1) + 5 = x³ + 2x² − x − 2x² − 4x + 2 + 5 です。x² の係数は 2 − 2 = 0、x の係数は -1 − 4 = -5、定数は 2 + 5 = 7 なので、x³ + 0x² − 5x + 7 に戻ります。これは問題の x³ − 5x + 7 と同じ式です。余りの次数は 0 で、割る式の次数 1 より低いです。

割る式が二次のときの余り

x⁴ + 3x³ − 3x² − x + 6 を x² − 2 で割り、商と余りを求めます。余りは一次以下の整式で答えます。割る式には x の項が無いので、x² + 0x − 2 と書いてから掛けます。次数は 2 なので、余りに x² 以上が残っている間は止めません。割られる式は四次、割る式は二次なので、商は二次式です。

1段目。x⁴ を x² で割り、商の先頭を x² とします。x² と (x² + 0x − 2) の積は x⁴ + 0x³ − 2x² です。x⁴ + 3x³ − 3x² − x + 6 から引くと、三次は 3 − 0 = 3、二次は -3 − (-2) = -1 で、3x³ − x² − x + 6 が残ります。0x³ を書かないと、3x³ を二次の列へ寄せて引き始めます。

2段目。3x³ を x² で割り、商に 3x を足します。3x と (x² + 0x − 2) の積は 3x³ + 0x² − 6x です。3x³ − x² − x + 6 から引くと、-x − (-6x) = 5x で、-x² + 5x + 6 です。ここはまだ余りではありません。-x² の次数は 2 で、割る式の次数と同じです。

3段目。-x² を x² で割り、商に -1 を足します。-1 と (x² + 0x − 2) の積は -x² + 0x + 2 です。-x² + 5x + 6 から引くと、5x − 0x = 5x、6 − 2 = 4 で、5x + 4 です。次数は 1 で、2 より低いので、ここで商と余りが決まります。

商は x² + 3x − 1、余りは 5x + 4 です。2段目で止めた -x² + 5x + 6 を余りと書く答案は、等式の形に寄せれば作れても、次数の条件を満たしません。商の定数項 -1 が欠けたままです。

戻して確かめます。(x² − 2)(x² + 3x − 1) + 5x + 4 = x²(x² + 3x − 1) − 2(x² + 3x − 1) + 5x + 4 = x⁴ + 3x³ − x² − 2x² − 6x + 2 + 5x + 4 です。x² の係数は -1 − 2 = -3、x の係数は -6 + 5 = -1、定数は 2 + 4 = 6 なので、x⁴ + 3x³ − 3x² − x + 6 に戻ります。0x は積の値を変えませんが、筆算の途中では列を守るために書いておきます。

列を詰めた答案の直し方

冒頭の式に戻ります。x³ + 6x − 1 を x + 2 で割る場面で、商を x² + 6、余りを -2x² − 13 とした答案を直します。

誤りは、0x² を置かず、見えている項だけで商を繋いだことです。x³ を x で割って x²、6x を x で割って 6 とし、間の次数を飛ばして x² + 6 と書いています。確かに (x + 2)(x² + 6) = x³ + 2x² + 6x + 12 で、x³ + 0x² + 6x − 1 から引くと -2x² − 13 です。したがって x³ + 6x − 1 = (x + 2)(x² + 6) + (-2x² − 13) は成り立ちます。ただし余りの次数は 2 で、割る式の次数 1 より低くありません。等式が合っていても、商と余りとしては未完です。

図3のように、左は x³、6x、-1 の三列で、商が x² + 6 のまま止まっています。右は 0x² を挟んだ四列で、商が x² − 2x + 10、余りが -21 まで下りています。

直しは、列を作り直して筆算を最初から行うことです。割られる式を x³ + 0x² + 6x − 1 とします。

1段目。商の先頭は x² です。x² と (x + 2) の積は x³ + 2x² で、引くと -2x² です。6x を下ろして -2x² + 6x になります。

2段目。-2x² を x で割り、商に -2x を足します。-2x と (x + 2) の積は -2x² − 4x です。-2x² + 6x から引くと 10x で、定数 -1 を下ろすと 10x − 1 です。

3段目。10x を x で割り、商に 10 を足します。10 と (x + 2) の積は 10x + 20 で、10x − 1 から引くと -21 です。定数になったので止めます。

商は x² − 2x + 10、余りは -21 です。展開すると、x(x² − 2x + 10) + 2(x² − 2x + 10) − 21 = x³ − 2x² + 10x + 2x² − 4x + 20 − 21 = x³ + 6x − 1 です。x² の係数は -2 + 2 = 0 に戻り、x の係数は 10 − 4 = 6、定数は 20 − 21 = -1 です。

未完の余り -2x² − 13 を、あらためて x + 2 で割っても同じ場所へ着きます。-2x² を x で割ると -2x で、-2x と (x + 2) の積 -2x² − 4x を引くと 4x − 13 です。次に 4 を掛けて 4x + 8 を引くと -21 です。足し増やす商は -2x + 4 なので、もとの x² + 6 と合わせて x² − 2x + 10 になります。列を直して最初から割っても、高すぎる余りを割り切るまで続けても、一通りの商と余りに落ちます。

別の失敗は、列は正しいのに、引く段の符号だけが反転する場合です。基本の筆算で、x² と (x − 2) の積は x³ − 2x² でした。0x² から -2x² を引くとき、0 − (-2) を 0 − 2 と計算すると、二次の項が 2x² ではなく -2x² になり、この段の式は -2x² − 5x + 7 になります。これは、引く式を x³ + 2x² と取り違えたのと同じです。そのまま割ると商は x² − 2x − 9、余りは -11 になり、展開は x³ − 4x² − 5x + 7 です。x² の係数が 0 に戻らないので、問題の x³ − 5x + 7 とは別の式です。各段で引く前に、掛ける式の各項の符号を一度反転してから足すと、この取り違えは段の途中で止まります。

数を変えて自分で割る

次の四問は、ここまでの例と係数を変えています。四問を先に解き、解答はあとにまとめます。

問1。x³ − 4x + 3 を x + 1 で割り、商と余りを求めます。x² の項は書かれていないので、0x² を補ってから列を作ります。商は二次の整式、余りは整数で書きます。

問2。x³ + 2x² − 5 を x − 1 で割り、商と余りを求めます。欠けているのは x の項で、x² の項は残っています。商は二次の整式、余りは整数で書きます。

問3。x³ − 4x² + 5x − 7 を x² + 2 で割り、商と余りを求めます。割る式に x の項は無く、余りは一次以下の整式で書きます。商は、三次から二次を引いて一次になると先に決めておきます。

問4。x³ + ax² + bx + c を x² + 2x − 1 で割ると、商が x − 3、余りが 4x + 5 になります。a、b、c を整数で求めます。この関係は、x に一つの数を入れたときの話ではなく、整式として成り立ちます。

問1の商と余り

x³ + 0x² − 4x + 3 を x + 1 で割ります。商の先頭は x² で、x² と (x + 1) の積は x³ + x² です。引くと -x² で、-4x を下ろして -x² − 4x になります。次の商は -x で、-x と (x + 1) の積は -x² − x です。引くと -3x で、定数 3 を下ろすと -3x + 3 です。次の商は -3 で、-3 と (x + 1) の積は -3x − 3 です。引くと 6 です。

商は x² − x − 3、余りは 6 です。戻すと (x + 1)(x² − x − 3) + 6 = x(x² − x − 3) + (x² − x − 3) + 6 = x³ − x² − 3x + x² − x − 3 + 6 = x³ − 4x + 3 です。x² の係数は -1 + 1 = 0 に戻り、余りの次数 0 は割る式の次数 1 より低いです。

問2の商と余り

x³ + 2x² + 0x − 5 を x − 1 で割ります。商の先頭は x² で、積は x³ − x² です。2x² − (-x²) = 3x² なので、0x と -5 を付けて 3x² + 0x − 5 が残ります。次の商は 3x で、積は 3x² − 3x です。0x − (-3x) = 3x で、3x − 5 が残ります。次の商は 3 で、積は 3x − 3 です。引くと -2 です。

商は x² + 3x + 3、余りは -2 です。戻すと (x − 1)(x² + 3x + 3) − 2 = x(x² + 3x + 3) − (x² + 3x + 3) − 2 = x³ + 3x² + 3x − x² − 3x − 3 − 2 = x³ + 2x² − 5 です。x の係数は 3 − 3 = 0 に戻り、欠けていた項が再現しています。余り -2 の次数は 0 です。

問3の商と余り

割る式を x² + 0x + 2 と書きます。商の先頭は x で、x と (x² + 0x + 2) の積は x³ + 0x² + 2x です。x³ − 4x² + 5x − 7 から引くと、-4x² + (5 − 2)x − 7 = -4x² + 3x − 7 です。次の商は -4 で、-4 と (x² + 0x + 2) の積は -4x² + 0x − 8 です。引くと 3x + (-7 − (-8)) = 3x + 1 です。次数は 1 で、割る式の次数 2 より低いので止めます。

商は x − 4、余りは 3x + 1 です。戻すと (x² + 2)(x − 4) + 3x + 1 = x³ − 4x² + 2x − 8 + 3x + 1 = x³ − 4x² + 5x − 7 です。0x を省略した x² + 2 で展開しても係数は同じで、筆算中だけ 0x を置いて列を守ります。

問4の係数

(x² + 2x − 1)(x − 3) + 4x + 5 を展開します。x²(x − 3) = x³ − 3x²、2x(x − 3) = 2x² − 6x、-(x − 3) = -x + 3 です。足すと x³ + (-3 + 2)x² + (-6 − 1)x + 3 = x³ − x² − 7x + 3 です。余り 4x + 5 を足すと、x の係数は -7 + 4 = -3、定数は 3 + 5 = 8 です。したがって a = -1、b = -3、c = 8 で、割られる式は x³ − x² − 3x + 8 です。

逆に、この式を x² + 2x − 1 で割って問題の商と余りに戻るか見ます。x を掛けると x³ + 2x² − x で、引くと -3x² − 2x + 8 です。次に -3 を掛けると -3x² − 6x + 3 で、引くと 4x + 5 です。商は x − 3、余りは 4x + 5 で、与えられた関係に戻ります。余りの次数 1 は、割る式の次数 2 より低いです。展開の係数は各次数で一つに決まるので、a、b、c はこの三つ以外にはありません。

筆算の前に置く三つのこと

欠けた次数には 0 を置き、列を高い次数から固定する。余りは 0 か、次数が割る式より低い式にして止める。最後は除式と商の積へ余りを足し、元の整式へ戻して係数を見る。

手が止まる箇所の見分け

個別指導で見るのは、答えの整数が合っているかより前の、列を作る瞬間です。筆算を始める前に、欠けた次数の 0 を自分で書けるか、割る式の次数から余りの形を言えるか、この二つが口に出れば、三列に詰める止まり方はかなり減ります。逆に、掛け算が終わったあとの式だけを見て直そうとすると、どの段で次数がずれたかが隠れたままです。

引く段で止まる人は、積の符号を反転せずに係数を引いています。その答案は、展開で戻したときに真ん中の次数だけが元の係数と違います。等式へ戻す作業を、検算の飾りではなく、符号の誤りの発見場所として使えているかを見ます。余りがまだ割る式と同じ次数なのに計算終了と書く場合は、等式が成り立つことと、商と余りが決まっていることを分けて言えるかが境目です。列の 0、余りの次数、引くときの符号、戻した係数の四つが順に説明できれば、この単元の筆算は一人で通ります。列に 0 を戻し、余りの次数を下げ切り、展開した係数が元の整式と揃ったとき、その商と余りは確定します。