高校数学I 余弦定理—与えられた辺と角から式を選んで三角形を解く｜武蔵野個別指導塾

間の角を取り違える誤答を直し、三辺から角の種類を判定する手順に余弦定理を使います。

よくあるのは、定期テストの復習で、三角形の2辺と角を見つけた高校生が、その角が2辺の間にあるか確かめずに式へ代入する場面です。数字は合っていても、角と辺の組が違えば別の三角形を計算することになります。辺の向かいにある角と、2辺にはさまれた角を図に書き込み、式のどこに何を入れるかを順に確かめましょう。

条件から見える3つの型

余弦定理を使う問題には、与えられた量の組み合わせによって見通しが変わる型があります。まず、2辺とその間の角が与えられ、残る1辺を求める型です。間の角の向かい側にある辺の二乗を、先に式の左側へ置きます。

次に、3辺が与えられ、指定された角の余弦や角度を求める型です。求める角の向かいの辺を見つけてから式を変形します。余弦の値が特別な角の値に一致すれば、三角形の内角の範囲で角度を決められます。

もう1つは、3辺から角が鋭角、直角、鈍角のどれかを判定する型です。角度そのものを求めなくても、余弦の符号を調べれば判定できます。最大の角の種類を聞かれたら、最長辺の向かいに注目します。辺の長さが三角形を作れるかの確認も先に必要です。

向かい合う辺と、はさむ2辺

三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かいの辺の長さを、それぞれa、b、cとします。つまりaは辺BC、bは辺CA、cは辺ABの長さです。大文字の頂点と同じ文字の小文字は、その頂点に接する辺ではなく向かいの辺を表します。

図1のように、角Aをはさむのはbとcです。余弦定理は、この対応を使って次のように表します。

図1の辺aは角Aの向かいです。公式は、a² = b² + c² − 2bc cos A です。左辺に向かいの辺の二乗を置き、右辺には角をはさむ2辺の二乗と、その2辺の積を使います。角Bや角Cについても、文字の対応を入れ替えて同じ形にできます。

式を覚えるときは、文字の並びだけでなく「向かいの辺」「角をはさむ2辺」の役割を一緒に確認してください。例えば角Bを使うなら、左辺はb²、右辺に現れる積はacです。角Cなら左辺はc²で、積はabです。どれも角の両側の2辺を掛けています。

角が90度ならcos A = 0なので、式はa² = b² + c²となります。これは直角をはさむ2辺とその向かいの辺についての三平方の定理と一致します。鋭角ではcos Aは正、鈍角では負です。そのため、同じbとcに対し、鋭角なら二乗の和から正の量を引き、鈍角なら負の量を引くので二乗の和より大きくなります。

角を求めるときは公式を移項して、cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) とします。三角形の辺の長さb、cは正なので、分母は正です。したがって分子の符号が、そのまま余弦の符号になります。長さを扱うため、二乗から辺に戻す際は正の平方根を選びます。

基本例題：2辺と間の角から残りの辺へ

三角形ABCで、AB = 5 cm、AC = 7 cm、角A = 60度とします。辺BCの長さを、必要なら根号を使った正確な値で求めてください。

図2のように、長さが与えられたABとACは頂点Aで交わります。その間の角が60度で、求めるBCはその角の向かいにあります。条件は余弦定理をそのまま使える組です。

図2のBCをa cmと置くと、角Aをはさむ辺は5 cmと7 cmです。cos 60度 = 1/2を用いて、次の順に計算します。

a² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × cos 60度

a² = 25 + 49 − 70 × (1/2)

a² = 74 − 35

a² = 39

辺の長さaは正ですから、a = √39です。答えは√39 cmとなります。二乗が39であることと、長さが正であることを両方書くと、平方根を選んだ理由が残ります。

計算を元の条件に戻してみましょう。3辺を5、7、√39としたとき、角Aの余弦は (5² + 7² − (√39)²) / (2 × 5 × 7) = 35/70 = 1/2です。内角の範囲で角Aは60度となり、与えられた角に戻ります。また、√39は2より大きく12より小さいので、2辺の差7 − 5と和7 + 5の間にあります。3辺は三角形を作れます。

途中で「2 × 5 × 7」を足してしまうと、60度が鈍角であるかのような長さになります。符号は公式のマイナスを残したまま、最後に余弦の値を代入すると見失いにくくなります。単位は二乗の計算中はcm²に対応し、平方根を取った辺の長さにはcmを付けます。

3辺から角を読むときの分かれ目

三角形PQRで、PQ = 4 cm、PR = 6 cm、QR = 8 cmとします。角Pの余弦を分数で求め、角Pが鋭角、直角、鈍角のどれか答えてください。

角Pの向かいはQRで、角PをはさむのはPQとPRです。最長辺8は4 + 6より短く、6は4 + 8より短く、4も6 + 8より短いため、この3辺で三角形を作れます。角Pをはさむ辺の二乗から始めると、余弦定理は次の式です。

8² = 4² + 6² − 2 × 4 × 6 × cos P

64 = 16 + 36 − 48 cos P

64 = 52 − 48 cos P

12 = -48 cos P

cos P = -1/4

三角形の内角は0度より大きく180度より小さいので、余弦が負である角Pは鈍角です。元の式へ戻すと、16 + 36 − 48 × (-1/4) = 64となり、向かいの辺の二乗と一致します。角度を整数で表そうとする必要はありません。問題が求めるのは余弦と角の種類だからです。

同じ判断は二乗の比較でもできます。角Pの向かいの辺の二乗64が、両側の辺の二乗の和52より大きいので、公式からcos Pは負です。等しければ0で直角、小さければ正で鋭角です。比較するときの対象は、判定したい角の向かいの辺であり、常に図の一番下に描かれた辺とは限りません。

最大の角の種類が問われる場合は、最長辺の向かいが最大の角であることを使えます。最長辺を選ぶのは、3つの角をそれぞれ計算する前に対象を絞るためです。ただし指定された角がある場合は、最長辺の向かいとは限りません。まず問題文が指定した頂点を丸で囲みます。

誤答を図に戻して直す

図3の三角形では、AB = 3 cm、AC = 4 cm、角B = 60度です。ここで辺BCをx cmとして、x² = 3² + 4² − 2 × 3 × 4 × cos 60度とするのは誤りです。数字の3と4にはさまれた角はAであり、60度と与えられた角Bではありません。

図3のように角Bの両側をたどると、はさむ辺はBAとBCです。その向かいはACなので、正しい式は4² = 3² + x² − 2 × 3 × x × cos 60度です。与えられた角が2つの既知の辺の間にないときも、対応を守れば式は立てられますが、未知数は左辺だけには現れません。

式を整理すると16 = 9 + x² − 3x、すなわちx² − 3x − 7 = 0です。解の公式からx = (3 ± √37) / 2となります。√37は3より大きいため、負になる解を長さとして除き、x = (3 + √37) / 2 cmです。これをx² − 3x = 7に戻せば元の式を満たします。さらにxは1より大きく7より小さいので、3、4、xは三角形を作れます。

誤りの原因は、既知の数字を優先して辺を選んだことです。修正するときは、角Bから出る2本の辺を指でたどり、残った辺を向かいと読みます。未知の辺が両側にあっても、記号を置いて対応を崩さずに書き始めてください。

計算に入る前と後の点検

3辺が指定された問題では、最長辺が残りの2辺の和より短いことを確認します。等しい場合は3点が一直線に並び、三角形の内角として扱えません。長い場合も辺をつないで三角形を作れません。たとえば長さ2、3、5では2 + 3 = 5となるので、余弦の計算に進む前に条件を見直します。これは計算の例であり、後の練習問題とは別の設定です。

角の種類の判定では、まず指定された角の向かいの辺を選びます。次に、他の2辺の二乗の和から向かいの辺の二乗を引きます。分母の2辺の積は正なので、その差が正なら鋭角、0なら直角、負なら鈍角です。差の正負を逆に読むと結論も逆になるため、引き算の順を式のまま残しておきます。

辺を求める問題では、求めた値を余弦定理に戻すだけでなく、どの角をはさんでいたかも図に戻して確認します。計算した式が間違った角についての式なら、その式への代入が合っていても元の問題の確認にはなりません。最後に辺の長さが正であることと、3辺が三角形を作ることを調べれば、式の解と図形の答えを区別できます。

自分で試す4問

次の各問では長さをcmで表し、根号や分数が必要なときは近似せず正確な形で答えてください。角度は三角形の内角の範囲で答えます。

1. 三角形DEFでDE = 3 cm、DF = 8 cm、角D = 120度です。辺EFの長さを求めてください。
2. 三角形GHIでGH = 5 cm、GI = 5 cm、HI = 5√2 cmです。角Gの余弦を分数または整数で求め、角Gの大きさを度で答えてください。
3. 三角形JKLでJK = 5 cm、JL = 7 cm、KL = 8 cmです。角Jの余弦を分数で求め、角Jが鋭角、直角、鈍角のどれか答えてください。
4. 3辺の長さが6 cm、7 cm、10 cmの三角形があります。最大の角の余弦を分数で求め、その角が鋭角、直角、鈍角のどれか答えてください。

解答と確かめ方

1. 角Dをはさむ辺は3 cmと8 cm、向かいはEFです。cos 120度 = -1/2なので、EF² = 3² + 8² − 2 × 3 × 8 × (-1/2) = 9 + 64 + 24 = 97です。長さは正だからEF = √97 cmです。逆に (3² + 8² − 97) / (2 × 3 × 8) = -1/2となり、内角120度に戻ります。√97は5と11の間なので三角形も成立します。

2. 角Gの向かいの辺はHIです。cos G = (5² + 5² − (5√2)²) / (2 × 5 × 5) = (25 + 25 − 50) / 50 = 0です。内角の範囲で角G = 90度です。元の辺に戻すと5² + 5² = (5√2)²であり、直角をはさむ2辺と向かいの辺の関係に合います。5√2は0より大きく10より小さいので、3辺は三角形を作れます。

3. 角Jの向かいはKLです。cos J = (5² + 7² − 8²) / (2 × 5 × 7) = (25 + 49 − 64) / 70 = 1/7です。正なので角Jは鋭角です。逆に25 + 49 − 70 × (1/7) = 64で、KLの二乗に戻ります。最長辺8は残る2辺の和12より短く、三角形が成立します。

4. 最長辺10の向かいが最大の角です。その角をθとすると、cos θ = (6² + 7² − 10²) / (2 × 6 × 7) = (36 + 49 − 100) / 84 = -5/28です。負なので最大の角は鈍角です。代入すると36 + 49 − 84 × (-5/28) = 100となり、向かいの辺の二乗と合います。10 < 6 + 7なので3辺は三角形を作れます。

答えを見直す順番

練習の1では鈍角の余弦が負なので、求めた辺の二乗97が3² + 8²より大きいことも確かめられます。2では余弦が0であることと、向かいの辺の二乗が残りの二乗の和に等しいことが対応します。3と4では分数の分子の符号が異なるので、判定も異なります。数の大小を図形の性質につなげると、符号の誤りに気づきやすくなります。

計算結果が問題の指定と違う形なら、正しい途中式でも仕上げが必要です。辺の二乗を求めただけで終わらず長さへ戻すこと、角度の指定があるときは余弦だけで終わらないこと、単位を最後に書くことを確認します。根号の値を小数に丸める指示がなければ、正確な値のまま残します。

覚えておくこと

角の向かいの辺を公式の左辺に置きます。
右辺の積には、その角をはさむ2辺を使います。
3辺から角を調べるときは余弦の符号を読みます。
長さは正の平方根を選び、元の条件へ戻します。

式のどこで止まったかを見つける

図に数字は書けても式が立たない場合は、求める辺と与えられた角の向かい側を別々に指せるか確かめます。式は立つのに答えが合わない場合は、二乗の和、積、余弦の符号のどこで値が変わったかを1行ずつ追います。未知数が積の中に入る問題で止まるなら、間の角を取り違えたのではなく、二次方程式への整理が課題かもしれません。

個別指導で確かめるなら、まず生徒自身に角の両側をなぞってもらい、その後で対応する式を声に出して読んでもらいます。角の指定を変えたとき、左辺と積の両方を変えられるかも確認します。図から式へ、式から元の条件へ戻る往復が、余弦定理の計算を支えます。