高校数学I 三角比の相互関係—角の範囲を確かめて残りの値と符号を決める｜武蔵野個別指導塾

二乗から求める三角比の符号を角の範囲で選び、分母が0になる角を除いて式を整理します。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が三角比を二乗から戻すとき、正の平方根だけを選ぶという場面です。計算した二乗の値が合っていても、角が鈍角ならcosは負です。式を解いたあとに角の範囲へ戻ることで、符号を落とさずに済みます。ここでは0度から180度までの角について、sin、cos、tanを結ぶ関係と、割り算が使える条件を扱います。

何を手がかりに値を埋めるか

出方の1つは、sinの値と角の範囲からcosとtanを求める問題です。二乗の関係でcosの大きさを出し、角の範囲で正負を決めます。もう1つはtanの値からsinとcosを求める問題です。tanが負なら、ここで扱う角の範囲ではcosが負になることを先に押さえます。

式の値を整理する問題もあります。分子や分母に三角比が混ざるとき、相互関係で一種類にそろえると計算が進みます。ただし、変形前の分母が0なら、見かけ上約分できても元の式には値がありません。答えを出す操作と同じくらい、操作が使えない角を調べることが大切です。

単位円で見る二乗と符号

原点Oを中心とする半径1の円の上半分を考えます。正の横軸から角θを0度以上180度以下にとり、円との交点をPとします。Pの座標は (cosθ, sinθ) です。円の半径が1なので、三平方の関係から次の式が成り立ちます。

sin²θ + cos²θ = 1

図1のように、Pの縦座標は上半円では0以上です。一方、横座標は90度より小さい範囲で正、90度で0、90度より大きい範囲で負です。この違いが、二乗を戻すときの符号の根拠になります。

図1のように90度を境に横座標の符号が変わります。0度と180度ではsinが0、90度ではcosが0です。二乗の式はこれらの端や境界でも成立します。たとえば90度ではsinが1、cosが0なので、二乗の和は1です。

cosθが0でないときは、tanθ = sinθ / cosθ です。この式を使うには分母のcosθが0でないことが必要です。0度から180度の範囲では90度が除かれます。特に90度ではtanを0や無限大という数として扱わず、定義されないとします。

さらに、二乗の関係の両辺をcos²θで割ると、1 + tan²θ = 1 / cos²θ が得られます。これもcosθが0でない場合の式です。二乗の関係そのものには90度を除く条件がないことと区別してください。式の右辺に分母が現れた時点で、使える範囲が狭まっています。

例えばcos²θ = 9/25からは、cosθ = 3/5またはcosθ = -3/5です。正の平方根は3/5ですが、二乗して9/25になる数は正負の2つあります。どちらを採るかはθの範囲によって決めます。もし範囲が与えられていなければ、正負の候補を勝手に1つに絞れません。

基本例題：sinから残りの値へ

問題。0度 < θ < 90度で、sinθ = 5/13とします。cosθとtanθを、それぞれ正確な分数で求めてください。

まず、角が鋭角なのでsinもcosも正です。図2のように、sinの値を縦座標に対応させ、未知の横座標の二乗を求めます。図の点は半径1の円上にあり、横座標を決める前に符号を確認しています。

図2のように横座標は正です。二乗の関係に代入すると、

sin²θ + cos²θ = 1

(5/13)² + cos²θ = 1

25/169 + cos²θ = 1

cos²θ = 144/169

となります。二乗して144/169になる数は12/13と-12/13です。鋭角ではcosθ > 0なので、cosθ = 12/13を選びます。ここで正負を書く段階を飛ばすと、鈍角の問題で同じ手順を使ったときに誤りを見落としやすくなります。

cosθは0でないため、商の関係を使えます。

tanθ = sinθ / cosθ

= (5/13) / (12/13)

= (5/13) × (13/12)

= 5/12

よって答えはcosθ = 12/13、tanθ = 5/12です。元の条件に戻すと、縦座標5/13は指定されたsinの値で、(5/13)² + (12/13)² = 1です。横座標が正なので鋭角という範囲にも合います。また、縦座標を横座標で割ると5/12になり、tanの値も対応しています。

分数を割るときは、割る数の逆数を掛けます。この例では分母の13が共通だからといって、和の式の中で無条件に消すことはできません。商に直した段階で逆数を掛けると、何を約分したか追いやすくなります。

鈍角と分母の条件が重なる例

問題。90度 < θ < 180度で、tanθ = -4/3とします。sinθとcosθを正確な分数で求め、さらに (1 − sin²θ) / cosθ の値を正確な分数で求めてください。

鈍角なのでsinθ > 0、cosθ < 0です。また、この範囲に90度は含まれないためcosθは0ではなく、商の関係を利用できます。tanθ = sinθ / cosθから、

sinθ = (-4/3)cosθ

です。これを二乗の関係へ代入します。

{(-4/3)cosθ}² + cos²θ = 1

(16/9)cos²θ + cos²θ = 1

(25/9)cos²θ = 1

cos²θ = 9/25

したがってcosθの候補は3/5と-3/5です。鈍角のcosは負なので、cosθ = -3/5です。これをsinθ = (-4/3)cosθに戻すと、sinθ = 4/5となります。

最後の式は元の分母cosθが0でないことを先に確かめます。1 − sin²θ = cos²θだから、

(1 − sin²θ) / cosθ = cos²θ / cosθ = cosθ = -3/5

です。約分はcosθが0でないことを使っています。90度を含む別の問題なら、その角では元の式が定義されないため、約分後の式に90度を代入して元の式の値とすることはできません。

検算では、(4/5)² + (-3/5)² = 1、(4/5) / (-3/5) = -4/3です。縦座標が正、横座標が負なので鈍角の条件とも一致します。元の分数に代入しても、(1 − 16/25) / (-3/5) = (9/25) × (-5/3) = -3/5です。関係式を使った答えが、問題で与えられたtanと求める式の両方に戻ることを確認できました。

誤答を符号と定義域から直す

0度 < θ < 180度、cosθ = -8/17のときsinθを求める場面を考えます。誤ってsinθ = -15/17とする答案は、二乗の値を出したあと、cosの負号をsinにも移したものです。二乗の関係からsin²θ = 1 − 64/289 = 225/289となるところまでは合っています。しかし、図3のように上半円の縦座標は正です。

図3のように横座標が負でも、縦座標まで負にはなりません。正しくはsinθ = 15/17です。二乗を戻すときに正負を候補として書き、各三角比の符号を別々に判断します。値を戻すと225/289 + 64/289 = 1で、指定されたcosの負号も保たれます。

別の誤りは、tanθ = sinθ / cosθにθ = 90度を代入し、分母が0のまま計算を続けることです。sin90度 = 1、cos90度 = 0ですが、1を0で割ることはできません。二乗の関係が90度で成り立つことと、商の関係がそこで使えることは別です。分母に文字を含む式では、最初に0になる場合を調べ、除いた範囲で変形します。

手を動かす問題

次の各問は0度以上180度以下の角を扱います。値は近似せず、正確な分数または整数で答えてください。問題を先に解き、角の範囲と分母の条件を答案に添えてから解答と照らします。

1. 0度 < α < 90度で、cosα = 7/25です。sinαとtanαを求めてください。
2. 90度 < β < 180度で、sinβ = 12/13です。cosβとtanβを求めてください。
3. 90度 < γ < 180度で、tanγ = -5/12です。sinγとcosγを求めてください。
4. 0度以上180度以下のδについて、(1 − cos²δ) / sinδが定義されない角を度で答え、定義される範囲では式を簡単にしてください。

問題の解答と戻し方

1. 鋭角ではsinα > 0、cosα > 0です。sin²α = 1 − (7/25)² = 576/625なので、sinα = 24/25です。cosαは0でないため、tanα = (24/25) / (7/25) = 24/7です。戻して49/625 + 576/625 = 1、横座標は与えられた7/25で正、縦座標も正です。商も24/7に一致します。

2. 鈍角ではcosβ < 0です。cos²β = 1 − (12/13)² = 25/169から、cosβ = -5/13です。したがってtanβ = (12/13) / (-5/13) = -12/5です。指定されたsinは正の12/13で、横座標が負、二乗の和は144/169 + 25/169 = 1です。商も負になり、角の範囲に合います。

3. 鈍角なのでcosγ < 0、sinγ > 0で、cosγは0ではありません。sinγ = (-5/12)cosγを二乗の関係に入れると、(25/144 + 1)cos²γ = 1です。よってcos²γ = 144/169、cosγ = -12/13、sinγ = 5/13です。二乗の和は1で、(5/13) / (-12/13) = -5/12となり、与えられたtanに戻ります。符号も指定された鈍角に合います。

4. 分母sinδが0になるのは0度と180度です。この2つでは元の式は定義されません。それ以外ではsinδが0でないので、1 − cos²δ = sin²δを使い、式はsin²δ / sinδ = sinδです。例えばδ = 90度では元の式も変形後も1です。端では変形後のsinδが0であっても、元の式は0で割る形なので値を持ちません。

持ち帰る要点

• sin²θ + cos²θ = 1は0度から180度まで使えます。
• 二乗から戻すときは角の範囲で各値の符号を選びます。
• tanθ = sinθ / cosθはcosθが0でない場合に使います。
• 約分の前に元の分母が0になる角を除きます。

どの行で止まったかを見つける

二乗の計算は合うのに答えの符号が違う場合は、単位円の点の横と縦を指し、それぞれが正か負かを説明してみます。二乗の候補を書く行と、範囲を使って選ぶ行を分けると、どちらで判断が抜けたか見えます。

個別指導で確かめるなら、割り算をした行を示して、分母が0でない理由を言葉にできるかを見ます。境界の90度で二乗の式とtanの式を別々に調べると、公式を覚えているかだけでなく、使える条件を扱えているかも確かめられます。角の範囲、符号、分母の順に根拠をつなげば、相互関係の計算は最後の値まで追えます。

たとえば答えに根号が残る問題では、根号があること自体は誤りではありません。二乗の値が分数になったとき、分子と分母をそれぞれ正確に平方根へ直し、符号は別に決めます。途中で小数に丸めると、元の二乗の和がちょうど1かどうかを確認しにくくなります。正確な形を最後まで保てば、条件への代入もそのまま計算できます。

また、tanの符号だけで角を決める前に、問題が指定する範囲を読みます。ここでの0度から180度では、tanが正なら鋭角、負なら鈍角です。ただしtanが0の場合は端の0度と180度の両方が候補になり、90度はそもそも候補にできません。符号による判断にも、境界を別に調べる手順が必要です。

値が与えられた問題では、二乗の関係を満たすことだけでなく、与えられた値そのものも確かめます。二乗してしまうと元の符号が消えるからです。計算の途中に戻すだけで終えず、最初の角の範囲と元の条件へ答えを戻すことが、符号違いや定義されない式の見落としを防ぎます。

見直しの際には、まず問題の角の範囲を丸で囲み、次に求める三角比の符号を欄外に書きます。その後に二乗の計算へ進むと、符号を決める材料と数値計算を混同しません。最後に分母を含む行へ印を付け、0でない根拠を読み返します。答えの値だけが正しくても、途中で0による割り算をしていれば、その変形は成立しません。